|
Вимога повноти систем аксіом, теорема (доведення).Приклади повних и не повних систем аксіом.
С-ма аксиом наз. полной относительно данного списка неопределяемых понятий если ее нельзя дополнить новым предложением F с такими свойствами: 1) = непротиворечива 2) F не зависит от аксиом системы 3)F не вводит новых неопределяемых понятий. ThС-ма аксиом будет полной если все ее интерпритации изоморфны. A: все интерпритации изоморфны В: система полная Доказательство:методом от противного пусть - система не полная по определению при чем - непротиворечива - непротиворечива Рассмотрим модели и они будут так же моделями с-мы . Но они не могут быть изоморфными, т.к. в одной выполняется предложение F, а в другой .
6 Начало Евклида. Содержание, структура, недостатки. Проблема и ее история решения. «Начала» Евклида состоят из 13 книг: I – VI посвящены планиметрии; VII – IX – арифметике; Х – несоизмеримым величинам; XI–XIII – стереометрии (XIII посвящена правильным многогранникам). Но не все из того, что уже было известно, изложено в «Началах», например, теория конических сечений в «Началах» не была представлена. Каждой из 13 книг «Начал» предпосылаются основные предложения, необходимые для вывода всех предложений рассматриваемой книги. Эти предложения делятся на 3 категории: определения, аксиомы и постулаты. Первая книга «Начал» начинается с 23-х определений. Приведём список некоторых определений «Начал»: 1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия есть длина без ширины. 3. Границы линии суть точки. 23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются. За определениями следуют постулаты и аксиомы, т. е. предложения, принимаемые без доказательства. Полный список аксиом и постулатов данный Евклидом не сохранился. Известно 5 постулатов и 10 аксиом. Постулаты: Требуется, 1. Чтобы из каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию. 2. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжать неограниченно. 3. И чтобы из каждой точки, как из центра, можно было произвольным радиусом описать окружность. 4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу. V постулат: 5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых. Аксиомы: 1. Равные порознь третьему равны между собой. 2. И если к равным прибавим равные, то получим равные. 6. И половины равных равны между собой. 8. И целое больше части. 9. И две прямые не могут заключить пространства. С современной точки зрения, одно из слабых мест «Начал» Евклида – это определения. Он дает определения таких понятий как точка, плоскость, прямая, т. е. стремится дать определение всем геометрическим понятиям, а это невозможно. Многие его определения крайне туманны, например: 1. «Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек». 2. «Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим». Евклид в «Началах» разделил постулаты и аксиомы. Но трудно провести между ними строгую грань. С современной точки зрения все они могут называться аксиомами. Другой важный недостаток «Начал» – неполнота системы аксиом: нет аксиомы непрерывности, аксиом движения и порядка, связанных с терминами «между» и «вне». V постулат занимает в системе постулатов «Начал» особое положение в силу ряда глубоких соображений. Прежде всего, обращает на себя внимание то обстоятельство, что утверждение, содержащееся в V постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой имеют прочие постулаты. Во-вторых, формулировка V постулата носит довольно сложный и громоздкий характер. И наконец, третья особенность заключается в весьма своеобразном использовании Евклидом этого постулата. В то время, как все остальные постулаты используются им с самого начала, при изложении первых теорем, V постулат применяется впервые лишь в доказательстве 29-го предложения. Таким образом, применение V постулата в «Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения на две категории: на предложения, доказываемые без помощи V постулата; и на предложения, которые не могут быть доказаны без его использования. Предложения первой категории называются абсолютной геометрией, а второй – образует так называемую собственную евклидову геометрию. Изложенные особенности V постулата имели большое значение для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие после Евклида, и комментаторы «Начал», рассматривали V постулат, как предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему. Они были убеждены в его доказуемости. Поэтому усилия многих поколений математиков были направлены на то, чтобы доказать V постулат при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем. В этом и заключалась проблема V постулата Евклида. Насколько велик труд, затраченный на исследования, связанные с проблемой доказательства V постулата, можно судить по тому, что известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории параллельности и не достигших поставленной цели. Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех попыток доказательства V постулата, они всё же не были бесполезны. В результате этих многовековых поисков были выявлены логические зависимости между некоторыми важными геометрическими предложениями и, в частности, были открыты предложения, эквивалентные V постулату. Например, в современной школьной практике V постулат известен, как аксиома параллельных Плейфера: «Через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной». |
|
|