ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Поділ відрізка в заданому відношенні

Загрузка...

Знайдемо координати точки , яка ділить відрізок АВ у відношенні внутрішнім чином в напрямку від А до В.

, отже,

, тобто

;

Мал.1.14


Звідси: . (1.12)

Аналогічно, , . (1.13)

Зауваження 1. Якщо є дробом, то

.

Таким чином, отримуємо:

, , . (1.14)

Слідство.У разі поділу відрізка навпіл, тобто при , , маємо:

, , . (1.15)

Зауваження 2. Якщо , той поділ відрізка виконується зовнішнім чином,тобто точка М лежить на продовженні відрізка АВ.

 

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів і називається число, рівне добутку їх модулів на косинус кута між ними:

. (1.16)

Кутом між векторами і називається

кут , на який слід повернути один з векторів

для того, щоб їх напрями співпали (мал. 1.15).

Надалі під кутом між векторами розумітимемо

кут , який задовольняє умові .

Основні властивості скалярного добутку.

1. .

2. , якщо або , або .

3. .

4. .

5. .

6. ; .

Теорема. Якщо два вектори і задані в координатній формі:

, ,

той скалярний добуток цих векторів рівний

. (1.17)

Доказ. Оскільки , , то перемножуючи вектори, як многочлени, і враховуючи рівність (1.6), матимемо

Згідно (1.16), з урахуванням доведеної теореми,

. (1.18)

Умова колінеарності векторів

Якщо , то , де – деяке число. Тоді в координатній формі можна записати

.

З рівності векторів виходить

, , ,

або . (1.19)

Таким чином, якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні (справедливе і зворотне твердження).

Умова ортогональності векторів.

Якщо , то .

Тоді . (1.20)

Тобто, якщо два вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток рівний нулю.

Механічний зміст скалярного добутку.

 

З фізики відомо, що робота , сили

при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з векторам кут (мал. 1.16) рівна

,

або, згідно 1.16 .

Тому робота рівна скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення . В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.

Приклад 1. Знайти внутрішні кути , і трикутника, заданого вершинами , , і переконатися, що їх сума рівна .

Розв’язок.Знайдемо координати векторів , , по формулі 1.6 і протилежні їм вектори , , , враховуючи, що складові останніх мають знаки, протилежні складовим основних векторів

, ;

, ;

, .

Обчислимо довжини сторін трикутника

.

;

;

.

Знайдемо косинус кута між векторами по формулі 1.18

.

.

.

.

.

Перевірка: .

Відповідь. ; ; .

Приклад 2.Чи колінеарні вектори і , побудовані по векторах

і , якщо , , , .

Розв’язок.

1) Знайдемо проекції векторів , і

, ,

.

2) Знайдемо проекції векторів і на координатні осі

,

.

Якщо вектора колінеарні, то повинен виконаються умова

.

У нашому випадку . .

Відповідь. Колінеарні.

Векторний добуток векторів

Визначення і властивості векторного добутку

Трійка некомпланарних векторів називається правою,якщо при обертанні буравчика в напрямі від вектора до вектора напрям поступальної ходи буравчика утворює гострий кут з напрямом вектора . Якщо ж кут тупий, то трійка називається лівою.

Векторним добутком двох векторів називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина вектора рівна , де ; (1.21)

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і , тобто і ;

3) якщо , то вектори , і утворюють праву трійку векторів.

Векторнийдобуток позначають одним з символів:

.

Розглянемо декілька прикладів.

1. Швидкість точки твердого тіла, яка обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі , визначається формулою Ейлера

.

2. Якщо електрон, із зарядом рухається з швидкістю у магнітному полі постійної напруженості , то на електрон діє сила , яка визначається

формулою .

Розглянемо властивості алгебри векторного добутку.

1. Антикоммутативність множення:

,

тобто від перестановки множників векторний

добуток змінює знак на протилежний.

Це витікає з того, що вектора і

мають однакові модулі, але протилежні по

напряму (див. мал. 1.17).

2. Асоціативність щодо скалярного множника :

; .

3. Дистрибутивність щодо складання векторів:

.

Приведемо геометричні властивості векторного добутку

4. Векторний добуток двох векторів рівний нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектора колінеарні.

5. Модуль векторного добутку не колінеарних векторів рівний площі паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до загального початку, тобто

. (1.22)

6. Векторні добутки ортів задовольняють такій рівності:

;

, , ;

, , .

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти