ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Алгебраїчна форма запису комплексного числа.

Комплексні числа

Розглянуто і схвалено на засіданні

циклової комісії викладачів

природничо-математичного циклу

Протокол № __ від __________20__р.

 

Черкаси 2012 р.

Тема 1: Комплексні числа

Комплексні числа та дії над ними. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній та показниковій формах.

 

Мета:Метою теми «Комплексні числа» є завершення вивчення історії розвитку поняття числа, що дасть можливість на належному рівні розглядати технічні процеси, теорії розв’язування рівнянь, створити математичний апарат для розрахунків.

Основні вимоги

У результаті вивчення теми студенти повинні вміти:

– виконати дії над комплексними числами у різних формах запису;

– здійснити перехід від однієї форми запису комплексного числа до іншої;

– зображати комплексні числа геометрично.

 

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

Комплексні числа виникли із практики розв'язування алгебраїчних рівнянь. Під час розв'язування квадратного рівняння у випадку, коли його дискримінант від'ємний, корені не можуть бути дійсними. Те саме спостерігалося і під час розв'язування рівнянь вище другого степеня, тому постала необхідність у розширенні поняття числа.

З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які вже мали поняття про квадратний корінь і від'ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від'ємних чисел не існують, а тему квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали.

У XVI ст. італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв'язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 р. праці італійського матема­тика Джироламо Кардано (1501—1576) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв'язків кубічного рівняння х 3+ рх + q = 0.

Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні,усі корені дійсні, проміжні обчислення приводять до уявних чисел(їх називали «фальшивими», «неіснуючими»). Відповідний випадок розв'язування згаданого кубічного рівняння називали «незвідним». У зв’язку із застосуванням формули Кардано з'явилися символи виду (b > 0), яким спочатку не надали будь-якого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дійсними числами.

Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530—1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже у сучасному вигляді. Рене Декарт, який ототожнював дійсні числа з відрізками координатної осі, вважав, що для комплексних чисел не може існувати жодного реального тлумачення, а тому вони назавжди залишаються уявлюваними. Такого погляду дотримувалися й інші ма­тематики того часу, у тому числі Ісаак Ньютон і німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716).

У XVII ст. англійський математик Джон Валліс (1616— 1703) у своїй праці «Алгебра, історичний і практичний трактат» (1685) вказав на можливість геометричного тлумачення уявних чисел. Лише у XVIII ст. для розв'язування численних задач математичного аналізу, механіки і геометрії виникла потреба у геометричній інтерпретації комплексних чисел.

Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали Лейбніц і швейцарський математик Іоганн Бернуллі, які ще в 1702 р. чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменни­ками. В 1712 р. між Лейбніцем та І. Бернуллі виникла суперечка щодо природи логарифмів комплексних і від'ємних чисел. Лейбніц стверджу­вав, що логарифми від'ємних чисел уявні, а І. Бернуллі вважав, що вони дійсні. Це питання розв'язав у 1749 р. Ейлер на користь Лейбніца. Формулу (cos 2 = було виведено у пер­шій чверті XVIII ст. англійським ученим Абрахамом де Муавром (1667—1754). У сучасному вигляді цю формулу навів Ейлер у «Вступі до аналізу», застосовуючи замість символа і загально вжи­ваний у ті часи символ .

Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на своїй могильній плиті злак як символ потойбічного світу.

Символ і було введено Ейлером у 1777 р. (опубліковано у 1794 p.).

Поняття «модуль» і «аргумент» комплексного числа ввів французь­кий учений Жан Лерон Д' Аламбер (1717—1783). Самі ж ці терміни було введено у XIX ст. швейцарським математиком Жа­ном Робертом Арганом (1768—1822) і французьким мате­матиком Огюстєном Луї Коші (1789—1857).

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними оста­точно закріпилось у математиці лише після виходу у 1831 р. праці німецького математика Кар л а Фрідріха Гаусса (1777— 1855) «Теорія біквадратних лишків». Гаусс замінив назву «уявні числа» на термін «комплексні числа».

В 70-х роках XVIII ст. Ейлер і Лагранж застосували поняття комплексної. змінної до розв'язування багатьох задач, зокрема задачі побудови геометричних карт. Комплексні числа застосовували у своїхпрацях з гідродинаміки Д'Аламбер та Ейлер.

За допомогою теорії функцій комплексної змінної, яка розвинула­ся на основі комплексних чисел, було розв'язано багато проблем аеро- і гідродинаміки, теорії пружності, радіотехніки та ін.

 

Комплексні числа.

Степінь і

і1=і, і2=-1, і3=-і, і4=1, і5=і, і6=-1, і7=-і, і8=1, і9=і.

Значення степеня періодично повторюється.

i4m=1, i4m+1=i, i4m+2=-1, i4m+3=-i.

Щоб піднести число і до степеня з натуральним показником, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклад: і34 = і4*8+2 = і2 = -1.

 

 

Приклади

 

Виконати дії:

1.

Розв’язання.

, r1=1, γ1 = ;

z2 = 2( , r2 = 2, γ2 = ;

z3 = , r3 = , γ3 = .

Отже, z =

2. Піднести до дев’ятого степеня комплексне число

Розв’язання.

(IV чв.)

3. Знайти всі значення .

z = 1= cos 0 + i sin 0

k=0, z0=cos 0 = i sin 0=1

k=1, z1= cos = , так як

 

k=2, z2= cos =

Відповідь: 1; ; .

 

4. Знайдіть всі значення

zk = 2

(k = 0, 1, 2, 3).

Отже,

 

 

z1 z1 z0 z0 =

 

 


z2 z3

 

 

 

На цьому рисунку зображено всі чотири значення . Точки, які відповідають числам , , , , лежать у вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2, з центром у точці =0.

 

5. Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі:

1.

2. =

3.

4.

Приклади:

1. Записати в показниковій формі комплексне число

число лежить в четвертій чверті, отже γ=

2. Записати в показниковій формі

Розв’язання

Питання для самоконтролю

1. Які числа називають комплексними?

2. Чи існують для комплексних чисел поняття "більше", "менше"?

3. Який зміст вкладено в комплексне число ?

4. Яка алгебраїчна форма запису комплексного числа?

5. Яка геометрична інтерпретація комплексного числа ?

6. Що таке модуль комплексного числа і як його обчислюють?

7. Що таке аргумент комплексного числа і як його обчислюють?

8. Чи однозначно визначається модуль комплексного числа ? Аргумент?

9. Яка тригонометрична форма запису комплексного числа?

10. Як виконують дії з комплексними числами в тригонометричній формі?

11. Яка показникова форма запису комплексного числа?

12. Як виконують дії з комплексними числами в показниковій формі?

 

 

Усні вправи.

1. Виконати дії:

а) (2+3і)+(-4+і);

б) (12-і)-(-3+і);

в) (-1+і)(-1-і);

г) і(1+і)

Відповіді: а) -2+4і; б) 15-2і; в) 2; г) 1+і.

2. В яких чвертях розміщені комплексні числа?

а) -3+і;

б) 4-і;

в) -2-3і;

г)2+і

Відповіді: а) ІІ чв.; б) ІV чв.; в) ІІІ чв.; г) І чв.

3. Чому дорівнює модуль комплексного числа z = 1+i?

4. Знайти аргумент комплексного числа z = 1+i, якщо

5. Знайти тригонометричну форму комплексних чисел:

а) z = 1;

б) z = -1;

в) z = i;

г) z = -i

Відповіді: а) cos 0 + i sin 0; б) cos π + i sin π; в) ; г) ;

6. Обчислити:

а) і16; б) і25; в) і15; г) і22;

Відповіді: а) 1; б) і; в) –і; г) -1.

 

Вправи для самоконтролю

1. Розв’язати рівняння:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

 

2. Виконати дії:

а)

б)

 

3. Обчислити:

(1+і)8.

 

4. Знайти модуль і аргумент числа

5. Записати в тригонометричній формі комплексне число

6. Піднести до степеня за формулою Муавра:

а) s w:val="36"/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

б)

 

 

7. Добути корінь:

а)

б)

 

 

8. Розв’язати рівняння:

а)
б)

Відповіді:

1. а)

б)

в)

г)

 

2. а) 2і;

б) 2і;

 

3. Вказівка. Використати співвідношення

(1+і)2 = 2і.

4.

5.

6.

7.

б)

 

8. а)

б)

 

 

Література

1. Математика для технікумів. Алгебра і початки аналізу/Під ред. Г.М. Яковлева/ – К.:Вища школа, 1980.

2. Валуцє Н.Н.,Дилигул Г.Д. Математика для техникумов/ на базе средней школы/ – М.:Наука,1992.

3. Афанасьева, Бродский Я.С., Гуткин Н.Н, Павлов А.Л. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1992.

4. Боголюбов Н.В. Практическое занятия по математике. –М.: Высшая Школа, 1990.

5. М.І. Шкіль, З.І Сленкаль, О.С. Дубойчук. Алгебра і початки аналізу. К.: Зодіак – ЕКО, 1995.

 

Комплексні числа

Розглянуто і схвалено на засіданні

циклової комісії викладачів

природничо-математичного циклу

Протокол № __ від __________20__р.

 

Черкаси 2012 р.

Тема 1: Комплексні числа

Комплексні числа та дії над ними. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форма комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній та показниковій формах.

 

Мета:Метою теми «Комплексні числа» є завершення вивчення історії розвитку поняття числа, що дасть можливість на належному рівні розглядати технічні процеси, теорії розв’язування рівнянь, створити математичний апарат для розрахунків.

Основні вимоги

У результаті вивчення теми студенти повинні вміти:

– виконати дії над комплексними числами у різних формах запису;

– здійснити перехід від однієї форми запису комплексного числа до іншої;

– зображати комплексні числа геометрично.

 

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

Комплексні числа виникли із практики розв'язування алгебраїчних рівнянь. Під час розв'язування квадратного рівняння у випадку, коли його дискримінант від'ємний, корені не можуть бути дійсними. Те саме спостерігалося і під час розв'язування рівнянь вище другого степеня, тому постала необхідність у розширенні поняття числа.

З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які вже мали поняття про квадратний корінь і від'ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від'ємних чисел не існують, а тему квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали.

У XVI ст. італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв'язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 р. праці італійського матема­тика Джироламо Кардано (1501—1576) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв'язків кубічного рівняння х 3+ рх + q = 0.

Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні,усі корені дійсні, проміжні обчислення приводять до уявних чисел(їх називали «фальшивими», «неіснуючими»). Відповідний випадок розв'язування згаданого кубічного рівняння називали «незвідним». У зв’язку із застосуванням формули Кардано з'явилися символи виду (b > 0), яким спочатку не надали будь-якого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дійсними числами.

Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530—1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже у сучасному вигляді. Рене Декарт, який ототожнював дійсні числа з відрізками координатної осі, вважав, що для комплексних чисел не може існувати жодного реального тлумачення, а тому вони назавжди залишаються уявлюваними. Такого погляду дотримувалися й інші ма­тематики того часу, у тому числі Ісаак Ньютон і німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716).

У XVII ст. англійський математик Джон Валліс (1616— 1703) у своїй праці «Алгебра, історичний і практичний трактат» (1685) вказав на можливість геометричного тлумачення уявних чисел. Лише у XVIII ст. для розв'язування численних задач математичного аналізу, механіки і геометрії виникла потреба у геометричній інтерпретації комплексних чисел.

Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали Лейбніц і швейцарський математик Іоганн Бернуллі, які ще в 1702 р. чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменни­ками. В 1712 р. між Лейбніцем та І. Бернуллі виникла суперечка щодо природи логарифмів комплексних і від'ємних чисел. Лейбніц стверджу­вав, що логарифми від'ємних чисел уявні, а І. Бернуллі вважав, що вони дійсні. Це питання розв'язав у 1749 р. Ейлер на користь Лейбніца. Формулу (cos 2 = було виведено у пер­шій чверті XVIII ст. англійським ученим Абрахамом де Муавром (1667—1754). У сучасному вигляді цю формулу навів Ейлер у «Вступі до аналізу», застосовуючи замість символа і загально вжи­ваний у ті часи символ .

Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на своїй могильній плиті злак як символ потойбічного світу.

Символ і було введено Ейлером у 1777 р. (опубліковано у 1794 p.).

Поняття «модуль» і «аргумент» комплексного числа ввів французь­кий учений Жан Лерон Д' Аламбер (1717—1783). Самі ж ці терміни було введено у XIX ст. швейцарським математиком Жа­ном Робертом Арганом (1768—1822) і французьким мате­матиком Огюстєном Луї Коші (1789—1857).

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними оста­точно закріпилось у математиці лише після виходу у 1831 р. праці німецького математика Кар л а Фрідріха Гаусса (1777— 1855) «Теорія біквадратних лишків». Гаусс замінив назву «уявні числа» на термін «комплексні числа».

В 70-х роках XVIII ст. Ейлер і Лагранж застосували поняття комплексної. змінної до розв'язування багатьох задач, зокрема задачі побудови геометричних карт. Комплексні числа застосовували у своїхпрацях з гідродинаміки Д'Аламбер та Ейлер.

За допомогою теорії функцій комплексної змінної, яка розвинула­ся на основі комплексних чисел, було розв'язано багато проблем аеро- і гідродинаміки, теорії пружності, радіотехніки та ін.

 

Комплексні числа.

Алгебраїчна форма запису комплексного числа.

 

Під час розв'язання багатьох задач, рівнянь, виникла потреба добувати квадратний корінь з від'ємних чисел. Квадратні рівняння з від'ємним дискримінантом у множині, дійсних чисел розв'язків не мають. Постає питання про розширення множини дійсних чисел. Ввели нове число і для якого справедлива рівність:

 

і2=-1.

Тоді,

 

Розв'язуючи рівняння х2-4х+13=0 одержимо:

 

 

 

Означення: Комплексними числами називають числа виду а+bі (а,b - дійсні числа, і - уявна одиниця), для яких введено поняття рівності та операції додавання і множення:

а) два комплексні числа а1+b1і та а2+b2і рівні тоді і тільки тоді, коли а12, b1=b2;

б) сумою чисел ai+b1і та а2+b2і називають число (а1+ a2)+(b1+b2) і.

в) добутком чисел а1+b1i та а2+b2і називають число (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i.

Комплексні числа часто позначають однією буквою, наприклад z.

z = a + bi - алгебраїчна форма комплексного числа, а - дійсна його частина, b - коефіцієнт при уявній, (і - перша буква латинського слова imaginaries - уявний).

Додавання і множення комплексних чисел підлягає тим самим законам, що й додавання і множення дійсних чисел.

1. Комутативність додавання:

z1+z2=z2+z1.

2. Асоціативність додавання:

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

3. Для будь яких комплексних чисел z1 і z2 існує таке комплексне число z, що z1+ z= z2. Це число називається різницеючисел z1 і z2, його позначають:

z2 – z1

4. Комутативність множення:

z1z2=z2z1

5. Асоціативність множення:

(z1z2) z3= z1(z2 z3).

6. Для будь яких комплексних чисел z1 0+0i iснує таке число z, що z1 z= z2. Це число називається часткоюкомплексних чисел z2 і z1; його позначають . Ділення на комплексне число 0+0і, яке називається нулем, неможливе.

7. Дистрибутивність:

z1(z2+ z3)= z1 z2 + z1 z3.

Числа a + bi та a - bi, дійсні частини яких рівні , а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.

Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.

 

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти