ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Поняття про сферичну геометрію

Сферична геометрія - розділ геометрії, що вивчає геометричні фігури на поверхні сфери. Сферична геометрія виникла в давнину в зв'язку з потребами географії та астрономії.

Основні поняття

Через будь-які дві точки на поверхні сфери (крім діаметрально протилежних) можна провести єдиний великий круг. Це коло дає окружність, утворену перетином сфери та площині, що проходить через її центр. Великі кола на поверхні сфери відіграють роль, аналогічну ролі прямих у планіметрії. Будь-які два великих кола перетинаються по прямій проходить через центр сфери, а кола, про які було сказано вище, перетинаються в двох діаметрально протилежних точках.

При перетині двох великих кіл утворюються чотири сферичних двуугольніка. Площа двуугольніка визначається формулою S = 2 R2 α , Де R - Радіус сфери, а α - Кут двуугольніка.

Три великих кола, не перетинаються в одній точці, утворюють вісім сферичних трикутників. Сферичний трикутник, всі сторони якого менше половини великого кола, називається ейлеровим. Крім трьох ознак рівності плоских трикутників, для сферичних трикутників має місце ще один: два сферичних трикутника рівні, якщо їх відповідні кути рівні.

Сторони сферичного трикутника вимірюють величиною кута, утвореного радіусами сфери, проведеними до кінців даної сторони. Кожна сторона сферичного трикутника менше суми і більше різниці двох інших. Сума всіх сторін сферичного трикутника завжди менше 2π . Сума кутів сферичного трикутника s = α + β + γ завжди менше 3π і більше π . Величина s - π = εназивається сферичним надлишком. Площа сферичного трикутника визначається за формулою Жирара S = R 2 ε .

Співвідношення між елементами сферичного трикутника вивчає сферична тригонометрія

Властивості трикутників в сферичній геометрії

Властивості сферичних трикутників багато в чому від властивостей трикутників на площині. Так, до відомим трьом випадків рівності прямолінійних трикутників додається четвертий: два трикутника АВС іА`В`С` рівні, якщо рівні відповідно три кута А = А`, У = У`, З = З`. Отже, на сфері немає подібних трикутників, більше, в сферичної геометрії немає поняття подоби,т.к. немає перетворень, змінюють все відстані в однакове (нерівний 1) число раз. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідовій аксіоми про паралельних прямих і притаманні геометрії Лобачевського.Треугольники, мають рівні елементи та різноманітну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутникиАС`С і ССС` Сума кутів будь-якого сферичного трикутника більше 180 . Різниця А+ У + З – = (яка вимірюється в радіанах) – величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника. Площа сферичного трикутника: P.S =R2 де R – радіус сфери, а – сферичний надлишок.

Сферична тригонометрія — розділ сферичної геометрії головними об'єктами якого є многокутники (особливо трикутники) на сфері та співвідношення між сторонами і кутами. Сферична тригонометрія дуже важлива в астрономічних обчисленнях, а також в орбітальній, космічній навігації та навігації на поверхні землі.

Лінії та кути на сфері

Ортодрома є найкоротшим щляхом між двома точками на поверхні

На поверхні сфери найближчий аналогпрямої лінії є велике коло, тобто коло, центр якого збігається з центром сфери. Наприклад, спрощуючи форму Землі (геоїд) до сфери, меридіани тарівноденник — великі кола на її поверхні, тоді як лінії широти не є великими колами через те, що вони менші за рівноденник; їх центр не збігається з центром Землі, натомість це малі кола. Як і відрізок на площині, дуга великого кола (що стягує кут, не більший 180°) на сфері є найкоротшим шляхом між двоматочками і називається ортодрома. Великі кола — особливий випадок геодезичних ліній.

Площа на поверхні сфери, обмежена дугами великого кола, називається сферичний многокутник. Зауважте, що на відміну від плоского випадку, сферичний двокутник (двосторонній аналог трикутника) має невироджений вигляд (так само як і долька помаранча). Такий многокутник часто називають місяцем.

Сторону многокутника визначають кутом, утвореним радіусами сфери, проведених до кінців цієї сторони. Зауважимо, що добутком такого кута дуги, виміряного в радіанах, на радіус сфери буде довжина дуги. (В особливому випадку многокутників на сфері радіусом один довжини дуг дорівнюють величинам відповідних кутів.)

Таким чином, сферичний трукутник визначається через свої кути і сторони, але сторони визначаються через їх дугові кути.

Сума кутів при вершинах сферичного трикутника завжди більша, ніж сума кутів плоского трикутника, в якому вона дорівнює 180°. Величина E, на яку сума кутів перевищує 180°, називається сферичним ексцесом:

де α, β і γ позначають кути. Теорема, раніше відкрита, але не опублікована англійським математиком Томасом Херіотом, після того, як в XVI ст. французький математик Альберт Жирар вказав, що надлишок визначає площу будь-якого сферичного трикутника,

де R радіус сфери, була названа теоремою Жирара. З цього і формули площі сфери випливає, що сума кутів сферичного трикутника дорівнює 180°× .

Аналогічний результат відомий для гіперболічних трикутників, з «ексцесом», заміненим на «дефект»; це два особливих випадки Теореми Ґауса-Бонне.

З цього слідує, що на сфері не існує двох нетривіальних подібних трикутників (трикутники з однаковими кутами, але різними довжинами сторін і площами). У випадку сфери з одиничним радіусом площа просто дорівнює куту ексцеса: A = E.

Для розв'язання геометричної задачі на сфері можна разділити фігуру на сферичні прямокутні трикутники, тоді можна використати п'ятикутник Непера (коло Непера):

Коло Непера показає співвідношення частин прямокутного сферичного трикутника

Пятикутник Непера (також відомий як коло Непера) - це мнемоніка, яка допомогає знайти всі співвідношення між кутами в прямокутному сферичному трикутнику.

Запишіть шість кутів трикутника (три кути при вершинах, три дугові кути) у формі кола, відповідно до порядку, в якому вони з'являються в трикутнику (тобто починаючи з кута при вершині, потім кут дуги, прилеглої до цієї вершини, далі кут при наступній вершині і т.д.). Потім викресліть прямий кут і замініть неприлеглі до нього кути на їх доповнення до 90° (інакше кажучи, B на 90° − B). П'ять цифр, що ви маєте у себе на папері, утворюють п'ятикутник Непера (або коло Непера). При будь-якому виборі трьох кутів один з них (назвемо його середнім) буде або протилежним, або прилеглим для двох інших (маються на увазі їх позиції в п'ятикутнику). Правила Непера стверджують, що синус середнього кута дорівнює:

· добутку тангенсів прилеглих кутів;

· добутку косинусів протилежних кутів.

Мнемонікою для запам'ятовування тригонометричних функцій є перші голосні з прикметників, що описують кожний кут (тобто, i для middle (середній),o для opposite (протилежний), a для adjacent (прилеглий)), вони однакові з першими голосними назв функцій.

Наприклад, для кута можна отримати формулу:

Використовуючи тотожність для комплементарних кутів, отримуємо:


© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти