ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Векторний добуток двох векторів в координатній формі

Загрузка...

Нехай в прямокутній системі координат задані вектори і . Доведемо, що векторний добуток вектора на вектор визначається формулою

. (1.23)

Доказ. Використовуючи властивості 1 – 3 і 6 векторних добутків і теорему про розкладання визначника, маємо

=

+ + + + +

+ + + + =

= + + =

= + =

+ = .

Геометричний зміст векторного добутку.

 

Модуль векторного добутку рівний площі паралелограма, побудованого на цих векторах, як на сторонах:

Мал. 1.18
.

 

Механічне зміст векторного добутку.

 

 

Момент сили , прикладеної

до точки А відносно точки ,

рівний векторному добутку

сили на вектор :

.

 

 

Приклад 3.Обчислити площу паралелограма побудованого на векторах

і , якщо:

а) ; ; ; ; ;

б) ; .

Розв’язок.Площа паралелограма, побудованого на векторах і , згідно формули (1.22) дорівнює модулю їх векторного добутку

.

Знайдемо векторний добуток векторів і

а)

.

Тобто площа паралелограма

(кв. од.).

Відповідь: 7 кв. од.

б) Якщо вектора задані своїми проекціями на осі координат, то в цьому випадку їх векторний добуток обчислюється по формулі (2.23)

.

У нашому випадку

Площа паралелограма в цьому випадку

(кв. од.)

Відповідь. кв. од.

Змішаний добуток трьох векторів

Визначення і обчислення змішаного добутку

Змішаним добутком трьох векторів , і називається число, що є добутком вектора скалярно на вектор :

. (1.24)

Тут перші два вектори перемножуються один на одного векторно, а потім отриманий вектор множиться скалярний на третій вектор.

Знайдемо вираз для змішаного добуток через координати векторів, що перемножуються. Визначимо спочатку :

= +

Оскільки , то по формулі (1.17)

,

знаходимо

.

Отже,

. (1.25)

Таким чином, змішаний добуток трьох векторів рівний визначнику третього порядку, який складається з відповідних координат векторів, що перемножуються.

 

Властивості змішаного добуток і його геометричне значення

1. Якщо в змішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то змішаний добуток змінить знак, наприклад:

.

Дійсно, якщо в змішаному добутку поміняти місцями два множники, то це рівносильне тому, що у визначнику (1.25) поміняти місцями два ряди, а від цього визначник змінює знак на протилежний.

2. При циклічній перестановці множників змішаний добуток не змінюється:

.

Якщо множники міняються місцями двічі, то у визначнику (2.25) рядок міняється місцями двічі, а від цього визначник не змінюється.

3. В змішаному добутку знаки векторного і скалярного добутку можна міняти місцями:

.

Це витікає з властивості 2 і комутативності скалярного добутку. У зв'язку з цим змішаний добуток (векторно-скалярний добуток) і (скалярно-векторний добуток) скорочено позначають .

4. Модуль змішаного добутку рівний об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і віднесених до загального початку:

(1.26)

Дійсно,

Мал. 1.20

 

Об'єм трикутної піраміди (тетраедра), побудованої на векторах , і рівний шостій частині об'єму паралелепіпеда, тому

. (1.27)

5. Якщо змішаний добуток додатній, то вектора , , утворюють праву трійку, а якщо від’ємний - то ліву.

6. Вектори , , компланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток рівний нулю.

Якщо , то вектор перпендикулярний до векторів і лежить з векторами , у одній площині. Це означає, що вектори , і компланарні.

Властивості 4 – 6 виражають геометричний зміст змішаного добутку трьох векторів.

 

Приклад 4.Обчислити об'єм тетраедра з вершинами , , , і його висоту , опущену з вершини на грань , якщо ; ; ; .

Розв’язок.Об'єм тетраедра, побудованого на трьох не компланарних векторах рівний шостій частині абсолютної величини добутку векторів, витходячих з однієї вершини, що змішає, наприклад, :

.

Знайдемо вектори

;

;

.

Об'єм тетраедра

= куб. од.

Площа грані рівна половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Позначимо векторний добуток через . Тоді модуль вектора виражає собою площу паралелограма

.

кв. од.

Об'єм тетраедра , звідки знаходимо висоту :

ед. довжини.

Відповідь. куб. од.; од. довжини.

 

Література

 

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001. - 648 с.: іл. (Унів. б-ка). Бібліогр.: с. 632-633.

2. Вища математика. Збірник задач: Навч. Посібник / В.П.Дубовик, І.І.Юрик. І.П.Вовкодав та ін. За ред. В.П.Дубовика, І.І.Юрика. - К.: А.С.К., 2001. 480 с.: іл. (Унів. б-ка).

3. О.Н. Цубербиллер Задачи и упражнения по аналитической геометрии. Изд. 27-е. "Из-во Наука" М. 1966.

4. Крамарь Н.М., Швед О.П. Высшая математика. Курс лекций (часть I). -

Луганск: Из-во ВНУ им. В.Даля, 2002, - 200 с.

 

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти