ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Система аксіом Вейля. Огляд структури та приклади аксіом

Трехмерное евклидово пространство определяется как множество, состоящее из элементов двух родов - "точек" и "векторов", удовлетворяющих следующим 4 группам аксиом:

I группа- аксиомы, определяющие соотношения между точками и векторами. I Х. Существует по меньшей мере одна точка. I2. Каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один и только один вектор. I3- Для каждой точки Аи каждого вектора асуществует одна и только одна точка Втакая, что

( есть вектор я). I4. Если , то = .

На основе этой группы аксиом определяется сумма векторов, к-рая удовлетворяет требованиям коммутативности и ассоциативности. Существует нуль-вектор, противоположный вектор. Векторы по сложению образуют группу.

II группа- аксиомы, описывающие операцию умножения вектора на число. II1. Каждому вектору а и каждому поставлен в соответствие определенный вектор ka(ka наз. произведением вектора а, на число k).II2. Умножение вектора на 1. не изменяет вектора. II3. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел (k1+k2)a= k1a+k2a.II4. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов k(a1+a2)=ka1+ka2 II5. Умножение вектора на число ассоциативно

k1(k2a)=(k1k2)a

С помощью операций сложения и умножения на число определяется линейная комбинация векторов, их линейная зависимость.

III группаопределяет размерность пространства. IIIi. Существуют три линейно независимых вектора, но всякие четыре - линейно зависимы.

Эта аксиома имеет топологич. характер; из нее вместе со второй группой аксиом следует, что R3 является топологич. пространством размерности 3. Первые три группы аксиом определяют трехмерное аффинное пространство.

IV группаопределяет метрич. свойства. IV1. Любым двум векторам а и b поставлено в соответствие определенное число (скалярное произведение) (a, b)=l, . IV2. Симметричность скалярного произведения: (a, b) =(b, a). IV3. Дистрибутивность скалярного произведения ( а, b+c)=(a, b)+( а, с). IV4. Для имеет место (a, kb)=k(a, b).IV5. Скалярный квадрат вектора неотрицателен , причем ( а, a)=0 только для нуль-вектора.

На основе IV группы аксиом определяется расстояние между точками, угол между векторами и т. д.; с помощью векторов - "отрезки", "прямые", "плоскости" и т. д.

Схема Вейля допускает обобщение на случай любой размерности, с помощью соответствующего изменения аксиом в эту схему включаются гиперболич. и эллиптич. пространства и т. д.

Система аксиом Вейля евклидовой геометрии является непротиворечивой, независимой и удовлетворяет требованию полноты (категоричности, или минимальности). Непротиворечивость устанавливается с помощью числовой модели: упорядоченным тройкам чисел (x1, x2, x3), ; i=1, 2, 3, ставятся во взаимно однозначное соответствие "точки" пространства . Вектор с началом в и концом в определяется тройкой а=( а 1, а 2, а 3), ; i=1, 2, 3. Сумма векторов (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3).определяется тройкой (a1+b1, a2+b2, a3+b3), произведение вектора (а 1, а 2, а 3) на число есть тройка (ka1, ka2, ka3). Скалярное произведение векторов (а 1, а 2, а 3) и (b1, b2, b3).выражается числом . Базисные векторы (тройка линейно независимых векторов) можно изображать тройками e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), е 3=(0,0,1). Для доказательства независимости аксиом друг от друга и независимости групп аксиом строится интерпретация системы, получающейся из данной путем замены какой-либо ее аксиомы ее отрицанием. Полнота системы выводится из полноты множества действительных чисел.

 

 

13.Эквивалентность аксиом Вейля и Гильберта

Как мы знаем, если в рамкахаксиоматики Гильберта назвать вектором направленный отрезок, а сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определить так, как это было сделано выше, то все аксиомы Вейля окажутся теоремами - мы их доказали. Оказывается, что верно и обратное: если, исходя из аксиом Вейля, определить прямые, плоскости и другие основные понятия системы аксиом Гильберта, то все аксиомы Гильберта станут теоремами - их можно будет доказать. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля эквивалентны.


23. Аксиоматика плоскости Лобачевского

Планиметрия Лобачевского строится на аксиоматике евклидовой геометрии с заменой аксиомы параллельности на аксиому Лобачевского: пусть a – произвольная прямая, а A – точка, не лежащая на этой прямой; тогда существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую a.

В литературе, посвященной построению моделей геометрии Лобачевского, авторы применяют различные системы аксиом. Так, в книге Н.В.Ефимова “Высшая геометрия” для этой цели привлечена аксиоматика Д.Гильберта. В данной работе рассмотрена система аксиом для плоскости Лобачевского, используя аксиоматику евклидовой геометрии, предложенную А.В.Погореловым.

Основными объектами являются точки и прямые; также используется при этом множество действительных чисел.

Множество всех точек обозначим через Н2, оно называется плоскостью, множество всех прямых обозначим буквой F, а R – поле действительных чисел. Полагаем, что Н2 и F – непустые множества.

Множество Н2 называется плоскостью Лобачевского, если указанные ниже основные отношения а – г подчиняются требованиям приведенных далее аксиом I – VI групп.

Основными отношениями являются следующие четыре отношения:

а)принадлежность точки и прямой;

б) лежать между для трех точек одной прямой;

в)длинна отрезка;

г)мера(градусная) угла;

Рассматриваемая система аксиом состоит из девяти аксиом, разбитых на шесть групп.

I.Аксиомы принадлежности

I1. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.

I2. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой

II. Аксиомы порядка

II1. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

На основе этой аксиомы вводится понятие отрезка. Отрезком АВ называется множество всех точек прямой, лежащих между точками А и В.

II2. Прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок, соединяющий точки одной полуплоскости, не пересекается с прямой, а отрезок, соединяющий точки разных полуплоскостей, пересекается с прямой.

После этого вводятся понятия луча и треугольника. Лучом АВ с началом А называется множество точек, состоящее из точки В и всех точек М прямой АВ, таких, что точка А не лежит между точками В и М.

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

III. Аксиомы меры для отрезков и углов

Обозначим через L – множество всех отрезков, а через R+ - множество всех положительных чисел.

III1. Если выбран некоторый отрезок PQ, то существует отображение l:LR+такое, что выполняются два условия:

а) если точка С лежит между точками А и В, то l(AC)+l(CB)=l(AB);

б) l(PQ)=1/

Если l': L R+ - отображение при другом выборе отрезка P'Q', то из равенства l(AB)=(CD).

Число l(AB) называется длинной отрезка АВ, а отрезок PQединичным отрезком.

Для введения следующей аксиомы определим понятие угла. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом. Угол называется развернутым, если эти лучи лежат на одной прямой. Лучи, образующие угол, называются его сторонами, а общее начало сторон угла называется вершиной этого угла. Говорят, что данный луч проходит между сторонами неразвернутого угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. В случае развернутого угла считается, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Обозначим через W множество всех углов.

III2. Существует отображение ф: W→R+ такое, что выполняются два условия:

а) если луч r проходит между сторонами угла pq, то ф(pr)+ф(rq)=ф(pq);

б) если pq – развернутый угол, то ф(pq)=180.

Число ф(pq) называется градусной мерой угла pq.

IV.Аксиома существования треугольника, равного данному.

Два отрезка называются равными, если при любом выборе единичного отрезка их длины равны. Два угла называются равными, если они имеют одну и ту же градусную меру. Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если выполняются равенства:

<А=<А1, <В=<В1, <С=<С1,АВ=А1В1,ВС=В1С1,АС=А1С1

IV. Пусть ABC – треугольник и р – луч. Тогда существует треугольник A1B1C1, равный треугольнику ABC, у которого вершина A1 совпадает с началом луча р, вершина B1 лежит на луче р, а вершина C1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч р.

V. Аксиома существования отрезка данной длинны

V.Если выбран единичный отрезок, то, каково бы ни было положительное действительное число t, существует отрезок длинной t.

Аксиома параллельности Лобачевского

Сформируем аксиому параллельности Лобачевского, введенную им в варианте, приемлемом как для случая плоскости, так и для случая пространства.

VI.Пусть a – произвольная прямая, а А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую.

--------------------------

Требование непротиворечивости является важнейшим из всех трёх требований, предъявляемых к системе аксиом, ибо наличие противоречий в системе аксиом означает полную её негодность: такая система аксиом логически бессмысленна, является бессодержательной и потому исключается из математики.

Идея доказательства непротиворечивости данной системы аксиом основана на той мысли, что если существует хотя бы одна такая область вещей, некоторые отношения между которыми удовлетворяют данной аксиоматике, то последняя не может содержать логических противоречий.

Множество таких объектов, в которых данная система аксиом находит своё реальное воплощение, называется «моделью» или «интерпретацией» данной системы аксиом.

Таким образом, доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной модели или интерпретации, в которой реализуется данная аксиоматика.

Для построения модели геометрии Лобачевского воспользуемся предположением, что геометрия Евклида непротиворечива. Если в евклидовом пространстве найдутся такие фигуры, между которыми имеют место такие же соотношения, какие имеют между собой точки, прямые и плоскости в геометрии Лобачевского, то эти фигуры могут служить объектами для построения модели геометрии Лобачевского. Таким путём непротиворечивость геометрии Лобачевского будет сведена к непротиворечивости геометрии Евклида.

Действительно, такую интерпретацию геометрии Лобачевского в пространстве Евклида можно построить и притом многими способами.

Наиболее значительные доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского содержатся в трудах Ф. Миндинга, А. Кэли, А. Пуанкаре, Э. Бельтрами и других выдающихся математиков. Основательную разработку эта проблема получила в трудах итальянского математика Бельтрами, продолжившего работы профессора Тартуского университета Миндинга о внутренней геометрии псевдосферы.


© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти