Багато завдань фізики, техніки, біології і соціальних наук вирішуються за допомогою диференціальних рівнянь. При цьому спочатку складається диференціальне рівняння, яке потім вирішується в багатьох окремих випадків, по одному з вказаних вище способів залежно від його типу.

Складання диференціальних рівнянь по умові завдання нагадує складання рівнянь алгебри. При рішенні завдань на складання диференціальних рівнянь широко використовуються геометричний і фізичний сенс похідної,а також відомі закони природних і соціальних наук.

Розглянемо деякі приклади

Приклад. Конденсатор, ємкість якого Q, вмикається в ланцюг з напругою Е і опором R. Визначити заряд q(t) конденсатора у момент часу t як що в початковий момент часу він був рівний нулю.

Якщо у момент часу t заряд конденсатора рівний q(t),то до цього моменту часу струм i рівний , а електрорушійна сила Е рівна різниці між напругою ланцюга U і напругою конденсатора q/Q т . е.

Згідно закону Ома I = E/R, звідки

, або (1)

Рівняння(1) є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Для його вирішення зробимо підстановку q = vu, откуда

Підставляючи значення q і в рівняння (1), гру пируючи члени, v, виносимо, що містять, його за дужки отримаємо

(2)

Знайдемо функцію u, що задовольняє умові (3)

Тоді рівняння (2) прийме вигляд (4)

З рівняння (3) знаходимо

звідки, інтегруючи, отримуємо

або (5)

Підставимо отриману функцію u в рівняння (4),тоді

тобто ,

звідки або

Таким чином

або .

Постійну C знайдемо з умови q=0 при t=0 , , ті

Отже, у будь-який момент часу t заряд конденсатора визначається по формулі .

Диференціальне рівняння показового зростання.

Ряд завдань на складання диференціальних рівнянь приводить до рівнянь вигляду (6)

де R-постійна величина.

Рівняння (6) називається рівнянням показового зростання. Його сенс полягає в тому, що швидкість зміни функції пропорційна самій функції

Перепишемо рівняння (6) у вигляді

Розділяючи змінні інтегруючи, знаходимо

або (7)

Приклад 2. Катер рухається в спокійній воді із швидкістю Vо₌ 20 км/год. Визначити швидкість катера через 2мін.после виключення двигуна, якщо за 40с вона зменшилася до = 8км/год. Опір води пропорційний швидкості рух катера.

Хай швидкість руху катера у момент часу t рівна v. Тоді на рухомий катер діє сила опору води, але згідно закону Ньютона , а отже (8)

Рівняння (8) є диференціальним рівнянням показового зростання, тому його загальним рішенням буде . (9)

Постійну С знайдемо з початкової умови v(0)=20 км/год

т.е.C = 20

Отже, швидкість руху катера після виключення двигуна визначається формулою (10)

Знайдемо значення постійної . Для цього скористаємося умовою, що при ч швидкість км/год.

тобто покладемо в рівності (10) мін = ч і = , знайдемо шукану швидкість: (км/год).

Приклад 3.Швидкість розпаду радію у момент часу t пропорційна його кількості m(t).Нехай в початковий момент часу маса радію р. Скільки радію залишиться через 300лет, якщо відомо, що період Т напіврозпаду радію(проміжок часу, через який первинна маса радію зменшується в два рази) рівний 1550 рокам.

З умови завдання маємо

, (11)

де . Знак мінус показує, що маса радію убуває, а отже, швидкість розпаду негативна. Інтегруючи рівняння (11), знайдемо його загальне рішення .

Згідно умові, маємо, тобто .

Отже .

Коефіцієнт знайдемо з умови, що при .

Таким чином .

Поклавши t=300, знайдемо кількість радію, що залишився, що не розпався через 300 років: р

План вивчення теми.

1. Диференціальні рівняння першого порядку.

2. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними..

3. Приклади.

Домашне завдання: конспект, індивідуальні завдання.

Приклад 11.

Приклад 12.Знайти часний розв’язок рівняння

Приклад 13.

Приклад 14.

План вивчення теми.

1. Загальний вид лінійного диференціального рівняння.

2. Розв’язування прикладів.

Домашне завдання: індивідуальні завдання.

Загальний вид такого рівняння , (1)

де и - завданні функції от . Це рівняння лінійне відносно функції y(x) та її похідної.

Якщо , то лінійне диференціальне рівняння (1) називається однорідним. Воно має вид та розв’язується методом відокремлювання змінних:

, ,

, , ,

де - будь-яка первісна функція , а - деяка стала.

Якщо , то рівняння(1) має вид та розв’язується методом відокремлювання змінних:

, , ,

де - будь-яка первісна функція , а - деяка стала.

Приклад №1Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна , тоді та рівняння перетворюється до виду

, або .

Розв’язуємо рівняння та .

Розв’язуємо рівняння : ; маємо

, , , , .

, , , .

Приклад №2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв’язання: Це лінійне рівняння: . Заміна , тоді , . Рівняння перетворюється до виду: , або . (**)

Розділимо в цьому рівнянні змінні та про інтегруємо, маємо

Підставляємо тепер вираз для U в рівняння (**), тоді отримуємо рівняння , або . Знаходимо .

Получаємо загальний розв’язок даного рівняння:

Пример№3.Знайти часний розв’язок диференціального рівняння

, при .

Розв’язання. Дане рівняння являється лінійним. Заміна ; тоді та рівняння перетворюється до виду

, . (*)

Положив ; тоді

, . , або .

При рівняння(*) має вид , ,

, .

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

Підставив в це рівняння начальні умови , получимо , .

Часний розв’язок диференціального рівняння має вид .

Пример№4.Знайти часний розв’язок диференціального рівняння , якщо у=1 при х=0.

Розв’язання. Розділимо всі члени даного рівняння на , маємо , яке є лінійним . Заміна , тоді , . Підставимо все в рівняння, та маємо , або (***)

Отримуємо рівняння , . Підставляємо вираз в рівняння (***), та маємо , або , тобто .

Загальний розв’язок записуємо так: .

Маємо у=1, х=0, тому .

Часний розв’язок має вигляд: .

Приклади.

; ;

Підставляємо вираз в рівняння

Загальний розв’язок :

План

1. Диференціальні рівняння другого порядку.

2. Приклади.

Домашне завдання: Індивідуальні завдання.

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду

y^||+ py^|+ qy = f(x), де р и q – деякі числа.

Якщо f(x) = 0, то диференціальне рівняння називається

лінійним однорідним. Воно має вид y^||+ py^|+ qy = 0. (1)

Рішенням даного диференціального рівняння повинна бути така функція, що, будучи підставлена в рівняння, перетворитися в тотожність. Ліва частина рівняння являє собою суму функції в і її похідних y^| і y^||, узятих з деякими постійними коефіцієнтами. Щоб така сума звернулася в нуль, треба, щоб у, y^| і y^||були подібні між собою.

Такою функцією є функція у = е^кх. Потрібно підібрати так, щоб ця функція задовольняла рівнянню.

Тому що: ,

та представляючи ці значення в, y^| і y^|| у ліву частину рівняння, одержимо:

Скорочуючи на множник , одержимо характеристичне рівняння:

Рівняння визначає ті значення , при який функція у = е^кх є рішенням диференціального рівняння (1).

При рішенні характеристичного рівняння можливі три випадки, у залежності від який будується загальне рішення даного диференціального рівняння (1):

Корені рівняння k² + pk + q = 0	Часні рішення рівняння y^\|\|+ py^\|+ qy = 0.	Загальне рішення рівняння y^\|\|+ py^\|+ qy = 0.
Дійсні і різні	y₁ = e^k1x y₂ = e^k2x	y = c₁e^k1x + c₂e^k2x
Рівні:	y₁ = e^k1x y₂ = xe^k2x	y = e^k1x (1 + c₂x)
Комплексно – сполучені	y₁ = y₁ =	y =

Розв’язування прикладів.

Приклад 1. Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

y^||–5y^|+ 6y = 0.

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

k² – 5k + 6 = 0 (y^|| = k²; y^|= k; y = 1.)

D = 25 – 24 = 1

k₁,₂ = = 2; 3.

Корені характеристичного рівняння є дійсними і різними. Тому:

y₁ = e^2x; y₂ = e^3x – часні розв’язки;

y = c₁e^2x + c₂e^3x – загальне рішення даного диф. рівняння.

Приклад 2. Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

y^||+4y^|+4y = 0.

Розв’язання: Характеристичне рівняння:

k² + 4k + 4 = 0; (y^||= k²; y^|= k; y = 1)

(k + 2)² = 0 має дійсні рівні корені k₁ = k₂ = –2.

Тому: y₁ = e^-2x, y₂ = xe^-2x – часні розв’язки.

y = c₁e^-2x + c₂e^-2xx = e^-2x(c₁ + xc₂) – загальне рішення даного

дифрівняння.

Приклад 3. Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

y^||+6y^|+13y = 0.

Розв’язання: Характеристичне рівняння:

k² + 6k + 13 = 0; (y^||= k²; y^|= k; y = 1),

D = 36 – 52 = – 16,

має корені: k₁,₂ = ;

k₁ = – 3 + 2і; k₂ = – 3 – 2і.

Корені рівняння є комплексно – сполученими. Тому:

y₁ = e^-3xcos2x,

y₂ = e^-3xsin2x - часні розв’язки.

y = c₁e^-3x (c₁cos2x + c₂sin2x) – загальне рішення диф. рівняння

Приклад 4. Знайти приватне рішення диференціального рівняння

y^||– 2y^|+ y = 0, що задовольняє початковим умовам

при х = 0, у = 4, y^|= 2.

Розв’язання: Характеристичне рівняння:

k² – 2k + 1 = 0 чи (k–1)² = 0 має дійсні рівні корені k₁ = k₂ = 1, тому:у₁ = е^х, у₂ = хе^х – часні розв’язки диф. рівняння

у = е^х (з₁ + з₂) – загальне рішення диф. рівняння.

Для визначення приватного рішення, що задовольняє даним початковим умовам, спочатку знайдемо похідну:

y^|для функції в = е^х (з₁+з₂):

y^| = (е^х(з₁+з₂х))^| = е (з₁+з₂х) + е^хс₂ = е^х(з₁+з₂+з₂х)

Тепер підставимо початкові умови у вираження в і у^|:

, ,

Підставивши ці значення в загальне рішення знайдемо приватне рішення диф. рівняння, що задовольняє даним початковим умовам:

у = е^х(4 – 2х)

Відповідь: у = е^х(4 – 2х).

Приклад 5. Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

y^||+ y^|– 2y = 0

Розв’язання:

k² + k – 2 = 0 – характеристичне рівняння.

k₁ = –2; k₂ = 1 – корені.

y₁ = e^-2x, y₂ = e^x – загальне рішення диф. рівняння.

Приклад 6. Знайти загальне рішення диференціального рівняння:

y^||– 6y^|+ 9 = 0

Розв’язання:

k² – 6k + 9 = 0 – характеристичне рівняння.

(k – 3)² = 0

k₁ = 3; k₂ = 3 – корені.

y₁ = e^3x, y₂ = xe^3x – часні рішення диф. рівняння.

y = С₁e^3x + С₂xe^3x = e^3x(С₁ + С_2x) – загальне рішення.

Приклад 7. Знайти приватне рішення рівняння y^||+ 2y^|+ 6у = 0, що задовольняє початковим умовам при х = 0, у = 0, y^| = 1.

Розв’язання:

k² + 2k + 5 = 0

D = 4 – 20 = –16, k₁,₂ = .

y₁ = e^-xcos2x, y₂ = e^-xsin2x – часне рішення.

у = e^-x (С₁cos2x + С₂sin2x) – загальне рішення.

Знайдемо часне рішення задовольняюче початковим умовам.

0 = е⁰(С₁cos0 + С₂sin0),

0 = 1 (С₁ 1 + С₂ 0),

c₁ = 0.

Знайдемо y^|= (e^-x(С₁cos2x + С₂cos2x))^| =

= - e^-x(С₁cos2x + С₂sin2x) + e^-x(-2С₁sin2x + 2С₂cos2x) =

= e^-x(-С₁cos2x – С₂sin2x – 2С₁sin2x + 2С₂cos2x);

С₁ = 0, то y^| = е^-х(2С₂cos2x – С₂sin2x)

x = 0, y^| = 1, те 1 = e⁰(2С₂cos0 – С₂sin0)

1 = 1(С₂ – 0)

1 = 2С₂, С₂ = .

Отже:

y = e^-x(0cos2x + sin2x)

y = e^-x sin2x

y = e^-xsin2x – часне рішення.

Приклад 8. Знайти інтегральну криву диференціального рівняння

y^||+ 2y^|+ 2у = 0, що проходить через крапку М (0;1) і, що дотикається в цій точці прямої у = х + 1.

Розв’язання

Характеристичне рівняння має вид:

k² + 2k + 2 = 0

D = 4 – 8 = –4

k₁,₂ =

y₁ = e^-xcosx, y₂ = e^-xsinx – часне рішення.

y = e^-x(С₁cosx + С₂sinx) – загальне рішення.

Знайдемо y^| = – e^-x (-С₁cosx – С₂sinx – С₁sinx + С₂cosx)

y^| = – e^-x ((С₂ – С₁)cosx – (С₂ + С₁)sinx).

Знайдемо рівняння шуканої інтегральної кривої, для чого в рівності підставимо значення в = 1 і кутового коефіцієнта

y^| = k = 1 у точці х = 0.

у = e^-x (cosx + 2sinx) – інтегральна крива диф. рівняння, що проходить через точку М(0;1) і, що дотикається в цій точці прямої у = х + 1.

Приклад 9. Вирішити рівняння: y^||– 7y^|+ 10у = 0

Розв’язання

k² – 7k + 10 = 0 – характеристичне рівняння.

(k – 5) (k – 2) = 0

k = 5, k = 2 – корені.

y₁ = e^5x, y₂ = e^2x – часні рішення

y = c₁e^5x + c₂e^2x – загальне рішення.

Приклад 10. Знайти часне рішення рівняння:

y^||– 5y^|= 0, якщо при х = 0, у = 1, y^| = –1.

Розв’язання

k² – 5k = 0 – характеристичне рівняння.

k(k – 5) = 0

k = 0, k = 5 – корені характеристичного рівняння.

у₁ = у^0х= 1, у₂ = е^5х – часні рішення.

у = з₁ 1 + з₂е^5х; у = з₁ + з₂е^5х – загальне рішення.

, ,

Шукане часне рішення має вид:

Приклад 11. Знайти приватне рішення рівняння:

y^||+ 8y^|+ 16у= 0, якщо при х = 0, у = 1, y^| = 1.

Розв’язання

k² – 8k + 16= 0 – характеристичне рівняння.

D = 64 – 64 = 0.

k₁,₂ = – 4.

y₁ = e^-4x, y₂ = xe^-4x – часне рішення.

y = e^-4x(c₁ + c₂) – загальне рішення.

y^| = – 4е^-4х(с₁ + с₂х) + е^-4хс₂ = е^-4х(–4с₁–4с₂х + с₂)

, ,

Шукане часне рішення має вид:

у = е^-4х(1+5х).

Приклад 12. Вирішити рівняння y^||– 6y^|+ 25у= 0

Розв’язання

Характеристичне рівняння:

k² – 6k + 16= 0

D = 36 – 100 = – 64

k₁,₂ =

y₁ = e^3xcos4x, y₂ = e^3xsin4x – часне рішення.

y = e^3x(c₁cos4x + c₂sin4x) – загальне рішення.

Приклад 13. Знайти приватне рішення рівняння y^||– 6y^|+ 13у= 0,

якщо х = 0, у = 1, y^| = 5.

Розв’язання

Характеристичне рівняння:

k² – 6k + 13= 0

D = 36 – 52 = – 16

k₁,₂ =

y₁ = e^3xcos2x, y2 = e^3xsin2x – часне рішення

y = e^3x(С₁cos2x + С₂sin2x) – загальне рішення.

y^| = 3e^3x(С₁cos2x + С₂sin2x) + e^3x(–2С₁sin2x + 2С₂cos2x)=

y^| = e^3x(3С₁cos2x + 3С₂sin2x – 2С₁sin2x + 2С₂cos2x).

y^| = e^3x((3С₁ + 2С₂)cos2x + (3С₂ – 2С₁)sin2x).

Шукане часне рішення має вид: y = e^3x(cos2x + sin2x).

План

1. Диференціальні рівняння вищих порядків.

2. Неповні диференціальні рівняння.

3. Приклад.

Домашне завдання: Індивідуальні завдання.

Рівняння, яке містить похідну (диференціал) не вище другого порядку, називається диференціальним рівнянням другого порядку. Рівняння другого порядку має вигляд: .

Загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку має дві постійні сталі.

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання: Це неповне диференціальне рівняння другого порядку виду . Нехай , тоді дане рівняння можна записати у вигляді

Інтегруємо:

- загальний розв’язок..

Приклад 2.

Знайти часний розв’язок рівняння , якщо при х=0.

Розв’язання: ; тоді , тобто . Розділимо рівняння та про інтегруємо

(*), .

Інтегруємо, та знаходимо загальний розв’язок даного рівняння: (**).

Знаходимо часні розв’язки: , або , звідси маємо .

Часний розв’язок має вигляд .

Приклад 3. Знайти часний розв’язок рівняння , якщо у=2, та при х=2.

Розв’язання:

; тоді . Отримуємо . Розділяємо змінні та інтегруємо звідки .

Відповідно (*) .

Знаходимо загальний розв’язок рівняння: (**).

Знаходимо часний розв’язок рівняння: , тоді , тобто часний розв’язок має вигляд : .

Приклад 4. Знайти часний розв’язок рівняння

, якщо , ; .

Розв’язання:

Заміна , , ;

- загальний розв’язок рівняння.

Найдемо часний розв’язок рівняння:

- часний розв’язок рівняння

Приклад 5. Прискорення точки, яка рухається прямолінійно, задано рівнянням а = 24t +6. Знайти закон руху цієї точки, якщо в момент часу t = 1c, її швидкість V =2 м/c, і відстань 4 м.

Розв’язання:

Відповідь:

Приклад 6.

Розв’язання:

Відповідь: S = 3t³ + t² + 38t + 52

Розв’язати самостійно:

Знайти часні розв’язки рівнянь, які задовольняють початковим умовам.

1. ; у=2 при х =0, у =3 при х =1.

2. ; у=0 при х =0, у =1 при х =1.

3. ; s=0 і , при t=0.

Тема: Диференціальні рівняння

Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні моделі процесів зростання та вимірювання.

Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних моделей, використання поняття інтегралів.

План вивчення теми.

1. Складання диференціальних рівнянь.

2. Приклади.

3. Диференціальні рівняння показникового зростання.

4. Диференціальне рівняння гармонійних коливань.

Домашне завдання: конспект.

12 3