ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ НА ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПЛОСКОСТИ.

В двумерном векторном подпространстве Ẁ2 даны два базиса

I = {е1, е2} и II = {е1, е2}. Известны координаты базисных векторов второго базиса в первом базисе: е1(а,b)I , е2(c,d) I. Определителем перехода от базиса I ={е1, е2} к базису II ={е1, е2} называется определитель ∆, составленный из координат векторов е1, е2

в базисее1, е2.

а b

∆ = │c d│.

Определитель перехода от базиса I ={е1, е2} к базису II ={е1, е2} будем обозначать так: I / II.

Пусть даны любые три базиса I, II, III. Определители перехода обладают следующими свойствами:

1°) I / II 0,

2°) I / I = 1,

3°) I / II = 1 : (II / I),

4°) (I / II) ( II / III) = I / III .

Множество всех базисов двумерного векторного подпространства Ẁ2 разбивается на два непустых непересекающихся подмножества так, что для любых двух базисов из одного подмножества определитель перехода от одного из этих базисов к другому положителен, а для любых двух базисов из разных подмножеств определитель перехода от одного из этих базисов к другом отрицателен. Каждое из этих подмножеств называется ориентацией двумерного векторного подпространства.Двумерное векторное подпространство называется ориентированным, если зафиксирована одна из его ориентацией и названа положительной, а все базисы из неё правыми, тогда вторая ориентация называется отрицательной, а все базисы из неё левыми.

Если на плоскости выбрать две точки О1 и О2 и отложить от О1 векторы О1Е1 = е1 и О1Е2 = е2 ,а отО2 векторы О2Е1 = е1и О2Е2 =е2’,то если данные базисы принадлежат одной ориентации, то повороты от вектора О1Е1 к векторуО1Е2 и от вектора О2Е1 к вектору О2Е2 происходят в одном направлении, а если базисы принадлежат разным ориентациям, то эти повороты происходят в разных направлениях.

Рис 1.

На рисунке 1 изображены базисы из одной ориентации

Рис. 2

На рисунке 2. изображены базисы из разных ориентаций.

Плоскость называется ориентированной, если соответствующее векторное двумерное подпространство (т.е. множество всех векторов, параллельных этой плоскости) ориентировано. Тогда, если базис е1, е2правые (левый) , то и система координат (О, е1, е2) правая (левая).

Направленным углом между неколлинеарными векторами аиb на ориентированной плоскости называется угол между этими векторами, взятый со знаком плюс, если базис {а,b} - правый и со знаком минус, если базис {а,b} – левый.

Если в правом ортонормированном базисе даны координаты векторов а1, а2) и b(b1,b2) и φ – направленный угол между ними, то

___а1b1 + a2b2_____

cos φ = √a12 + a22 √b12 + b22 ,

___а1b2 - a2b1_____

sin φ = √a12 + a22 √b12 + b22

 

122. М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСД . Базис {АВ, АС} принадлежит положительной ориентации. Какой ориентации принадлежат базисы 1) {ДА, ДС}, 2) {МА, МВ}, 3) {ВА, ВС} ?

123. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Базис {ОА, ОВ} – правый. Перечислить все правые и все левые базисы, связанные с этим треугольником.

124. Дан базис {е1, е2} и векторы а(1,-1),в(2,3), с(0,4), d(-5,1)

Вычислить определители перехода 1) от базиса {е1, е2} к базису {а,в},

2) от базиса {а,в} к базису {с,d}.

125. Зная координаты векторов а и в в правом базисе {е1, е2}, определить является ли базис {а, в} правым или левым

1) а(2,3), в(4,-1). 2) а(-1,0), в(0,-1), 3) а(3,1), в(2,1) 4) а(2,8), в(3,-2).

126. Дан квадрат АВСД и базисы Ι = {СВ, СД}, Ι Ι = {ВД, ВС},

Ι Ι Ι = {ДС, ДА}. Вычислить определители перехода от базиса Ι к базису

Ι Ι и от базиса Ι к базису Ι Ι Ι. Зная, что базис Ι правый, определить какими будут базисы Ι Ι и Ι Ι Ι.

127. АВСДEF – правильный шестиугольник. Даны базисы Ι = {АВ,АF},

Ι Ι ={ЕF, ЕВ}, Ι Ι Ι = {СF, СД}. Проверить, что определители перехода удовлетворяют условию (Ι│ Ι Ι) (Ι Ι │ Ι Ι Ι) = (Ι │ Ι Ι Ι).

128. Найти направленный угол между векторами а ив, зная их координаты в ортонормированном правом базисе 1) а(-1,2), в(-1,-3),

2) а(-1,2), в(1,3), 3) а(- , 3), в(0,1).

129. Зная координаты вершин треугольника АВС в ортонормированном правом базисе, найти наибольший направленный угол этого треугольника.

1) А(5,2), В(1,-1), С(-6,3), 2) А(4,8), В(10,6), С(-2,1).

130. Найти координаты вектора а в ортонормированном правом базисе

(i, j), если 1)│а│ = 3, направленный угол (i,а) равен 30°,

2) │а│ = 5, направленный угол (i,а) равен 135°,

3) │а│ = 1, направленный угол (i,а) равен -60°.

 

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КОРДИНАТ

 

Полярной системой координат на ориентированной плоскости называется объединение точки О и единичного вектора i, ,i).

Полярными координатами любой точки М О в полярной системе координат (О, i) называются два числа М(ρ,φ) ρ = │ОМ│, φ – направленный угол между векторами ОМ и i.

Если (О,i, j) – прямоугольная декартова система координат, а (О,i) – полярная система координат, то полярные координаты точки М(ρ,φ) и прямоугольные декартовы координаты этой же точки М(х,у) связаны формулами

______ __x___ __у___

ρ = √ х2 + у2 , cos φ = √ х2 + у2 , sin φ = √ х2 + у2 .

х = ρ cos φ , у = ρ sin φ .

 

131. Дана полярная система координат. Построить точки А(2, π /2),

В(1, -π/4), С(1/2, 5 π/3).

132. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

А(1, π/4), В(3, 2π/3), С(2/3, - π/6) относительно 1) начала координат О,

3) полярной оси (О, i).

133. Дан равносторонний треугольник АВС с центром О и единичной стороной. Найти координаты точек А, В, С в полярной системе координат 1) (О, i), где i ↑↑ ОА,2) (А, i), где i↑↑АВ.

134.Дан квадрат АВСД с центром О. АВ = 3. Найти координаты вершин квадрата в полярной системе координат 1) (О, i), где i ↑↑ АВ,

2) (О, i), где i↑↑ОА, 3)(О, i), где i ↑↑ АД.

135. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О и стороной АВ = 2. Найти координаты вершин шестиугольника в полярной системе координат 1) (О, i), где i ↑↑ ОА,2) (А, i), где i↑↑АО.

136. Найти множество всех точек плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению 1) ρ = 1, 2) ρ= а, 3) φ = 60°.

137. Даны полярная система координат (О,i) и правая прямоугольная декартова система координат (О,i, j). 1) Найти прямоугольные декартовы координаты точек А(5, π/3) , В(1, - π/2), С(1/2, 3 π/4).

2) Найти полярные координаты точек М(0,6), Р(-1,1), К( ,1).

 

ЗАДАЧА № 21

Дана полярная система координат и две точки А(ρ1, φ1), В(ρ22).

Найти расстояние между этими точками.

 

РЕШЕНИЕ.

 

Рассмотрим правую прямоугольную декартову систему координат

(О,i, j). Найдем прямоугольные декартовы координаты точек А и В, используя формулы х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ .Получим

А(ρ1 Cos φ1, ρ1 Sin φ1), В(ρ2 Cos φ2, ρ2 Sin φ2). Теперь найдем расстояние между точками А и В в системе координат (О,i, j).

________________________________________

│АВ│= √( ρ1 Cos φ1 - ρ2 Cos φ2)2 + (ρ1 Sin φ1 - ρ2 Sin φ2)2 =

______________________________________________________________

√ρ12(Cosφ1 +Sinφ1)2 + ρ22(Cosφ2 +Sinφ2)2 - 2ρ1 ρ2(Cos φ1Cos φ2 + Sinφ1Sinφ2)

_________________________

=√ ρ12 + ρ22 - 2ρ1 ρ2Cos (φ1 – φ2)

________________________

ОТВЕТ │АВ│= √ρ12 + ρ22 - 2ρ1 ρ2Cos (φ1 – φ2)

 

138. Вычислить расстояние между точками А и В в полярное системе координат 1) А(2, π/12), В(5, π/12), 2) А(4, π/3), В(6, -4 π/5), 3)А(3, 11π/18),

В(4, π/9).

139.Зная полярные координаты вершин треугольника А(5, π/2), В(8,5π/6), С(3, - 5 π/6), доказать, что треугольник равносторонний.

140. Зная полярные координаты вершин треугольника А(2 , π/3), В( ,2π/3), С(4 + , 2π/3), доказать, что треугольник прямоугольный.

ЗАДАЧА № 22

Определить, какое множество в полярной системе координат задано уравнением Cos φ = Sin φ.

 

РЕШЕНИЕ

 

Перепишем данное уравнение в прямоугольных декартовых

координатах. Для этого используем формулы

_____ _______

Cos φ = х/√х2 + у2, Sin φ = у/√х2 + у2 .

Тогда данное уравнении Cos φ = Sin φ в полярных координатах будет

_____ _____

иметь вид х/√х2 + у2 = у/√х2 + у2 в прямоугольных декартовых координатах , отсюда следует, что х = у.

Уравнение х = у в прямоугольных координатах задает прямую, содержащую биссектрису угла между осями ОХ и ХУ.

Таким образом, данное уравнение Cos φ = Sin φ в полярной системе координат задает прямую, проходящую через начало полярной системы координат и составляющую угол π/4 с полярной осью [О, i). ■

 

141. В полярной системе координат составить уравнение окружности

с центром А(1, π/2) и радиуса 3.

142. Найти множество точек, уравнение которого в полярной системе координат, имеет вид 1) ρ Cos φ = 2, 2) ρ = 10 Sin φ , 3) ρ Sin φ = 1,

4) Sin φ = .

 

ЗАДАЧА № 23

В правой прямоугольной декартовой системе координат (О,i, j)., дано уравнение прямой х + 2у + 5 = 0. Найти уравнение этой прямой в полярный системе координат (О,i).

 

РЕШЕНИЕ

 

Используя формулы, связывающие прямоугольные координаты точки и ее полярные координаты х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ, запишем уравнение данной прямой в полярных координатах.

ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

 

ОТВЕТ. ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

 

143. Даны правая прямоугольная декартова система координат(О,i, j), и полярная система координат (О,i).

Записать в полярной системе координат уравнения множеств точек, которые в прямоугольной декартовой системе координат имеют уравнения: 1) х – 3у = 0, 2) у + 5 = 0, 3) 2х2 + у2 = 5, 4) 4х – у2 = 0 .

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ.

 

На плоскости даны две системы координат Ι = (О, е12) и

Ι Ι = (О’, е1, е2’). О’(хоо) Ι, е1’(а,b)(е1,е2) , е2’(c,d)(е1,е2) .Если любая точка плоскости М имеет в первой системе координат координаты М(х,у), а во второй системе координат координаты М(х’,у’), то формулы, связывающие координаты точки М в первой и во второй системах координат, имеют вид

х = а х’ + с у’ + хо,

у = bx’ + d у’ + уо . (1)

Эти формулы называются формулами преобразования координат.

Отметим, что в этих формулах столбец из коэффициентов при х’- это координаты вектора е1’, столбец из коэффициентов при у’- это координаты вектора е2’, а столбец из свободных членов – это координаты точки О’

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие одной ориентации, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

х = х’ cos φ - y’ sin φ + хо,

y = x’ sin φ + y’ cos φ + уо . (2)

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие разным ориентациям, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

х = х’ cos φ + y’ sin φ + хо,

y = x’ sin φ - y’ cos φ + уо. (3)

В формулах (2) и (3) φ – это направленный угол между векторами i и i.

Формулы (2) и (3) называются формулами преобразования прямоугольных декартовых координат.

 

 

144. Даны две системы координат Ι = (О, е12) и Ι Ι = (М, е1, е2).Зная координаты точек А(2,3), В(-5,4), С(0,2), М(7,-1) в системе координат Ι, найти координаты точек А, В, С в системе координат Ι Ι.

145. АВСД – прямоугольник. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (А, АВ, АД) к системе координат (С, СА, ½ СВ).

146. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е12) к системе координат Ι Ι = (Оٰ , е1ٰ2ٰ).

1) Оٰ (0,2), е1ٰ(0,2), е2ٰ (-7,0),

2) Оٰ (1,1), е1ٰ(1,4), е2ٰ (2,5).

147. О – почка пересечения медиан треугольника АВС. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, ОА, АВ) к системе координат (А, АВ, АС).

148. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е12) к системе координат Ι Ι = (Оٰ, е1ٰ2ٰ), зная координаты точки О в Ι системе координат О(1,0) и координаты векторов е12 в базисе (е1ٰ2ٰ) е1(1,1), е2(0,2).

149. Даны две системы координат Ι = (О, е12) и Ι Ι = (О, е1ٰ2ٰ) с общим началом. Даны координаты е1(1,-1) 2(2,5) в базисе (е1ٰ2ٰ). Зная координаты точки М(-3,1) в системе координат Ι , найти координаты этой точки в системе координат Ι Ι .

150. Дан параллелограмм АВСД с центром О и две системы координат Ι = (А, АС, АД), Ι Ι = (О, ОД, ОА). Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι к системе координат Ι Ι.

151. Записать формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, i, j) к системе координат (Оٰ, iٰ ,jٰ) в каждом из следующих случаев:

1)iٰ= i+ j,Оٰ (-3, ) и обе системы координат принадлежат одной ориентации.

2) Направленный угол между векторами iи iٰравен30° , Оٰ (0,-2) и данные систем ы координат принадлежат разным ориентациям.

152. АВСД – квадрат с центром О и единичной стороной. Даны две системы координат Ι = (А, АВ, АД) и Ι Ι =(О, iٰ ,jٰ) , где iٰ ↑↑ ОД ,

jٰ↑↑ ОС. Точка имеет координаты М( ,3 ) во Ι Ι системе координат. Найти координаты точки М в Ι системе координат.

 

ЗАДАЧА № 24

АВСД – параллелограмм с центром М. Выяснить существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в двух системах координат (В, ВС, ВД) и (М, МА, МВ).

 

РЕШЕНИЕ

1) Найдем координаты точки М в первой системе координат. Так как

ВМ = ½ ВД, то М(0,1/2)

2) Найдем координаты векторов МА и МВ в базисе (ВС, ВД)

МА = МД + ДА = ½ ВД – ВС, следовательно, МА(-1,1/2)

МВ = -1/2 ВД, следовательно МВ(0, -1/2)

3) Составим формулы преобразования координат при переходе от первой

системы координат ко второй

х = -хٰ + 0 уٰ + 0

у = ½ хٰ - ½ уٰ + ½ (1)

4) Найдем точки, которые имеют одинаковые координаты в данных системах координат, т.е. точки, для которых х = хٰ, у = уٰ . Для этого в формулах подставим вместо хٰ - х, а вместо уٰ - у, получим систему уравнений

х = -х

у = ½ х – ½ у + ½ .

Эта система имеет единственное решение х = 0, у = 1/3, Следовательно, существует единственная точка М(0, 1/3), имеющая одинаковые координаты в двух данных системах координат.

 

ОТВЕТ. М(0, 1/3)

 

153.В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найти точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (А, АВ, АС) и (О, ОВ, ОС).

154. АВСДEF – правильный шестиугольник. Зная координаты точки М(2,1) в системе координат (А, АВ,АД),, найти координаты точки М в системе координат (С, СВ, СД).

155. АВСДEF – правильный шестиугольник с центром О. Даны две системы координат Ι = (В, ВС, ВА) и Ι Ι = (Е, ЕО, ЕД). Зная координаты точки М(4,3) во Ι Ι системе координат, найти координаты точки М в Ι системе координат.

156. АВСД – квадрат с центром О. Существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (С, СД, СВ) и (О, ОА,ОД)?

157. ОС – высота прямоугольного треугольника ОАВ с катетами

ОА = 3, ОВ = 1. М – середина АВ. Составить формулы преобразования координат при переходе от систему координат (О, i, j) к системе координат (М, iٰ , jٰ), где ,i ↑↑ОА , j ↑↑ОВ,, iٰ↑↑ МА, j ↑↑ СО.

 

ОКРУЖНОСТЬ

Окружностьюо, r) с центром Мо и радиусом r называется множество всех точек М плоскости, расстояние от каждой из которых до точки Мо равно радиусу r.

Дана прямоугольная декартова система координат (О, i, j) , Моо, уо) , тогда уравнение окружностио, r) имеет вид

(х – хо)2 + (у – уо)2 = r2

Если дано уравнение х2 + у2 + Ах + Ву + С =0, то чтобы узнать является ли это уравнение уравнением окружности, надо выделить полные квадраты членов .содержащих х, и членов, содержащих у, получится уравнение

(х + ½ А) 2 + (у + ½ В)2 = ¼ А2 + ¼ В2 –С. (*)

Уравнение (*) является уравнением окружности, если

¼ А2 + ¼ В2 –С > 0.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти