![]() |
Вектори у трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод розв’язування геометричних задач.
Вектори у трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод розв’язування геометричних задач. Відрізок називається направленим, якщо при розгляді його враховується порядок задання його кінців. Вільним вектором називається множина всіх еквіполентних направлених відрізків. Вектори часто задають за допомогою координат. Координатами вектора АВ, початок якого Координати вектора можуть бути будь-якими дійсними числами. Якщо всі. координати вектора — нулі, то його називають нульовим вектором і позначають символом Якщо О — початок координат, а числа
Говорять: будь-який вектор можна відкласти від будь-якої точки простору. Довжиною, або модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що зображає його. Позначають довжину вектора Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені упаралельних площинах. Вектори ОА, ОВ і ОС компланарні тільки за умови, що точки О, А, В і С лежать водній площині. Система координат у просторі. Найпростіші задачі координатної геометрії. Нехай х, у, z – три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О. Назвемо їх координатними осями: «вісь х», «вісь у,» «вісь z». Точка О — початок координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначену стрілкою, і від'ємну. Площини, які проходять через осі х і у, х і z, у і z, — координатні площини. Позначають їх відповідно: ху, хz і уz. Координатні площини розбивають весь простір на 8 октантів. Якщо задано таку систему координат, кожній точці простору можна поставити у відповідність впорядковану трійку дійсних чисел, а кожній трійці чисел — єдину точку. Нехай дано точку А. Опустимо з неї на площини уz, хz, ху перпендикуляри ААx, ААу, ААz. Довжини а, b, с цих перпендикулярів, узяті з відповідними знаками, називають координатами точки А, Записують: А(а;b;с). Теорема. Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів різниць їх відповідних координат. Доведення. Нехай дано дві точки Координати проекцій точок А і В на координатні осі х, у і г дорівнюють:
Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на три взаємно перпендикулярні прямі. Тому або Теорему доведено. Як виражаються координати середини відрізка через координати його кінців? Якщо на координатній прямій дано точки А(а); В(b), то координата середини відрізка дорівнює Приклад. Якщо дано точки А(1;4;-3) і В(3;0;5), то серединою відрізка АВ є точка С(2;2;1). Циліндричні поверхні. Розглянемо площину П і лінію Озн.: Циліндричною поверхнею, або циліндром 2-го порядку наз. множина точок, які належать тим прямим в’язки, яка визначається Лінію
Так як N 1. а11х/2+2а12х/у/+а21у/2+2а13х/+2а12у/+а33=0(3),
Припустимо, що твірна, а отже і Тоді р-ня циліндричної поверхні f(x,y)=0.Отже, якщо твірна циліндричної поверхні паралельна до осі координат то р-ня напрямної і є р-ня циліндричної поверхні. В залежності від того, яка лінія 2-го порядку служить за напрямну, будемо розрізняти такі цил.пов. Якщо за напрямну служить еліпс, то маємо еліптичний циліндр. Якщо за напрямну гіпербола то це гіперболічний циліндр. Якщо 2 паралельні прямі то циліндричною поверхнеює 2 паралельні площини. Так як у випадку коли твірна цил.пов. паралельна до осі коорд. є р-ня напрямної то припустимо, що напрямна задається канонічним р-ням тоді це р-ня є канонічним р-ням цил.пов.
Теорема 3 (Паппа- Паскаля) Якщо в неповному шестикутнику ABCDEF вершини А, С, E., лежать на одній прямій, а вершини В, D, F- на другій прямій, то пари протилежних сторін цього шестикутника перетинаються у трьох точках, які належать одній прямій. Д-ння Нам потрібно довести, що точки P,Q,R лежать на одній прямій, а це рівносильно тому, що PQ проходить через точку R. Для цього позначимо Звідси випливає , що ( Теорему доведено. Теорема4 (друге формулювання т. Паппа-Паскаля) Нехай в неповному шестикутнику сторони позмінно інцидентні двом точкам. Тоді три прямі, які з’єднують протилежні вершини цього шестикутника належать одному пучку. Застосування теорем до розв’язання задач на доведення Задача: В п’ятикутнику ABCDE позначимо Розв’язання: В цій задачі мова йде про конфігурацію ( Вектори у трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод розв’язування геометричних задач. Відрізок називається направленим, якщо при розгляді його враховується порядок задання його кінців. Вільним вектором називається множина всіх еквіполентних направлених відрізків. Вектори часто задають за допомогою координат. Координатами вектора АВ, початок якого Координати вектора можуть бути будь-якими дійсними числами. Якщо всі. координати вектора — нулі, то його називають нульовим вектором і позначають символом Якщо О — початок координат, а числа
Говорять: будь-який вектор можна відкласти від будь-якої точки простору. Довжиною, або модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що зображає його. Позначають довжину вектора Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки розміщені упаралельних площинах. Вектори ОА, ОВ і ОС компланарні тільки за умови, що точки О, А, В і С лежать водній площині. |
|
|