ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Означення математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, моделі системи аксіом.

Означення математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, моделі системи аксіом.

Математична структура - назва, що об'єднує поняття, спільною рисою яких є їх придатність до множинам, природа яких не визначена. Для визначення самої структури задають відносини, в яких знаходяться елементи цих множин. Потім постулюють, що дані відносини задовольняють певним умовам, що є аксіомами розглянутої структури. Побудувати аксіоматичну теорію даної структури - це означає вивести логічні наслідки з аксіом структури, відмовившись від будь-яких інших припущень щодо самих аналізованих елементів, і, зокрема, від всяких гіпотез щодо їх "природи".

Аксіоматичний метод — спосіб побудови наукової теорії, при якому в основу теорії кладуться деякі вихідні положення, що їх називають аксіомами теорії, а всі інші положення теорії випливають як логічні наслідки аксіом. Більшість напрямків сучасної математики, теоретична механіка, ряд розділів фізики побудовані на основі аксіоматичного методу. В математиці аксіоматичний метод дає можливість створення закінчених, логічнозавершиних наукових теорій. Не менше значення має й те, що математична теорія, побудована аксіоматично, часто знаходить застосування в інших науках.

Формальная теорія(Формальная теорія, аксиоматическая теория) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы». Этим ФС были предъявлены определенные требования.

Модель системы аксиом — какой-либо математический объект, который отвечает данной системе аксиом. Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамках другой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модель позволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности данной аксиоматической теории.

Примеры

[править]Модель формальной логики в рамках булевой алгебры

· «Переменные» — булевы переменные из множества {0,1}.

· Знаки и — соответствующие операции булевой алгебры.

Подстановкой всех возможных A, B, C в аксиомы убеждаемся, что в этой модели выполняются все аксиомы. Точно так же проверяется истинность modus ponens.

[править]Модель планиметрии в рамках арифметики

«Точка» — пара действительных чисел .

«Прямая» — все точки, для которых , где и одновременно не равны 0.

«Плоскость» — все возможные пары действительных чисел .

[править]Модель геометрии Лобачевского в рамках планиметрии

Наиболее интересной моделью геометрии Лобачевского является модель Пуанкаре. «Пространство» — это внутренность круга, «точкой» считается точка, а «прямой» — прямая или дуга, перпендикулярная окружности. Углы считаются как в геометрии Евклида.

Физический смысл модели таков. Пусть скорость света в круглом «мире» изменяется от c в центре до нуля на краях (а значит, показатель преломления будет 1 в центре и на краях). Тогда свет будет двигаться по дугам, перпендикулярным границе, но не дойдёт до границы за конечное время. Обитателям этот «мир» будет казаться бесконечным, а геометрию Лобачевского они примут на веру.


Вимога незалежності системи аксіом. Теорема.

Опр.Система аксиом наз. Независимой, если никакая из аксиом системы не явл. Следствием остальных систем аксиом.

Теорема

Пусть дана система аксиом аксиома не зависит от остальных аксиом системы , если система аксиом непротиворечива.

Док-во. (1)

А: - непротиворечива

В: не зависит от

Вместо (1), докажим (2): . Пусть следует из остальных аксиом системы ,т.е. явл. Теоремой в аксиоматической теории построенное на базе , тогда в этой теории справедливо предложение: как теорема и как аксиома значит противоречива, значит наше не зависит от остальных аксиом.

 


I.Аксиомы принадлежности

I1. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.

I2. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой

II. Аксиомы порядка

II1. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

На основе этой аксиомы вводится понятие отрезка. Отрезком АВ называется множество всех точек прямой, лежащих между точками А и В.

II2. Прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок, соединяющий точки одной полуплоскости, не пересекается с прямой, а отрезок, соединяющий точки разных полуплоскостей, пересекается с прямой.

После этого вводятся понятия луча и треугольника. Лучом АВ с началом А называется множество точек, состоящее из точки В и всех точек М прямой АВ, таких, что точка А не лежит между точками В и М.

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

III. Аксиомы меры для отрезков и углов

Обозначим через L – множество всех отрезков, а через R+ - множество всех положительных чисел.

III1. Если выбран некоторый отрезок PQ, то существует отображение l:LR+такое, что выполняются два условия:

а) если точка С лежит между точками А и В, то l(AC)+l(CB)=l(AB);

б) l(PQ)=1/

Если l': L R+ - отображение при другом выборе отрезка P'Q', то из равенства l(AB)=(CD).

Число l(AB) называется длинной отрезка АВ, а отрезок PQединичным отрезком.

Для введения следующей аксиомы определим понятие угла. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом. Угол называется развернутым, если эти лучи лежат на одной прямой. Лучи, образующие угол, называются его сторонами, а общее начало сторон угла называется вершиной этого угла. Говорят, что данный луч проходит между сторонами неразвернутого угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. В случае развернутого угла считается, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Обозначим через W множество всех углов.

III2. Существует отображение ф: W→R+ такое, что выполняются два условия:

а) если луч r проходит между сторонами угла pq, то ф(pr)+ф(rq)=ф(pq);

б) если pq – развернутый угол, то ф(pq)=180.

Число ф(pq) называется градусной мерой угла pq.

IV.Аксиома существования треугольника, равного данному.

Два отрезка называются равными, если при любом выборе единичного отрезка их длины равны. Два угла называются равными, если они имеют одну и ту же градусную меру. Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если выполняются равенства:

<А=<А1, <В=<В1, <С=<С1,АВ=А1В1,ВС=В1С1,АС=А1С1

IV. Пусть ABC – треугольник и р – луч. Тогда существует треугольник A1B1C1, равный треугольнику ABC, у которого вершина A1 совпадает с началом луча р, вершина B1 лежит на луче р, а вершина C1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч р.

V. Аксиома существования отрезка данной длинны

V.Если выбран единичный отрезок, то, каково бы ни было положительное действительное число t, существует отрезок длинной t.

Аксиома параллельности Лобачевского

Сформируем аксиому параллельности Лобачевского, введенную им в варианте, приемлемом как для случая плоскости, так и для случая пространства.

VI.Пусть a – произвольная прямая, а А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую.

--------------------------

Требование непротиворечивости является важнейшим из всех трёх требований, предъявляемых к системе аксиом, ибо наличие противоречий в системе аксиом означает полную её негодность: такая система аксиом логически бессмысленна, является бессодержательной и потому исключается из математики.

Идея доказательства непротиворечивости данной системы аксиом основана на той мысли, что если существует хотя бы одна такая область вещей, некоторые отношения между которыми удовлетворяют данной аксиоматике, то последняя не может содержать логических противоречий.

Множество таких объектов, в которых данная система аксиом находит своё реальное воплощение, называется «моделью» или «интерпретацией» данной системы аксиом.

Таким образом, доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной модели или интерпретации, в которой реализуется данная аксиоматика.

Для построения модели геометрии Лобачевского воспользуемся предположением, что геометрия Евклида непротиворечива. Если в евклидовом пространстве найдутся такие фигуры, между которыми имеют место такие же соотношения, какие имеют между собой точки, прямые и плоскости в геометрии Лобачевского, то эти фигуры могут служить объектами для построения модели геометрии Лобачевского. Таким путём непротиворечивость геометрии Лобачевского будет сведена к непротиворечивости геометрии Евклида.

Действительно, такую интерпретацию геометрии Лобачевского в пространстве Евклида можно построить и притом многими способами.

Наиболее значительные доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского содержатся в трудах Ф. Миндинга, А. Кэли, А. Пуанкаре, Э. Бельтрами и других выдающихся математиков. Основательную разработку эта проблема получила в трудах итальянского математика Бельтрами, продолжившего работы профессора Тартуского университета Миндинга о внутренней геометрии псевдосферы.


Основні поняття

Через будь-які дві точки на поверхні сфери (крім діаметрально протилежних) можна провести єдиний великий круг. Це коло дає окружність, утворену перетином сфери та площині, що проходить через її центр. Великі кола на поверхні сфери відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Будь-які два великих кола перетинаються по прямій проходить через центр сфери, а кола, про які було сказано вище, перетинаються в двох діаметрально протилежних точках.

При перетині двох великих кіл утворюються чотири сферичних двуугольніка. Площа двуугольніка визначається формулою S = 2 R2 α , Де R - Радіус сфери, а α - Кут двуугольніка.

Три великих кола, не перетинаються в одній точці, утворюють вісім сферичних трикутників. Сферичний трикутник, всі сторони якого менше половини великого кола, називається ейлеровим. Крім трьох ознак рівності плоских трикутників, для сферичних трикутників має місце ще один: два сферичних трикутника рівні, якщо їх відповідні кути рівні.

Сторони сферичного трикутника вимірюють величиною кута, утвореного радіусами сфери, проведеними до кінців даної сторони. Кожна сторона сферичного трикутника менше суми і більше різниці двох інших. Сума всіх сторін сферичного трикутника завжди менше 2π . Сума кутів сферичного трикутника s = α + β + γ завжди менше 3π і більше π . Величина s - π = εназивається сферичним надлишком. Площа сферичного трикутника визначається за формулою Жирара S = R 2 ε .

Співвідношення між елементами сферичного трикутника вивчає сферична тригонометрія

Лінії та кути на сфері

Ортодрома є найкоротшим щляхом між двома точками на поверхні

На поверхні сфери найближчий аналогпрямої лінії є велике коло, тобто коло, центр якого збігається з центром сфери. Наприклад, спрощуючи форму Землі (геоїд) до сфери, меридіани тарівноденник — великі кола на її поверхні, тоді як лінії широти не є великими колами через те, що вони менші за рівноденник; їх центр не збігається з центром Землі, натомість це малі кола. Як і відрізок на площині, дуга великого кола (що стягує кут, не більший 180°) на сфері є найкоротшим шляхом між двоматочками і називається ортодрома. Великі кола — особливий випадок геодезичних ліній.

Площа на поверхні сфери, обмежена дугами великого кола, називається сферичний многокутник. Зауважте, що на відміну від плоского випадку, сферичний двокутник (двосторонній аналог трикутника) має невироджений вигляд (так само як і долька помаранча). Такий многокутник часто називають місяцем.

Сторону многокутника визначають кутом, утвореним радіусами сфери, проведених до кінців цієї сторони. Зауважимо, що добутком такого кута дуги, виміряного в радіанах, на радіус сфери буде довжина дуги. (В особливому випадку многокутників на сфері радіусом один довжини дуг дорівнюють величинам відповідних кутів.)

Таким чином, сферичний трукутник визначається через свої кути і сторони, але сторони визначаються через їх дугові кути.

Сума кутів при вершинах сферичного трикутника завжди більша, ніж сума кутів плоского трикутника, в якому вона дорівнює 180°. Величина E, на яку сума кутів перевищує 180°, називається сферичним ексцесом:

де α, β і γ позначають кути. Теорема, раніше відкрита, але не опублікована англійським математиком Томасом Херіотом, після того, як в XVI ст. французький математик Альберт Жирар вказав, що надлишок визначає площу будь-якого сферичного трикутника,

де R радіус сфери, була названа теоремою Жирара. З цього і формули площі сфери випливає, що сума кутів сферичного трикутника дорівнює 180°× .

Аналогічний результат відомий для гіперболічних трикутників, з «ексцесом», заміненим на «дефект»; це два особливих випадки Теореми Ґауса-Бонне.

З цього слідує, що на сфері не існує двох нетривіальних подібних трикутників (трикутники з однаковими кутами, але різними довжинами сторін і площами). У випадку сфери з одиничним радіусом площа просто дорівнює куту ексцеса: A = E.

Для розв'язання геометричної задачі на сфері можна разділити фігуру на сферичні прямокутні трикутники, тоді можна використати п'ятикутник Непера (коло Непера):

Коло Непера показає співвідношення частин прямокутного сферичного трикутника

Пятикутник Непера (також відомий як коло Непера) - це мнемоніка, яка допомогає знайти всі співвідношення між кутами в прямокутному сферичному трикутнику.

Запишіть шість кутів трикутника (три кути при вершинах, три дугові кути) у формі кола, відповідно до порядку, в якому вони з'являються в трикутнику (тобто починаючи з кута при вершині, потім кут дуги, прилеглої до цієї вершини, далі кут при наступній вершині і т.д.). Потім викресліть прямий кут і замініть неприлеглі до нього кути на їх доповнення до 90° (інакше кажучи, B на 90° − B). П'ять цифр, що ви маєте у себе на папері, утворюють п'ятикутник Непера (або коло Непера). При будь-якому виборі трьох кутів один з них (назвемо його середнім) буде або протилежним, або прилеглим для двох інших (маються на увазі їх позиції в п'ятикутнику). Правила Непера стверджують, що синус середнього кута дорівнює:

· добутку тангенсів прилеглих кутів;

· добутку косинусів протилежних кутів.

Мнемонікою для запам'ятовування тригонометричних функцій є перші голосні з прикметників, що описують кожний кут (тобто, i для middle (середній),o для opposite (протилежний), a для adjacent (прилеглий)), вони однакові з першими голосними назв функцій.

Наприклад, для кута можна отримати формулу:

Використовуючи тотожність для комплементарних кутів, отримуємо:


Модель Пуанкаре

Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского осуществляется на евклидовой плоскости средствами евклидовой геометрии. Проводим прямую Ох на обыкновенной плоскости (рис. 27). Категории основных объектов:

«Точки» — обыкновенные точки в верхней полуплоскости; точки самой прямой Ох и точки в нижней полуплоскости в модели не рассматриваются;

«Прямые» — полуокружности с центрами на прямой Ох и обыкновенные полупрямые, перпендикулярные основной прямой Ох;

«Плоскость» — верхняя полуплоскость. «Принадлежать» и «лежат между» понимаем в обычном смысле

 

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вер шинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии

Рисунок 1 плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

 


Модель Пуанкаре в круге

 

В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a, b, b/), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является: , где и — оси абcцисс и ординат, соответственно.[3]

 

Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

 

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

 

(Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.)

(Модель Пуанкаре в круге)

(Модель Пуанкаре в единичном круге. с евклидовыми модулями)

 

 

Конформно-евклидова модель Пуанкаре (иногда называется диск Пуанкаре) — модель пространства Лобачевского, наряду с моделью Клейна и моделью псевдосферы. Предложена Анри Пуанкаре в 1882 году[1] в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

 

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (то есть модель Пуанкаре конформна)[2] в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

Означення математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, моделі системи аксіом.

Математична структура - назва, що об'єднує поняття, спільною рисою яких є їх придатність до множинам, природа яких не визначена. Для визначення самої структури задають відносини, в яких знаходяться елементи цих множин. Потім постулюють, що дані відносини задовольняють певним умовам, що є аксіомами розглянутої структури. Побудувати аксіоматичну теорію даної структури - це означає вивести логічні наслідки з аксіом структури, відмовившись від будь-яких інших припущень щодо самих аналізованих елементів, і, зокрема, від всяких гіпотез щодо їх "природи".

Аксіоматичний метод — спосіб побудови наукової теорії, при якому в основу теорії кладуться деякі вихідні положення, що їх називають аксіомами теорії, а всі інші положення теорії випливають як логічні наслідки аксіом. Більшість напрямків сучасної математики, теоретична механіка, ряд розділів фізики побудовані на основі аксіоматичного методу. В математиці аксіоматичний метод дає можливість створення закінчених, логічнозавершиних наукових теорій. Не менше значення має й те, що математична теорія, побудована аксіоматично, часто знаходить застосування в інших науках.

Формальная теорія(Формальная теорія, аксиоматическая теория) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы». Этим ФС были предъявлены определенные требования.

Модель системы аксиом — какой-либо математический объект, который отвечает данной системе аксиом. Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамках другой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модель позволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности данной аксиоматической теории.

Примеры

[править]Модель формальной логики в рамках булевой алгебры

· «Переменные» — булевы переменные из множества {0,1}.

· Знаки и — соответствующие операции булевой алгебры.

Подстановкой всех возможных A, B, C в аксиомы убеждаемся, что в этой модели выполняются все аксиомы. Точно так же проверяется истинность modus ponens.

[править]Модель планиметрии в рамках арифметики

«Точка» — пара действительных чисел .

«Прямая» — все точки, для которых , где и одновременно не равны 0.

«Плоскость» — все возможные пары действительных чисел .

[править]Модель геометрии Лобачевского в рамках планиметрии

Наиболее интересной моделью геометрии Лобачевского является модель Пуанкаре. «Пространство» — это внутренность круга, «точкой» считается точка, а «прямой» — прямая или дуга, перпендикулярная окружности. Углы считаются как в геометрии Евклида.

Физический смысл модели таков. Пусть скорость света в круглом «мире» изменяется от c в центре до нуля на краях (а значит, показатель преломления будет 1 в центре и на краях). Тогда свет будет двигаться по дугам, перпендикулярным границе, но не дойдёт до границы за конечное время. Обитателям этот «мир» будет казаться бесконечным, а геометрию Лобачевского они примут на веру.


© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти