![]() |
Тема: Диференціальні рівняння
Тема: Диференціальні рівняння
Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні моделі процесів зростання та вимірювання. Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних моделей, використання поняття інтегралів. План вивчення теми. 1. Складання диференціальних рівнянь. 2. Приклади. 3. Диференціальні рівняння показникового зростання. 4. Диференціальне рівняння гармонійних коливань. Домашне завдання: конспект.
Складання диференціальних рівнянь
Багато завдань фізики, техніки, біології і соціальних наук вирішуються за допомогою диференціальних рівнянь. При цьому спочатку складається диференціальне рівняння, яке потім вирішується в багатьох окремих випадків, по одному з вказаних вище способів залежно від його типу. Складання диференціальних рівнянь по умові завдання нагадує складання рівнянь алгебри. При рішенні завдань на складання диференціальних рівнянь широко використовуються геометричний і фізичний сенс похідної,а також відомі закони природних і соціальних наук. Розглянемо деякі приклади Приклад. Конденсатор, ємкість якого Q, вмикається в ланцюг з напругою Е і опором R. Визначити заряд q(t) конденсатора у момент часу t як що в початковий момент часу він був рівний нулю. Якщо у момент часу t заряд конденсатора рівний q(t),то до цього моменту часу струм i рівний Згідно закону Ома I = E/R, звідки
Рівняння(1) є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Для його вирішення зробимо підстановку q = vu, откуда Підставляючи значення q і
Знайдемо функцію u, що задовольняє умові Тоді рівняння (2) прийме вигляд
З рівняння (3) знаходимо звідки, інтегруючи, отримуємо або Підставимо отриману функцію u в рівняння (4),тоді
звідки Таким чином або Постійну C знайдемо з умови q=0 при t=0 , Отже, у будь-який момент часу t заряд конденсатора визначається по формулі
Диференціальне рівняння показового зростання. Ряд завдань на складання диференціальних рівнянь приводить до рівнянь вигляду (6) де R-постійна величина. Рівняння (6) називається рівнянням показового зростання. Його сенс полягає в тому, що швидкість зміни функції пропорційна самій функції Перепишемо рівняння (6) у вигляді Розділяючи змінні інтегруючи, знаходимо або Приклад 2. Катер рухається в спокійній воді із швидкістю Vо = 20 км/год. Визначити швидкість катера через 2мін.после виключення двигуна, якщо за 40с вона зменшилася до Хай швидкість руху катера у момент часу t рівна v. Тоді на рухомий катер діє сила опору води, але згідно закону Ньютона Рівняння (8) є диференціальним рівнянням показового зростання, тому його загальним рішенням буде Постійну С знайдемо з початкової умови v(0)=20 км/год
Отже, швидкість руху катера після виключення двигуна визначається формулою Знайдемо значення постійної
Приклад 3.Швидкість розпаду радію у момент часу t пропорційна його кількості m(t).Нехай в початковий момент часу маса радію р. Скільки радію залишиться через 300лет, якщо відомо, що період Т напіврозпаду радію(проміжок часу, через який первинна маса радію зменшується в два рази) рівний 1550 рокам. З умови завдання маємо
де Згідно умові, маємо, тобто Отже Коефіцієнт Таким чином Поклавши t=300, знайдемо кількість радію, що залишився, що не розпався через 300 років: План вивчення теми. 1. Диференціальні рівняння першого порядку. 2. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.. 3. Приклади. Домашне завдання: конспект, індивідуальні завдання.
Приклад 11. Приклад 12.Знайти часний розв’язок рівняння
Приклад 13.
Приклад 14.
План вивчення теми. 1. Загальний вид лінійного диференціального рівняння. 2. Розв’язування прикладів. Домашне завдання: індивідуальні завдання.
Загальний вид такого рівняння де Якщо
де Якщо
де
Приклад №1Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна
Розв’язуємо рівняння Розв’язуємо рівняння :
Приклад №2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння
Розв’язання: Це лінійне рівняння:
Розділимо в цьому рівнянні змінні та про інтегруємо, маємо Підставляємо тепер вираз для U в рівняння (**), тоді отримуємо рівняння Получаємо загальний розв’язок даного рівняння: Пример№3.Знайти часний розв’язок диференціального рівняння
Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна
Положив
При
Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:
Підставив в це рівняння начальні умови , получимо Часний розв’язок диференціального рівняння має вид Пример№4.Знайти часний розв’язок диференціального рівняння Розв’язання. Розділимо всі члени даного рівняння на Отримуємо рівняння Загальний розв’язок записуємо так: Маємо у=1, х=0, тому Часний розв’язок має вигляд: Приклади. 1.
2.
Підставляємо вираз в рівняння
3.
4.
5.
6.
Загальний розв’язок :
План 1. Диференціальні рівняння другого порядку. 2. Приклади. Домашне завдання: Індивідуальні завдання.
y|| + py| + qy = f(x), де р и q – деякі числа. Якщо f(x) = 0, то диференціальне рівняння називається лінійним однорідним. Воно має вид y|| + py| + qy = 0. (1) Рішенням даного диференціального рівняння повинна бути така функція, що, будучи підставлена в рівняння, перетворитися в тотожність. Ліва частина рівняння являє собою суму функції в і її похідних y| і y||, узятих з деякими постійними коефіцієнтами. Щоб така сума звернулася в нуль, треба, щоб у, y| і y|| були подібні між собою. Такою функцією є функція у = екх. Потрібно підібрати так, щоб ця функція задовольняла рівнянню. Тому що:
Скорочуючи на множник Рівняння визначає ті значення , при який функція у = екх є рішенням диференціального рівняння (1). При рішенні характеристичного рівняння можливі три випадки, у залежності від який будується загальне рішення даного диференціального рівняння (1):
Розв’язування прикладів. Приклад 1. Знайти загальне рішення диференціального рівняння: y|| –5y| + 6y = 0. Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені: k2 – 5k + 6 = 0 (y|| = k2; y| = k; y = 1.) D = 25 – 24 = 1 k1,2 = Корені характеристичного рівняння є дійсними і різними. Тому: y1 = e2x; y2 = e3x – часні розв’язки; y = c1e2x + c2e3x – загальне рішення даного диф. рівняння. Приклад 2. Знайти загальне рішення диференціального рівняння: y|| +4y| +4y = 0. Розв’язання: Характеристичне рівняння: k2 + 4k + 4 = 0; (y|| = k2; y| = k; y = 1) (k + 2)2 = 0 має дійсні рівні корені k1 = k2 = –2. Тому: y1 = e-2x, y2 = xe-2x – часні розв’язки. y = c1e-2x + c2e-2xx = e-2x(c1 + xc2) – загальне рішення даного дифрівняння. Приклад 3. Знайти загальне рішення диференціального рівняння: y|| +6y| +13y = 0. Розв’язання: Характеристичне рівняння: k2 + 6k + 13 = 0; (y|| = k2; y| = k; y = 1), D = 36 – 52 = – 16, має корені: k1,2 = k1 = – 3 + 2і; k2 = – 3 – 2і. Корені рівняння є комплексно – сполученими. Тому: y1 = e-3xcos2x, y2 = e-3xsin2x - часні розв’язки. y = c1e-3x (c1cos2x + c2sin2x) – загальне рішення диф. рівняння Приклад 4. Знайти приватне рішення диференціального рівняння y|| – 2y| + y = 0, що задовольняє початковим умовам при х = 0, у = 4, y| = 2. Розв’язання: Характеристичне рівняння: k2 – 2k + 1 = 0 чи (k–1)2 = 0 має дійсні рівні корені k1 = k2 = 1, тому:у1 = ех, у2 = хех – часні розв’язки диф. рівняння у = ех (з1 + з2) – загальне рішення диф. рівняння.
Для визначення приватного рішення, що задовольняє даним початковим умовам, спочатку знайдемо похідну: y| для функції в = ех (з1+з2): y| = (ех(з1+з2х))| = е (з1+з2х) + ехс2 = ех(з1+з2+з2х)
Тепер підставимо початкові умови у вираження в і у| :
Підставивши ці значення в загальне рішення знайдемо приватне рішення диф. рівняння, що задовольняє даним початковим умовам: у = ех(4 – 2х)
Відповідь: у = ех(4 – 2х).
Приклад 5. Знайти загальне рішення диференціального рівняння: y|| + y| – 2y = 0 Розв’язання: k2 + k – 2 = 0 – характеристичне рівняння. k1 = –2; k2 = 1 – корені. y1 = e-2x, y2 = ex – загальне рішення диф. рівняння.
Приклад 6. Знайти загальне рішення диференціального рівняння: y|| – 6y| + 9 = 0 Розв’язання: k2 – 6k + 9 = 0 – характеристичне рівняння. (k – 3)2 = 0 k1 = 3; k2 = 3 – корені. y1 = e3x, y2 = xe3x – часні рішення диф. рівняння. y = С1e3x + С2xe3x = e3x(С1 + С2x) – загальне рішення.
Приклад 7. Знайти приватне рішення рівняння y|| + 2y| + 6у = 0, що задовольняє початковим умовам при х = 0, у = 0, y| = 1. Розв’язання: k2 + 2k + 5 = 0 D = 4 – 20 = –16, k1,2 = y1 = e-xcos2x, y2 = e-xsin2x – часне рішення. у = e-x (С1cos2x + С2sin2x) – загальне рішення. Знайдемо часне рішення задовольняюче початковим умовам. 0 = е0(С1cos0 + С2sin0), 0 = 1 (С1 1 + С2 0), c1 = 0. Знайдемо y| = (e-x(С1cos2x + С2cos2x))| = = - e-x(С1cos2x + С2sin2x) + e-x(-2С1sin2x + 2С2cos2x) = = e-x(-С1cos2x – С2sin2x – 2С1sin2x + 2С2cos2x); С1 = 0, то y| = е-х(2С2cos2x – С2sin2x) x = 0, y| = 1, те 1 = e0(2С2cos0 – С2sin0) 1 = 1(С2 – 0) 1 = 2С2, С2 = Отже: y = e-x(0cos2x + y = e-x y = Приклад 8. Знайти інтегральну криву диференціального рівняння y|| + 2y| + 2у = 0, що проходить через крапку М (0;1) і, що дотикається в цій точці прямої у = х + 1. Розв’язання Характеристичне рівняння має вид: k2 + 2k + 2 = 0 D = 4 – 8 = –4 k1,2 = y1 = e-xcosx, y2 = e-xsinx – часне рішення. y = e-x(С1cosx + С2sinx) – загальне рішення. Знайдемо y| = – e-x (-С1cosx – С2sinx – С1sinx + С2cosx) y| = – e-x ((С2 – С1)cosx – (С2 + С1)sinx). Знайдемо рівняння шуканої інтегральної кривої, для чого в рівності підставимо значення в = 1 і кутового коефіцієнта y| = k = 1 у точці х = 0.
у = e-x (cosx + 2sinx) – інтегральна крива диф. рівняння, що проходить через точку М(0;1) і, що дотикається в цій точці прямої у = х + 1.
Приклад 9. Вирішити рівняння: y|| – 7y| + 10у = 0 Розв’язання k2 – 7k + 10 = 0 – характеристичне рівняння. (k – 5) (k – 2) = 0 k = 5, k = 2 – корені. y1 = e5x, y2 = e2x – часні рішення y = c1e5x + c2e2x – загальне рішення.
Приклад 10. Знайти часне рішення рівняння: y|| – 5y| = 0, якщо при х = 0, у = 1, y| = –1. Розв’язання k2 – 5k = 0 – характеристичне рівняння. k(k – 5) = 0 k = 0, k = 5 – корені характеристичного рівняння. у1 = у0х = 1, у2 = е5х – часні рішення. у = з1 1 + з2е5х; у = з1 + з2е5х – загальне рішення.
Шукане часне рішення має вид: Приклад 11. Знайти приватне рішення рівняння: y|| + 8y| + 16у= 0, якщо при х = 0, у = 1, y| = 1. Розв’язання k2 – 8k + 16= 0 – характеристичне рівняння. D = 64 – 64 = 0. k1,2 = – 4. y1 = e-4x, y2 = xe-4x – часне рішення. y = e-4x(c1 + c2) – загальне рішення. y| = – 4е-4х(с1 + с2х) + е-4хс2 = е-4х(–4с1–4с2х + с2)
Шукане часне рішення має вид: у = е-4х(1+5х). Приклад 12. Вирішити рівняння y|| – 6y| + 25у= 0 Розв’язання Характеристичне рівняння: k2 – 6k + 16= 0 D = 36 – 100 = – 64 k1,2 = y1 = e3xcos4x, y2 = e3xsin4x – часне рішення. y = e3x(c1cos4x + c2sin4x) – загальне рішення.
Приклад 13. Знайти приватне рішення рівняння y|| – 6y| + 13у= 0, якщо х = 0, у = 1, y| = 5. Розв’язання Характеристичне рівняння: k2 – 6k + 13= 0 D = 36 – 52 = – 16 k1,2 = y1 = e3xcos2x, y2 = e3xsin2x – часне рішення y = e3x(С1cos2x + С2sin2x) – загальне рішення. y| = 3e3x(С1cos2x + С2sin2x) + e3x(–2С1sin2x + 2С2cos2x)= y| = e3x(3С1cos2x + 3С2sin2x – 2С1sin2x + 2С2cos2x). y| = e3x((3С1 + 2С2)cos2x + (3С2 – 2С1)sin2x).
Шукане часне рішення має вид: y = e3x(cos2x + sin2x). План 1. Диференціальні рівняння вищих порядків. 2. Неповні диференціальні рівняння. 3. Приклад. Домашне завдання: Індивідуальні завдання. Рівняння, яке містить похідну (диференціал) не вище другого порядку, називається диференціальним рівнянням другого порядку. Рівняння другого порядку має вигляд: Загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку має дві постійні сталі. Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння Розв’язання: Це неповне диференціальне рівняння другого порядку виду Інтегруємо:
Приклад 2. Знайти часний розв’язок рівняння Розв’язання:
Інтегруємо, та знаходимо загальний розв’язок даного рівняння: Знаходимо часні розв’язки: Часний розв’язок має вигляд Приклад 3. Знайти часний розв’язок рівняння Розв’язання:
Відповідно Знаходимо загальний розв’язок рівняння: Знаходимо часний розв’язок рівняння: Приклад 4. Знайти часний розв’язок рівняння
Розв’язання: Заміна
Приклад 5. Прискорення точки, яка рухається прямолінійно, задано рівнянням а = 24t +6. Знайти закон руху цієї точки, якщо в момент часу t = 1c, її швидкість V =2 м/c, і відстань 4 м. Розв’язання:
Відповідь:
Приклад 6. Розв’язання:
Відповідь: S = 3t³ + t² + 38t + 52 Розв’язати самостійно: Знайти часні розв’язки рівнянь, які задовольняють початковим умовам. 1. 2. 3. Тема: Диференціальні рівняння
Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні моделі процесів зростання та вимірювання. Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних моделей, використання поняття інтегралів. План вивчення теми. 1. Складання диференціальних рівнянь. 2. Приклади. 3. Диференціальні рівняння показникового зростання. 4. Диференціальне рівняння гармонійних коливань. Домашне завдання: конспект.
|
|||||||||||||
|