ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ТЕМА 2. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Загрузка...

 

 

Программа третьего теоретического опроса (10 минут)

Знать определения: аффинной системы координат, прямоугольной декартовой системы координат, координат точки в данной системе координат, простого отношения трех точек, определителя перехода от одного базиса к другому, ориентации векторного двумерного пространства, ориентированного двумерного пространства, угла между векторами на ориентированной плоскости.

Знать свойства определителей перехода от одного базиса к другому.

Уметь решать задачи: найти координаты вектора АВ, зная координаты точек А и В, найти длину отрезка АВ, зная координаты точек А и В в прямоугольной декартовой системе координат, найти координаты точки С, зная координаты точек А и В и что (АВ,С)= λ.

Уметь записывать формулы преобразования аффинных координат и прямоугольных декартовых координат.

 

 

КООРДИНАТЫ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ В КООРДИНАТАХ.

Системой координат на плоскости называется объединение точки О этой плоскости и базиса {е1, е2} соответствующего двумерного векторного подпространства. Система координат обозначается так: (О,е12).

Если дана система координат (О,е12),то координатами точки М в этой системе координат называются координаты её радиус вектора ОМ в базисе{е12},т.е. если ОМ= хе1+ уе2 ,то числа х и у – координаты точки М , М(х,у).

Если дана система координат (О,е12) и А(х11), В(х22) то вектор АВ имеет координаты АВ2 – х1, у2 – у1).

Если дана прямоугольная декартова система координат (О,i, j) и

___________________

А(х11), В(х22), то │АВ│= √ (х2 – х1)2 + (у2 – у1)2.

 

 

89.Дана прямоугольная декартова система координат (О,i, j). Построить точки А(0, -2), В(-1,0), С( 4, -2), Д(1/2, -2/3).

90. Дана аффинная система координат (О, е12). Построить точки А(3,0), В(0,-4), С(2,3), Д(-5, ½).

91. Дана система координат (О, е12), точки А(1,-1), В(2,5), С(3,4) и векторы а(8,-3), в(2,-2). Найти 1) координаты векторов АВ, ВС,

б) координаты точек М и К, если СМ = а, КВ = в.

92. Дана система координат (О, е12) и параллелограмм АВСД с точкой пересечения диагоналей О. Известно, что стороны АВ и АД параллельны соответственно осям ОХ и ОУ, │АВ│= 4│е1│, │АД│= 2│е2│. Найти координаты вершин параллелограмма.

93. Найти координаты вершин квадрата АВСД со стороной АВ = 8 в прямоугольной декартовой системе координат (О,i, j) , если

1) АС ВД = О и АВ↑↑ i,2) АС ВД = О и АС↑↑ i,3) О – середина АВ, АВ↑↑ i, АД↑↑ j.

94. Дан правильный шестиугольник АВСДEF. Найти координаты его вершин и центра О в системе координат (О,i, j), i= АВ, j↑↑ АЕ.

95. АВСД – равнобочная трапеция, большее основание АД которой равно 10, высота ВН равна 2, А = 30°, О – середина АД. Найти координаты вершин трапеции в системе координат (О,i, j), если АД↑↑ i, НВ↑↑ j.

96. Вершины четырехугольника находятся в точках А(1,-3), В(8,0), С(4,8), Д(-3,5). Доказать, что АВСД – параллелограмм.

97. Вершины четырехугольника находятся в точках А(1,1), В(2,3), С(5,0), Д(7,-5). Доказать, что АВСД – трапеция.

98. АВСД – параллелограмм, А(-2,1), В(1,3), С(4,0). Найти координаты вершины Д.

 

В задачах № 99- 107 система координат прямоугольная декартова.

99. Найти расстояния между точками А и В, если 1)А(4,3), В(7,7),

2) А(3,1), В(-2,4), 3) А(12,-1), В(0,4).

100. Найти расстояние от начала координат до каждой из точек

1) А(11,4), 2) В(-3,-4), 3) С(5,-12).

101. Найти координаты точек, лежащих на осях координат и равноудаленных от точек А(1,1) и В(3,7).

102. Найти координаты точек, лежащих на осях координат и отстоящих от точки А(-5,9) на расстоянии 15.

 

ЗАДАЧА № 17

В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты вершин треугольника А(4,5), В(3,1), С(11,-1). Доказать, что треугольник АВС прямоугольный.

 

РЕШЕНИЕ

 

Первый способ.

1) Найдем координаты векторов АВ, ВС, СА.

АВ(-1, -4),ВС(8, -2),СА(-7,6).

2) Найдем скалярные произведения векторов АВ СА, АВ ВС,

ВС СА. АВ СА=7 – 24 = -17, АВ ВС =-8 + 8 = 0,

ВС СА =-56 – 12 = -68.

3) Так как скалярное произведение векторов АВ и ВС равно нулю, то значит эти векторы перпендикулярны и, следовательно, угол АВС прямой, т.е. треугольник АВС прямоугольный.

 

Второй способ.

1) Найдем квадраты длин сторон треугольника АВС.

АВ2 = (3 – 4)2 + (1 – 5)2 = 17, АС2 = (11 – 4)2 + (-1 -5)2 = 85,

ВС2 = (11 – 3)2 + (-1 -1)2 = 68.

2) Так как 85 = 17 + 68, то АС2 = АВ2 + ВС2.Следовательно, по обратной теореме Пифагора треугольник АВС прямоугольный. ■

ЗАДАЧА № 18

Дана прямоугольная декартова система координат. А(1,-2), В(3,4) – две вершины квадрата АВСД. Найти координаты вершин С и Д.

 

РЕШЕНИЕ

1)Пусть точка С имеет координаты С(х, у).

Так как АВСД – квадрат, то │АВ│=│ВС│ и АВ ВС.

2) Так как │АВ│=│ВС│, то │АВ│2=│ВС│2, отсюда получаем

(3 – 1)2 + (4 + 2)2 = (х – 3)2 + (4 – у)2 или

(х – 3)2 + (4 – у)2 = 40 (1).

3) Так как АВ ВС, то АВ ВС, значит АВ ВС = 0, отсюда

2(х – 3) + 6 (у – 4) = 0 (2)

3) Решая систему, состоящую из уравнений (1) и (2)

х2 + у2 -6х -8у -15 = 0

х + 3у – 15 = 0 получаем два решения

х1 = 9, у1 = 2 и х2 = -3, у2 = 6, т.е. существуют две точки С: С1(9,2) и

С2(-3,6).

4) Найдем координаты точки Д1(х,у). Так как АВС1Д1 – квадрат, то

АВ = Д1С1. Но АВ(2,6), Д1С1(9 – х, 2 – у), поэтому координаты этих векторов соответственно равны, т.е. 9 – х = 2, 2 – у = 6. и х = 7, у = -4. значит Д1(7, -4)

5) Аналогично находим координаты точки Д2 – Д 2(-5,0).

 

ОТВЕТ. Существует два квадрата:АВС1Д1 и АВС2Д2, где

С1(9,2), Д1(7,-4) иС2 (-3,6), Д2 (-5,0).

 

103. Определить вид треугольника АВС, если

1) А(0,0), В(2,0), С(1, ),

2) А(8,0), В(1,-1), С(3,5),

3) А(2,3), В(4,-1), с(8,1).

104. Даны две смежные вершины А(-2,1) и В(3,3) квадрата АВСД. Найти координаты двух других вершин.

105. Даны две вершины А(-3,2) и В(1,4) равностороннего треугольника АВС. Найти координаты вершины С.

106. Найти центр окружности, проходящей через точку А(-4,2) и касающейся оси ОХ в точке В(2,0).

107. АВСДEF – правильный шестиугольник с центром О Найти координаты его вершин в системе координат (О,i, j), если ОА = i.

 

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти