ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Во всех задачах этого пункта система координат прямоугольная декартова.

158. Составить уравнение окружности с центром А(-1, 3) и радиусом

r = 4.

159. Составить уравнение окружности радиуса r =5 с центром в начале координат.

160. Определить координаты центра М и радиус каждой из следующих окружностей:

1) х2 + у2 – 6х = 0,

2) х2 + у2 + 6х - 8у =0,

3) х2 + у2 – 10х + 24у – 56 = 0,

4) 3х2 + 3у2 + 6х - 4у – 1 = 0.

161. Выяснить, какие из данных уравнений являются уравнением окружности. Найти координаты центра и радиус.

1) х2 + у2 -2х + 4у -20 = 0,

2) х2 + у2 + 8х - 4у + 40 = 0,

3) х2 + ху – 2х = 0,

4) х2 + 2ху + 2у2 - 3х + у + 5 = 0,

5) х2 + у2 - 2х = 0,

6) х2 + у2 + 2у + 8 = 0,

7) х2 + у2 - 4х -2у + 1 = 0.

162. Определить положение точек А(3,1), В(1,0), С(-2,0), Д(-2,1) относительно окружности х2 + у2 - 1 = 0.

163. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям

1) (х – 1 )2 + (у – 3)2 ≥ 25,

2) 16 ≤ (х – 1)2 + (у + 3)2 ≤ 25.

3) (х – 1)2 + (у - 2)2 ≤ 25, (х – 4)2 + (у -6)2 ≤ 9.

 

ЗАДАЧА № 25

Дана прямоугольная декартова система координат. Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке А(4,0) и проходящей через точку В(1,1).

 

РЕШЕНИЕ

 

1) Пусть центр искомой окружности находится в точке М(х,у). Так как окружность касается оси ОХ в точке А(4,0), то МА это радиус проведенный в точку касания, следовательно, по свойству касательной окружности радиус МА перпендикулярен оси ОХ. Значит проекцией точки М на ось ОХ является точка и поэтому х = 4, т.е. М(4,у).

2) Так как данная окружность проходит через точки А и В, то расстояние от точек А и В до центра равны радиусу и, следовательно, равны между собой, т.е. │АМ│ =│ВМ│. Отсюда получаем уравнение

______________ ______________

√(4 – 4)2 + (у – 0)2 = √(4 – 1)2 + (у - 1)2 или у2 = 9 + (у – 1)2

Это уравнение имеет одно решение у = 5. Следовательно, центр окружности М(4,5).

3)Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки А, т.е.

______________

r = │АМ│= √(4 – 4)2 + (5 – 0)2 = 5.

4) Уравнение окружности с центром М(4,5) и радиусом r = 5 имеет вид (х – 4)2 + (у – 5)2 = 25

 

ОТВЕТ. Искомая окружность имеет уравнение (х – 4)2 + (у – 5)2 = 25.

.

164.Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке (6,0) и проходящей через точку (9,9).

165. Составить уравнение окружности, центр которой лежит на оси ОУ и которая касается оси ОХ.

166. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки А(-1,-1) и В(7, -1).

167. Составить уравнение окружности с центром в точке А(1,-3) и проходящей через точку В(3,5).

168. Составить уравнение окружности радиуса r = , проходящей через точки А(2,7) и В(-2,1).

169. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(2,2) и В(3,3), если ее центр лежит на прямой 3х - у - 3 = 0.

 

ЗАДАЧИ НА МНОЖЕСТВА ТОЧЕК, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ОКРУЖНОСТЬ

ЗАДАЧА № 26

Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу а, не равному единице.

 

РЕШЕНИЕ

 

1) Пусть расстояние между точками А и В равно с. Введем прямоугольную декартову систему координат (В, i, j), для которой вектор iсонаправлен с вектором ВА.В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты А(с,0), В(0,0).

2) Пусть произвольная точка М, принадлежащая данному множеству точек, имеет координаты М(х,у). По условию .│АМ│: │ВМ│.= а, отсюда следует, что .│АМ│ = а │ВМ│. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем уравнение

_______________ ______________

√ (х – с)2 + (у – 0)2 = а √ (х - 0)2 + (у – 0)2 или

(х – с)2 + у2 = а2 х2 + а2у2 , отсюда получаем

х2(1 – а2) + у2(1 – а2) – 2хс + с2 = 0. Так как а 1, то можно разделить обе части этого уравнения на 1 – а2 и выделить полный квадрат членов, содержащих х

х2+ у2 – 2хс / (1 – а2) + с2 / (1 – а2) = 0.

[х – с / (1 – а2)]2 + у2 = а2с2 / (1 – а2)2. Полученное уравнение является уравнение окружности с центром в точке М(с / (1 – а2), 0) и радиуса

r = ас /│1 – а2│.

Таким образом, искомое множество точек есть окружность с центром на прямой АВ.

 

ОТВЕТ. Множество точек плоскости отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу а , не равному единице есть окружность с центром на прямой АВ.

 

170. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до точек А(1,0) и В(-1,0) постоянно и равно .

171. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точек А и В постоянна и равна с2.

172. Найти уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек А(-1,2) и В(1,4) постоянна и равна 22.

173. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных перпендикулярных прямых постоянна и равна 16..

174. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до точек А(0,0) и В(4,0) постоянна и

равна 2.

 

 

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

РАБОТЫ (на 45 мин.)

Варианты первого уровня.

1.Дана система координат (О, е12). Построить точки М(-2,3), Р(-3/2, 5/3). 2. Даны две системы координат І =(О, е12), ІІ= (О’, е1’,е2’). О’О=е12 , е1’(3,5) е2’(7,-4). Составить формулы преобразования координат при переходе от І к І І. 3. Доказать, что четырехугольник АВСД параллелограмм, если А(1,1) В(3,4,), С(5,0), Д(3,-3). 1. АВСД – параллелограмм с центром О. Точка М АД и АМ : МД = 1 : 2. Найти координаты точки М в системе координат (О, ОВ, ОС) 2. Даны две системы координат І =(О, е12), ІІ= (О’, е1’,е2’). О’(4,-5)І, е1’= 3е1 + 8е2 е2’= -2е1– ½ е2. Составить формулы преобразования координат при переходе от І к І І. 3. Даны точки А(1,0), В(4,1), С(4,5), Д(-2,3). Доказать, что АВСД – трапеция.

Варианты второго уровня

1. Дана (О,i,j ). А(3,3), В(4,5), С(7,6), Д(5,2) Определить вид четырехугольника АВСД. 2. АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС. I =(В,ВМ,ВР), II = (А,АВ,АД). Составить формулы преобразования координат при переходе от первой системы координат ко второй. 3. Дана полярная система координат (О,i,). Построить множество точек, удовлетворяющее уравнению φ = 60°. 1. Дана (О,i,j ). А(3,3), В(5,2), С(7,6), Д(5,7) Определить вид четырехугольника АВСД 2. . АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС.I =(Р,РМ,РВ), II = (Д,ДВ,ДА). Составить формулы преобразования координат при переходе от второй системы координат в первой. 3. Дана полярная система координат (О,i,). Построить множество точек, удовлетворяющее уравнению ρ = 2  

Варианты третьего уровня.

1.Дан четырехугольник АВСД. А(1,1), В(0,3), С(5,5), Д(4,1). Найти координаты точке М = АС ВД. 2. . АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС. I =(В,ВМ,ВР), II = (А,АВ,АД) Существует ли точка с одинаковыми координатами в I и II системах координат. 3. Даны системы координат I = (О,i,j ) и II=(О,i,). А(-5,3) в I системе координат , найти уравнение окр-ти ώ(А, r = 3) во II системе координат 1.Дана прямоугольная декартова система координат. А(1,1), В(2,3). АВСД – трапеция: АВ ││СД, А = 90°, ДС = 2 . Найти координаты точек С и Д. 2. . АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС. I = (Д,ДС,ДР), II = (В,ВС,ВА) . Зная координаты точки М(3,1) в I системе координат, найти координаты точки М во II системе координат 3. Дана система координат (О,i,). F: 2ρ2 - 8 ρ cosφ + 8 ρ sinφ = 3. Определить вид F.

 

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕМЫ 2

91. АВ(1,6), ВС(1,-1), М(11,1), К(0,7).

92. (2,1), (2,-1), (-2,-1), )-2,1).

93. 1) (-4,-4), (4,-4), (4,4), (-4,4).

2) С(4 ,0), В(0, 4 ), А(-4 ,0), Д(0,- 4 ).

3) А(-4,0), В(4,0), С(4,8), Д(-4,8)

94. А(0,0), В(1,0), С(3/2, ), Д(1, ), Е(0, ), F(-1/2, ).

95. А(-5,0), В(-5 + 2 , 2), С(5 - 2 , 2), Д(5,0).

98. Д(1,-2)

99. 1) 1, 2) , 3)13.

100. 1) , 2) 5, 3) 13.

101. (14,0), (0, 14/3).

102. (7,0), (-17,0), (0, 9 + 10 ), (0, 9 - 10 ).

103. 1) равносторонний, 2) равнобедренный, 3) прямоугольный.

104. Существует два квадрата АВС1Д1 и АВС2Д2. С1(1,8), Д1(-4,6),

С2(5,-2), Д2(0,-4).

105. Существует два треугольника АВС1 и АВС2.

С1(-1 - , 3 + 2 ), С2(-1 + , 3 - 2 ).

106. (2,10). Указание. Так как ось ОХ касается окружности в точке В, то

х = 2, далее воспользоваться тем, что АМ = ВМ.

107. А(1,0), В(1/2, ), С(-1/2, ), Д(-1,0), Е(-1/2, - ), F(1/2, - ).

108. 1) 2/3, 2) С(7/5, 1/5)

109 .1) -1/2, 2) -3/2, 3) - 4, 4) -5/6, 5) 1/4 .

110. А( 17/3, 16/3), М(-25/3, 4/3)

111. А(7,11)

112. 1) А1(2,-1), В1(1,-5), С1(3,1), 2) Р(2,-2), 3) М(2, - 5/3).

113. С(-3,-5).

114. .

115. А(-2,-6), В(8,2), С(-6,10).

116.С(21/2, 10), Д(4,-3).

117. (10/3, 17/3). Указание. Сначала найти координаты точки Д, для этого воспользоваться свойством биссектрисы АД треугольника АВС:

ВД : ДС = АВ :АС и значит (АВ,Д) = АВ : АС.

118. .

119. (2,-2).

120. (2,3). Указание. Пусть Н(х,у). Т.к. АН – высота треугольника АВС, то

АН ВС = 0, а т.к. Н ВС, то ВН ││ВС.

121. В( 6,5), Д(0,-3).

122. 1) и 2) положительная ориентация, 3) отрицательная ориентация.

124. – 68/25.

125. 1), 4) – левый базис, 2), 3) – правый базис.

126. Ι│ΙΙ = 1, ΙΙ – правый базис.

127. Ι│ΙΙ = -2, ΙΙ│ΙΙΙ = -1, Ι│ΙΙΙ = 2.

128. 1) 135°, 2) - 45°, 3) -30°.

129. 1) АВС, 2) САВ.

130. 1) (3 /2, 3/2). 2) (- 5 /2, 5 /2), 3) (1/2, - /2).

 

132. 1) А1(1, -3π/4), В1(3, - π/3), С1 (2/3, 5π/6),

2) А2(1, -π/4), В2(3, - 2π/3), С2 (2/3, π/6).

 

133. 1) А( , 0), В( , 2 π/3), С( , - 2 π/3).

2) А: ρ = 0, φ не определен, В(1,0), С(1, π/3).

134. 1) А( , π/4), В( , - π/4), С( , - 3 π/4), Д( ,3 π/4).

2) А: : ρ = 0, φ не определен, В(3, π/2), С(3 , π/4), Д(3,0).

135. 1) А(2,0), В(2, π /3), С(2, 2 π/3), Д(2, π), Е(2, -2 π/3), F(2, - π/3)

2) А: ρ = 0, φ не определен, В(2, π/3), С(2 , π/6), Д(4,0),

Е(2 , - π/6), F(2, - π/3).

136. 1)Окружность с центром О и радиусом 1,

2) Окружность с центром О и радиусом а,

3) Открытый луч с началом О, образующий с полярной осью

угол π/6.

137. 1) А(5/2, 5 /2), В(0,1), С( - /4, /4).

2) М(6, π/2), Р( ,3π/4), К(2, π/6).

138. 1) , 2) 10, 3) 5.

141. ρ2 -2ρ Sinφ – 8 = 0

142. 1) Прямая, перпендикулярная полярной оси и проходящая через

точку с полярными координатами (2,0),

2) Окружность радиуса 5 с центром (5, π/2),

3) Прямая, параллельная полярной оси и проходящая через

точку (1, π/2).

4) Две прямые, проходящие через начало полярной системы

координат и образующие с полярной осью углы π/4 и 3 π/4.

143. 1) φ = arctg 1/3

2) ρ Sin φ + 5 = 0,

3) ρ2 (1 + Cos 2φ) = 5,

4) ρ2 Sin2φ - 4 ρ Cos φ = 0

144. А(-5,4), В(-12,5), С(-7,3).

145. х = - х ٰٰ+ 1, у = - х ٰ- ½ у ٰ + 1.

146. 1) х = - 7у ٰ , у = 2х ٰ + 2

2) х = х ٰ+ 2у ٰ+ 1, у = 4х ٰ+ 3у ٰ + 1.

147. х = - х ٰ- 2у ٰ+ 1, у = х ٰ- у ٰ .

148. х = х ٰ- 1, у = - ½ х ٰ+ ½ у ٰ + ½ Указание. Сначала составить формулы

преобразования координат при переходе от системы ΙΙ к системе Ι, а

.затем из этих формул выразить х и у.

149. (- 17/7, - 2/7).

150. х = - ½ х ٰ- ½ у ٰ + ½, у = х ٰ+ 1.

151. 1) х = х ٰ- у ٰ- 3, у = х ٰ+ у ٰ + .

2) х = х ٰ+ ½ у ٰ, у = ½ х ٰ- у ٰ – 2.

152. (5/2, 9/2).

153. Все точки прямой х + у – 2 = 0.

154. (-2,-1).

155. (-2, -5).

156. (0,1).

157. х = х’ + у’ + , у = - х’ - у’ + .

158. (х + 1)2 + (у – 3)2 = 16.

159. х2 + у2 = 25..

160. 1) М(3,0), r = 3, 2) М(-3,4), r = 5, 3) М(5, -12), r = 15,

4) М(-1, 2/3), r = 4/3.

161. 1) Окружность с центром (1, -2) и радиусом r = 5.

5) Окружность с центром (1, 0) и радиусом r = 1

7) Окружность с центром (2,1) и радиусом r = 2

Остальные уравнения не определяют окружность..

162. Точки А, С, Д лежат вне окружности, точка В на окружности.

163. 1) Точки находятся вне или на окружности с центром (1,3) и

радиусом r = 5.

2) Точки расположены между двумя концентрическими

окружностями и на самих окружностях, радиусы которых

равны 4 и 5, а их общий центр (1, -3),

3) Точки принадлежат общей части двух кругов и границе кругов,

центры которых в точках (1,2) и (4,6) и радиусы равны 5 и 3.

164. (х -6)2 + (у – 5)2 = 25.

165. х2 + (у – а)2 = а2, а ≠ 0.

166. (х – 3)2 + (у + 4)2 = 25.

167. (х – 1)2 + (у + 3)2 = 68.

168. (х – 3)2 + (у – 2)2 = 26 и (х + 3)2 + (у – 6)2 = 26.

169. (х – 2)2 + (у – 3)2 = 1. Указание. Так как центр М окружности лежит на прямой 3х –у – 3 = 0, то М имеет координаты М(х, 3х – 3).

170. (х + 3)2 + у2 = 8.

171. Пусть │АВ│= 2а . а) Если с2 >2а2 , то искомое множество есть окружность с центром в середине АВ, б) если с2 = 2а2, то искомое множество есть одна точка – середина АВ, в) если с2< 2а2, то искомое множество есть пустое множество.

172. х2 + (у – 3)2 = 9.

173. Окружность с центром в точке пересечения данных прямых и радиусом 4. Указание. Рассмотреть прямоугольную декартову систему координат, оси которой совпадают с данными прямыми.

174. Прямая с уравнением х = 9/4.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти