Відрізок називається направленим, якщо при розгляді його враховується порядок задання його кінців. Вільним вектором називається множина всіх еквіполентних направлених відрізків.

Вектори часто задають за допомогою координат. Координатами вектора АВ, початок якого , а кінець , називають числа Два вектори називаються рівними, якщо їх відповідні координати рівні. Рівним векторам відповідають рівні за довжиною і однаково напрямлені відрізки і навпаки.

Координати вектора можуть бути будь-якими дійсними числами. Якщо всі. координати вектора — нулі, то його називають нульовим вектором і позначають символом Це єдиний вектор, якому не відповідає напрямлений відрізок і який не має напряму.

Якщо О — початок координат, а числа — координати точки А, то ці самі числа є і координатами вектора . Вектор можна зобразити і напрямленим відрізком , де — будь-яка точка простору, а Р — точка з координатами Адже

Говорять: будь-який вектор можна відкласти від будь-якої точки простору.

Довжиною, або модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що зображає його. Позначають довжину вектора символом Довжину вектора можна виразити через його координати: Вектори, яким відповідають паралельні напрямлені відрізки, називають колінеарними. Вектори ОА і ОВ колінеарні тільки тоді, коли точки О, А і В лежать на одній прямій. Колінеарні вектори бувають співнапрямлені або протилежно напрямлені.

Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені упаралельних площинах. Вектори ОА, ОВ і ОС компланарні тільки за умови, що точки О, А, В і С лежать водній площині.

Система координат у просторі. Найпростіші задачі координатної геометрії.

Нехай х, у, z – три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О. Назвемо їх координатними осями: «вісь х», «вісь у,» «вісь z».

Точка О — початок координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначену стрілкою, і від'ємну. Площини, які проходять через осі х і у, х і z, у і z, — координатні площини. Позначають їх відповідно: ху, хz і уz. Координатні площини розбивають весь простір на 8 октантів.

Якщо задано таку систему координат, кожній точці простору можна поставити у відповідність впорядковану трійку дійсних чисел, а кожній трійці чисел — єдину точку.

Нехай дано точку А. Опустимо з неї на площини уz, хz, ху перпендикуляри ААx, ААу, ААz. Довжини а, b, с цих перпендикулярів, узяті з відповідними знаками, називають координатами точки А, Записують: А(а;b;с).

Теорема. Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів різниць їх відповідних координат.

Доведення. Нехай дано дві точки і . Доведемо, що

Координати проекцій точок А і В на координатні осі х, у і г дорівнюють: Довжини проекцій відрізка АВ на ці осі:

Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на три взаємно перпендикулярні прямі. Тому

або

Теорему доведено.

Як виражаються координати середини відрізка через координати його кінців? Якщо на координатній прямій дано точки А(а); В(b), то координата середини відрізка дорівнює . А як виражаються координати точки ceредини відрізка АВчерез координати його кінців і ? Позначимо cередину відрізка АВбуквою С. Її проекціями на осі х, у, z будуть середини відрізків Адже довжини проекцій двох відрізків однієї прямої відносяться, як довжини відрізків, які проектують. Отже, , .
виходить, кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.

Приклад. Якщо дано точки А(1;4;-3) і В(3;0;5), то серединою відрізка АВ є точка С(2;2;1).

Циліндричні поверхні.

Розглянемо площину П і лінію , є П і вектор , який не паралельний до площ. П. Вектор визначає в’язку паралельних прямих. Серед прямих цієї вязки будуть такі, які перетнуть площину П у точках, що належать лінії .

Озн.: Циліндричною поверхнею, або циліндром 2-го порядку наз. множина точок, які належать тим прямим в’язки, яка визначається , які перетинають площину П у т. що належать прямій .

Лінію назвемо напрямною циліндричній поверхні, пряму що перетинає назв. твірною. Знайдемо загальне р-ня циліндричної поверхні, для цього введемо репер R=(0, ). Припустимо, що відносно репера вектор має коорд. =(а₁,а₂,а₃) і загальне р-ня прямої:

=а₁₁х²+2а₁₂ху+а₂₂у²+2а₁₃х+2а₂₂у+а₃₃=0 (1), М(х;у;z), N(х^/,у^/,0). Запишемо умову колінеарності = (2), =(х^/-х,у^/-у,0-z)

Так як N то корд. її повинні задовольняти р-ня

1. а₁₁х^/2+2а₁₂х^/у^/+а₂₁у^/2+2а₁₃х^/+2а₁₂у^/+а₃₃=0(3),

-(4). f

Припустимо, що твірна, а отже і паралельні до осі координат в даному випадку до осі oz, тоді матиме координати =(0,0,а₃).

Тоді р-ня циліндричної поверхні f(x,y)=0.Отже, якщо твірна циліндричної поверхні паралельна до осі координат то р-ня напрямної і є р-ня циліндричної поверхні. В залежності від того, яка лінія 2-го порядку служить за напрямну, будемо розрізняти такі цил.пов. Якщо за напрямну служить еліпс, то маємо еліптичний циліндр. Якщо за напрямну гіпербола то це гіперболічний циліндр.

Якщо 2 паралельні прямі то циліндричною поверхнеює 2 паралельні площини. Так як у випадку коли твірна цил.пов. паралельна до осі коорд. є р-ня напрямної то припустимо, що напрямна задається канонічним р-ням тоді це р-ня є канонічним р-ням цил.пов.

Теорема 3 (Паппа- Паскаля)

Якщо в неповному шестикутнику ABCDEF вершини А, С, E., лежать на одній прямій, а вершини В, D, F- на другій прямій, то пари протилежних сторін цього шестикутника перетинаються у трьох точках, які належать одній прямій.

Д-ння

Нам потрібно довести, що точки P,Q,R лежать на одній прямій, а це рівносильно тому, що PQ проходить через точку R. Для цього позначимо і переконаємося, що =R. Скористаємось методом пародвійних відношень

Звідси випливає , що ( )=( ), тобто = R.

Теорему доведено.

Теорема4 (друге формулювання т. Паппа-Паскаля)

Нехай в неповному шестикутнику сторони позмінно інцидентні двом точкам. Тоді три прямі, які з’єднують протилежні вершини цього шестикутника належать одному пучку.

Застосування теорем до розв’язання задач на доведення

Задача: В п’ятикутнику ABCDE позначимо , . На прямій AF довільно взято точку М і знайдено точки , . Доведіть , що пряма KN проходить через т Н.

Розв’язання:

В цій задачі мова йде про конфігурацію ( ), тому знайдемо пару дезаргових трикутників. Ними будуть ABE і MCD. Прямі АМ, ВС і ED сполучають їх відповідні вершини і за умовою перетинаються в т . Тому за теор. Дезарга т. К,N,H належать одній прямій.

Вектори у трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод розв’язування геометричних задач.

Говорять: будь-який вектор можна відкласти від будь-якої точки простору.

12 3