|
Поділ відрізка в заданому відношенні
Знайдемо координати точки , яка ділить відрізок АВ у відношенні внутрішнім чином в напрямку від А до В. , отже, , тобто ;
Звідси: . (1.12) Аналогічно, , . (1.13) Зауваження 1. Якщо є дробом, то . Таким чином, отримуємо: , , . (1.14) Слідство.У разі поділу відрізка навпіл, тобто при , , маємо: , , . (1.15) Зауваження 2. Якщо , той поділ відрізка виконується зовнішнім чином,тобто точка М лежить на продовженні відрізка АВ.
Скалярний добуток векторів Скалярним добутком двох векторів і називається число, рівне добутку їх модулів на косинус кута між ними: . (1.16) Кутом між векторами і називається кут , на який слід повернути один з векторів для того, щоб їх напрями співпали (мал. 1.15). Надалі під кутом між векторами розумітимемо кут , який задовольняє умові . Основні властивості скалярного добутку. 1. . 2. , якщо або , або . 3. . 4. . 5. . 6. ; . Теорема. Якщо два вектори і задані в координатній формі: , , той скалярний добуток цих векторів рівний . (1.17) Доказ. Оскільки , , то перемножуючи вектори, як многочлени, і враховуючи рівність (1.6), матимемо Згідно (1.16), з урахуванням доведеної теореми, . (1.18) Умова колінеарності векторів Якщо , то , де – деяке число. Тоді в координатній формі можна записати . З рівності векторів виходить , , , або . (1.19) Таким чином, якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні (справедливе і зворотне твердження). Умова ортогональності векторів. Якщо , то . Тоді . (1.20) Тобто, якщо два вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток рівний нулю. Механічний зміст скалярного добутку. З фізики відомо, що робота , сили при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з векторам кут (мал. 1.16) рівна , або, згідно 1.16 . Тому робота рівна скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення . В цьому суть механічного змісту скалярного добутку. Приклад 1. Знайти внутрішні кути , і трикутника, заданого вершинами , , і переконатися, що їх сума рівна . Розв’язок.Знайдемо координати векторів , , по формулі 1.6 і протилежні їм вектори , , , враховуючи, що складові останніх мають знаки, протилежні складовим основних векторів , ; , ; , . Обчислимо довжини сторін трикутника . ; ; . Знайдемо косинус кута між векторами по формулі 1.18 . . . . . Перевірка: . Відповідь. ; ; . Приклад 2.Чи колінеарні вектори і , побудовані по векторах і , якщо , , , . Розв’язок. 1) Знайдемо проекції векторів , і , , . 2) Знайдемо проекції векторів і на координатні осі , . Якщо вектора колінеарні, то повинен виконаються умова . У нашому випадку . . Відповідь. Колінеарні. Векторний добуток векторів Визначення і властивості векторного добутку Трійка некомпланарних векторів називається правою,якщо при обертанні буравчика в напрямі від вектора до вектора напрям поступальної ходи буравчика утворює гострий кут з напрямом вектора . Якщо ж кут тупий, то трійка називається лівою. Векторним добутком двох векторів називається вектор , який задовольняє наступним умовам: 1) довжина вектора рівна , де ; (1.21) 2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і , тобто і ; 3) якщо , то вектори , і утворюють праву трійку векторів. Векторнийдобуток позначають одним з символів: . Розглянемо декілька прикладів. 1. Швидкість точки твердого тіла, яка обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі , визначається формулою Ейлера . 2. Якщо електрон, із зарядом рухається з швидкістю у магнітному полі постійної напруженості , то на електрон діє сила , яка визначається формулою . Розглянемо властивості алгебри векторного добутку. 1. Антикоммутативність множення: , тобто від перестановки множників векторний добуток змінює знак на протилежний. Це витікає з того, що вектора і мають однакові модулі, але протилежні по напряму (див. мал. 1.17). 2. Асоціативність щодо скалярного множника : ; . 3. Дистрибутивність щодо складання векторів: . Приведемо геометричні властивості векторного добутку 4. Векторний добуток двох векторів рівний нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектора колінеарні. 5. Модуль векторного добутку не колінеарних векторів рівний площі паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до загального початку, тобто . (1.22) 6. Векторні добутки ортів задовольняють такій рівності: ; , , ; , , . |
||||
|