Векторний добуток двох векторів в координатній формі

Нехай в прямокутній системі координат задані вектори і . Доведемо, що векторний добуток вектора на вектор визначається формулою

. (1.23)

Доказ. Використовуючи властивості 1 – 3 і 6 векторних добутків і теорему про розкладання визначника, маємо

=

+ + + + +

+ + + + =

= + + =

= + =

+ = .

Геометричний зміст векторного добутку.

 

Модуль векторного добутку рівний площі паралелограма, побудованого на цих векторах, як на сторонах:

Мал. 1.18

.

 

Механічне зміст векторного добутку.

Момент сили , прикладеної

до точки А відносно точки ,

рівний векторному добутку

сили на вектор :

.

Приклад 3.Обчислити площу паралелограма побудованого на векторах

і , якщо:

а) ; ; ; ; ;

б) ; .

Розв’язок.Площа паралелограма, побудованого на векторах і , згідно формули (1.22) дорівнює модулю їх векторного добутку

.

Знайдемо векторний добуток векторів і

а)

.

Тобто площа паралелограма

(кв. од.).

Відповідь: 7 кв. од.

б) Якщо вектора задані своїми проекціями на осі координат, то в цьому випадку їх векторний добуток обчислюється по формулі (2.23)

.

У нашому випадку

Площа паралелограма в цьому випадку

(кв. од.)

Відповідь. кв. од.

Змішаний добуток трьох векторів

Визначення і обчислення змішаного добутку

Змішаним добутком трьох векторів , і називається число, що є добутком вектора скалярно на вектор :

. (1.24)

Тут перші два вектори перемножуються один на одного векторно, а потім отриманий вектор множиться скалярний на третій вектор.

Знайдемо вираз для змішаного добуток через координати векторів, що перемножуються. Визначимо спочатку :

= +

Оскільки , то по формулі (1.17)

,

знаходимо

.

Отже,

. (1.25)

Таким чином, змішаний добуток трьох векторів рівний визначнику третього порядку, який складається з відповідних координат векторів, що перемножуються.

Властивості змішаного добуток і його геометричне значення

1. Якщо в змішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то змішаний добуток змінить знак, наприклад:

.

Дійсно, якщо в змішаному добутку поміняти місцями два множники, то це рівносильне тому, що у визначнику (1.25) поміняти місцями два ряди, а від цього визначник змінює знак на протилежний.

2. При циклічній перестановці множників змішаний добуток не змінюється:

.

Якщо множники міняються місцями двічі, то у визначнику (2.25) рядок міняється місцями двічі, а від цього визначник не змінюється.

3. В змішаному добутку знаки векторного і скалярного добутку можна міняти місцями:

.

Це витікає з властивості 2 і комутативності скалярного добутку. У зв'язку з цим змішаний добуток (векторно-скалярний добуток) і (скалярно-векторний добуток) скорочено позначають .

4. Модуль змішаного добутку рівний об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і віднесених до загального початку:

(1.26)

Дійсно,

Мал. 1.20

 

Об'єм трикутної піраміди (тетраедра), побудованої на векторах , і рівний шостій частині об'єму паралелепіпеда, тому

. (1.27)

5. Якщо змішаний добуток додатній, то вектора , , утворюють праву трійку, а якщо від’ємний - то ліву.

6. Вектори , , компланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток рівний нулю.

Якщо , то вектор перпендикулярний до векторів і лежить з векторами , у одній площині. Це означає, що вектори , і компланарні.

Властивості 4 – 6 виражають геометричний зміст змішаного добутку трьох векторів.

Приклад 4.Обчислити об'єм тетраедра з вершинами , , , і його висоту , опущену з вершини на грань , якщо ; ; ; .

Розв’язок.Об'єм тетраедра, побудованого на трьох не компланарних векторах рівний шостій частині абсолютної величини добутку векторів, витходячих з однієї вершини, що змішає, наприклад, :

.

Знайдемо вектори

;

;

.

Об'єм тетраедра

= куб. од.

Площа грані рівна половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Позначимо векторний добуток через . Тоді модуль вектора виражає собою площу паралелограма

.

кв. од.

Об'єм тетраедра , звідки знаходимо висоту :

ед. довжини.

Відповідь. куб. од.; од. довжини.

 

Література

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001. - 648 с.: іл. (Унів. б-ка). Бібліогр.: с. 632-633.

2. Вища математика. Збірник задач: Навч. Посібник / В.П.Дубовик, І.І.Юрик. І.П.Вовкодав та ін. За ред. В.П.Дубовика, І.І.Юрика. - К.: А.С.К., 2001. 480 с.: іл. (Унів. б-ка).

3. О.Н. Цубербиллер Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Изд. 27-е. "Из-во Наука" М. 1966.

4. Крамарь Н.М., Швед О.П. Высшая математика. Курс лекций (часть I). -

Луганск: Из-во ВНУ им. В.Даля, 2002, - 200 с.