ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Середовища та збалансоване природокористування»

ВИЩА МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Розділ 2

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

 

для фахівцівосвітньо-кваліфікаційного рівня – бакалавр

для напряму підготовки– 6.040106 «Екологія, охорона навколишнього

Середовища та збалансоване природокористування»

 

 


ЗМІСТ

1. Координати, довжина і направляючі косинуси вектора …….. 3

2. Лінійні операції над векторами. Проекція вектора на вісь.

Базис …………………………………………………………….. 5

3. Поділ відрізка в заданому відношенні ………..………….…... 9

4. Скалярний добуток векторів ………………………………….. 10

5. Векторний добуток векторів ………………………………..… 14

5.1. Визначення і властивості векторного добутку ……………… 14

5.2. Векторний добуток двох векторів в координатній формі ….. 16

6. Змішаний добуток трьох векторів …………….……………… 18

6.1. Визначення і обчислення змішаного добутку ………………. 18

6.2. Властивості змішаного добутку і його геометричне

значення ………………………………………………………… 19

ЛІТЕРАТУРА ……………………………………………………….. 22

 

1. Координати, довжина і направляючі косинуси вектора

Для того, щоб операції над векторами звести до операцій над числами, розглянемо вектори в прямокутній системі координат.

Координати вектора.

Відомо, що якщо на площині задана прямокутна система координат, то кожна точка на площині однозначно характеризується двома числами – координатами точки (мал. 1.1).

Аналогічно, кожній точці тривимірного простору, заданого в прямо-кутній системі координат, відповідає трійка чисел (мал. 1.2).

 

Точка називається початком координат, вісь віссю абсцис, вісь віссю ординат, а вісь віссю аплікат. Відповідно, проекції точки на ці осі називаються абсцисою, ординатою і аплікатою точки.

Вектором називається направлений відрізок (мал. 1.1, 1.2) або (мал.1.3), який сполучає дві точки простору. Позначають вектор так само, як і направлений відрізок , або .

Довжина вектора.

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною (або модулем вектора) і позначається , або . Вектор, довжина якого рівна одиниці, називається одиничним вектором.

Вектор або (мал. 1.4) є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда з вимірами , , , тому довжина цього вектора дорівнює

. (1.1)

 

 

Мал. 1.4

Якщо початок вектора (мал. 1.3) знаходиться в точці , а кінець – в точці , то його проекції на вісі координат , , ,

і його довжина дорівнює

. (1.2)

Цією формулою користуються для знаходження відстані між двома точками в просторі. Відстань між двома точками на площині обчислюється по формулі

. (1.3)

Властивості лінійних операцій над векторами

1. . Це ж правило діє і при складанні декількох векторів.

2. .

3. , або .

Таким чином, векторні вирази можна спрощувати за правилом складання многочленів.

Множення вектора на число

Множення вектора на число приводить до збільшення модуля вектора у раз, при цьому його напрям при не змінюється, а при змінюється на протилежне. При або вважають . Якщо вектори і колінеарні і не рівні нулю, то .

Ця операція має властивості:

1. .

2. .

3. .

Проекція вектора на вісь.

Під компонентою вектора щодо вісі (мал. 1.12) розуміється вектор = прl або = прl , початок якого є проекція на вісь початком вектора , а кінець є проекція на вісь кінцем вектора.

 

 

Під проекцією вектора на вісь розуміється скаляр , рівний модулю його компоненти щодо вісі , узятої із знаком « + », якщо напрям компоненти співпадає з напрямом вісі , і із знаком « – », якщо напрям компоненти протилежний напряму вісі . Помітимо, що якщо – одиничний вектор осі , то для компоненти справедлива рівність

Пр l . (1.7)

Нехай вектор заданий своїми компонентами на вісі координат , , (мал. 1.13). Побудуємо паралелограм, діагоналлю якого є вектор , а ребрами служать його компоненти , , .

Тоді маємо розкладання у векторній формі

. (1.8)

Якщо ввести одиничні вектори , , направлені по осях коор-динат, то на підставі (1.7) можна записати координатну форму вектора

. (1.9)

Якщо , то аналогічно .

Тепер розглянуті вище лінійні операції над векторами можна записати в координатній формі:

1) або , (1.10)

тобто при множенні вектора на скаляр координати вектора множаться на скаляр;

2) або

, (1.11)

тобто при складанні (або відніманні) векторів їх однойменні координати або проекції складаються (або віднімаються).

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів і називається число, рівне добутку їх модулів на косинус кута між ними:

. (1.16)

Кутом між векторами і називається

кут , на який слід повернути один з векторів

для того, щоб їх напрями співпали (мал. 1.15).

Надалі під кутом між векторами розумітимемо

кут , який задовольняє умові .

Розв’язок.

1) Знайдемо проекції векторів , і

, ,

.

2) Знайдемо проекції векторів і на координатні осі

,

.

Якщо вектора колінеарні, то повинен виконаються умова

.

У нашому випадку . .

Відповідь. Колінеарні.

Векторний добуток векторів

Література

 

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001. - 648 с.: іл. (Унів. б-ка). Бібліогр.: с. 632-633.

2. Вища математика. Збірник задач: Навч. Посібник / В.П.Дубовик, І.І.Юрик. І.П.Вовкодав та ін. За ред. В.П.Дубовика, І.І.Юрика. - К.: А.С.К., 2001. 480 с.: іл. (Унів. б-ка).

3. О.Н. Цубербиллер Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Изд. 27-е. "Из-во Наука" М. 1966.

4. Крамарь Н.М., Швед О.П. Высшая математика. Курс лекций (часть I). -

Луганск: Из-во ВНУ им. В.Даля, 2002, - 200 с.

 

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Розділ 2

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

 

для фахівцівосвітньо-кваліфікаційного рівня – бакалавр

для напряму підготовки– 6.040106 «Екологія, охорона навколишнього

середовища та збалансоване природокористування»

 

 


ЗМІСТ

1. Координати, довжина і направляючі косинуси вектора …….. 3

2. Лінійні операції над векторами. Проекція вектора на вісь.

Базис …………………………………………………………….. 5

3. Поділ відрізка в заданому відношенні ………..………….…... 9

4. Скалярний добуток векторів ………………………………….. 10

5. Векторний добуток векторів ………………………………..… 14

5.1. Визначення і властивості векторного добутку ……………… 14

5.2. Векторний добуток двох векторів в координатній формі ….. 16

6. Змішаний добуток трьох векторів …………….……………… 18

6.1. Визначення і обчислення змішаного добутку ………………. 18

6.2. Властивості змішаного добутку і його геометричне

значення ………………………………………………………… 19

ЛІТЕРАТУРА ……………………………………………………….. 22

 

1. Координати, довжина і направляючі косинуси вектора

Для того, щоб операції над векторами звести до операцій над числами, розглянемо вектори в прямокутній системі координат.

Координати вектора.

Відомо, що якщо на площині задана прямокутна система координат, то кожна точка на площині однозначно характеризується двома числами – координатами точки (мал. 1.1).

Аналогічно, кожній точці тривимірного простору, заданого в прямо-кутній системі координат, відповідає трійка чисел (мал. 1.2).

 

Точка називається початком координат, вісь віссю абсцис, вісь віссю ординат, а вісь віссю аплікат. Відповідно, проекції точки на ці осі називаються абсцисою, ординатою і аплікатою точки.

Вектором називається направлений відрізок (мал. 1.1, 1.2) або (мал.1.3), який сполучає дві точки простору. Позначають вектор так само, як і направлений відрізок , або .

Довжина вектора.

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною (або модулем вектора) і позначається , або . Вектор, довжина якого рівна одиниці, називається одиничним вектором.

Вектор або (мал. 1.4) є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда з вимірами , , , тому довжина цього вектора дорівнює

. (1.1)

 

 

Мал. 1.4

Якщо початок вектора (мал. 1.3) знаходиться в точці , а кінець – в точці , то його проекції на вісі координат , , ,

і його довжина дорівнює

. (1.2)

Цією формулою користуються для знаходження відстані між двома точками в просторі. Відстань між двома точками на площині обчислюється по формулі

. (1.3)

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти