ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Геометрична інтерпретація комплексних чисел

 

 

Зображають комплексні числа точками координатної площини, яку при цьому називають комплексною.

Кожному комплексному числу а + bi поставлено у відповідність точку М (а; b) координатної площини, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината - коефіцієнту уявної частини. Зручно зображати комплексне число z = a+bi як вектор .

 

y

M (a; b)
x
O (0;0)
a  
b
 
 

 

 

 


Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.

 

Дано комплексні числа z1=-1+6i та z2=2+5i. Знайти суму z1+z2, різницю z2-z1, добуток z1z2 і частку z2/z1.

Розв’язання

1) z1+z2=(-1+6i)+(2+5i)=-1+6i+2+5i=(1+2)+(6+5)i=1+11i.

2) z1-z2=(2+5i)-(-1+6i)=2+5i+1-6i=(2+1)+(5-6)i=3-i.

3) z1-z2=(-1+6i)(2+5i)=-2-5i+12i+30i2=2+7i+30(-1)=(-2-30)+7i=32+7i.

4) z2/z1=

Помножимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

=

Степінь і

і1=і, і2=-1, і3=-і, і4=1, і5=і, і6=-1, і7=-і, і8=1, і9=і.

Значення степеня періодично повторюється.

i4m=1, i4m+1=i, i4m+2=-1, i4m+3=-i.

Щоб піднести число і до степеня з натуральним показником, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.

Приклад: і34 = і4*8+2 = і2 = -1.

 

 

Модуль і аргумент комплексного числа.

Означення. Модулем комплексного числа z=a+bi називається довжина вектора, яка відповідає цьому числу.

y

z=a + bi
b


 
0 a x

Означення. Аргументом комплексного числа називається величина кута між додатним напрямком дійсної осі й вектором z, при чому величину кута вважають додатною, якщо відлік ведуть проти стрілки годинника, і від'ємною, якщо відлік ведуть за стрілкою годинника.

Аргумент знаходимо з системи :

Іноді користуються формулою tg .

 

Тригонометрична форма комплексного числа

З системи знайдемо a і b:

a= , b= тоді

z=a + bi=

z= – тригонометрична форма запису комплексного числа.

Приклад. Подати число z=1-i у тригонометричній формі.

Розв’язання:

,

z= або

(Кут, косинус якого додатній, а синус від’ємний знаходиться у четвертій чверті).

 

Дії над комплексними числами,заданими в тригонометричній формі.

Множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

) і

Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, сума аргументів співмножників є аргументом добутку.

Для частки, помноживши чисельник і знаменник на число, спряжене знаменнику, дістанемо:

Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів цих чисел, різниця аргументів діленого й дільника є аргументом частки.

де – арифметичний корінь,

k=0, 1, 2, 3,…, n-1.

 

2. Піднесення до степеня і добування кореня

 

Модуль добутку п комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників, сума аргументів всіх співмножників є аргументом добутку комплексних чисел.

Маємо формулу:

,

яка дає правило піднесення комплексного числа до цілого додатного степеня:

при піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до степеня з тим самим показником, а аргумент множиться на показник степеня.

Число z називається коренем степеня п з числа (позначається ), якщо zn = .

s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:noProof/><w:sz w:val="36"/><w:sz-cs w:val="36"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>= s </m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> і ,

i .

Приклади

 

Виконати дії:

1.

Розв’язання.

, r1=1, γ1 = ;

z2 = 2( , r2 = 2, γ2 = ;

z3 = , r3 = , γ3 = .

Отже, z =

2. Піднести до дев’ятого степеня комплексне число

Розв’язання.

(IV чв.)

3. Знайти всі значення .

z = 1= cos 0 + i sin 0

k=0, z0=cos 0 = i sin 0=1

k=1, z1= cos = , так як

 

k=2, z2= cos =

Відповідь: 1; ; .

 

4. Знайдіть всі значення

zk = 2

(k = 0, 1, 2, 3).

Отже,

 

 

z1 z1 z0 z0 =

 

 


z2 z3

 

 

 

На цьому рисунку зображено всі чотири значення . Точки, які відповідають числам , , , , лежать у вершинах квадрата, вписаного в коло радіуса 2, з центром у точці =0.

 

5. Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі:

1.

2. =

3.

4.

Приклади:

1. Записати в показниковій формі комплексне число

число лежить в четвертій чверті, отже γ=

2. Записати в показниковій формі

Розв’язання

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти