ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Лабораторна робота InvMatr на тему “Розв’язання СЛР за методом оберненої матриці”.

Варіант 33. Виконав студент групи БІТ-1-05, Іванов Олексій Вікторович. Дата виконання: 5.10.2005.

Завдaння. Розвязати систему лінійних рівнянь.

(1.3.3)

за допомогою оберненої матриці. Провести перевірку знайденого розвязку.

Виконання роботи. Систему (1.3.3) можна записати у матричному вигляді:

(1.3.4)

або , де - вектор-рядок невідомих , - вектор-рядок правої частини. - головна матриця системи. 1.Знаходження головного визначника. Використовуюч додаток Windows, InteractiveDet, одержуємо .

2.Знаходження доповняльних (алгебраїчних) мінорів.Будь-який доповняльний мінор одержуємо з головного визначника викреслюванням -го рядка і -го стовпця. Тому маємо:

, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .

3.Знаходження матрицю алгебраїчних доповнень.Алгебраїчне доповнення до елементу матриці системи (1.3.3) знаходиться за формулою ( ), то матриця алгебраїчних доповнень дорівнює

5. Знаходження оберненої матриці. Обернена матриця знаходиться за формулою

(1.3.5)

Тому

6. Перевірка знайденої оберненої матриці. Треба здійснити перевірку двох співвідношень і (за означенням оберненої матриці). Нехай , .

1) Перевірка першого співвідношення . Знайдемо матрицю Для її елементів маємо

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Тому і перевірка першого з співвідношень означення оберненої матриці здійснена.

2) Перевірка другого співвідношення.Знайдемо матрицю . Для її елементів маємо

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Тому і перевірка другого з співвідношень означення оберненої матриці здійснена.

Як наслідок, .

Тут

,

,

,

.

Отже, маємо вектор розв'язку

3.Перевірка знайденого вектора розв’язку.Перевірку знайденого вектора розв’язку здійснюємо підстановкою знайдених значень невідомих у ліві частини рівнянь системи і одержання значень правих частин. При маємо:

1) ;

2) ;

3)-5 ;

4)

5) .

Праві частини рівнянь системи дорівнюють лівим частинам. Тому вектор дійсно є розв’язком системи (1.3.3 ). Перевірка здійснена.

Висновки до лабораторної роботи. Точні розв’язки СЛР з цілими коефіцієнтами можуть бути числами не цілими, але, як це бачимо з формул для знаходження оберненої матриці ,є завжди числа дробові. Тому, при знаходженні розв’язку потрібно вести точні (без заокруглювань) підрахунки з дробами (у вигляді чисельник / знаменник), щоб одержати точні значення виразів, які ми підраховуємо.

Варіанти індивідуальних завдань до роботи InvMatr

Варіанти індивідуальних завдань до роботи InvMatr співпадають з варіантами індивідуальних завдань до роботи DetKram.

Допоміжні матеріали до роботи InvMatr

Програма AdjMatr

Program AdjMatr;{формування доповняльних мінорів}

{ВХІД: матриця – AdjMatr.inp – текстовий файл

Приклад заповнення вхідного файлу:

____________ початок __________

5

_____________ кінець __________

де 5—розміри матриці, далі за рядками – елементи матриці через прогалини

ВИХІД: матриці – p_j_k.inp – текстові файли з мінорами M_{j,k} структури як і вхідна матриця, де р – літера префіксу, j – номер рядка, k – номер стовпця}

const _N=10; type intmatr = array[0.._N,0.._N] of real;

var n, {розміри матриці}

j,k,r,s : integer; {робочі індекси}

n,sj,sk : string; {префікс і індекси}

m : intmatr; {вхідна мариця}

finp,fout : text; {вхідний і вихідний файли}

BEGIN {AdjMatr} writeln; write(‘Start AdjMatr’);

repeat {(одна буква)}

writeln; write(‘prefix =’); readln(sn);

until(length(sn=1));

assign(finp, “AdjMatr,inp”); reset(finp);read(finp,n);

for j:=1 to n do begin

readln(finp); for k:=1 to n do read(finp,m[j,k]);

end; close(finp);

for j:=1 to n do for k:=1 to n do begin

str(j,sj); str(k,sk); {формування індексів}

assign(fout,sn+sj+’_’+sk+’.inp’); rewrite(fout);

write(fout,(n-1):2,’ ‘+sn+’_{‘+sj+’,’+sk+’}’);

for r:=1 to n do begin

for s:=1 to n do if r<>j then begin

If s<>k then write(fout,m[r,s]:4:0); writeln(fout); end;

end;

close(fout);

end; writeln; write(‘Finish AdjMatr’); readln;

END. {AdjMatr}

Інструкція користувачу до додатку InteractiveAdjMatr

Створення вхідних файлів. Додаток InteractiveAdjMatr починає роботу з відкриття у поточному каталозі вхідного текстового файлу AdjMatr.inp за замовчанням. Тому перед завантаженням додатку потрібно поперше створити файл AdjMatr.inp за допомогою будь–якого текстового редактора, наприклад, NotePad. Але більш зручними є програми WordPad і Word, які дозволяють збереження файлів як у форматі Текстовий документ, так і у форматі Текстовий документ для Windows.

Приклад змісту вхідного файла:

______________ початок ___________

5 В

_______________ кінець ____________

де 5 – розмір матриці, В – ім’я матриці (матриця В). Далі за рядками вказується елементи матриці через прогалини.

Робота з програмою. Після запуску додатку з’являється вікно форми Формування доповняльних мінорів, у якому зверху є вікно редагування (з попереднім текстом Вхідний файл і значенням за замовчанням AdjMatr.inp), в якому можна набирати ім’я нового вихідного файлу. Поруч є вікно редагування (з попереднім текстом Префікс вихідних файлів і значенням за замовчанням AdjMatr).

Після натискання на єдину кнопку Початок формуються вихідні файли, які мають імена, що складені з префіксу і послідовності символів виду “_j_k”. Наприклад якщо матриця з ім’ям “B” введена з файлу A.inp, має розміри 2 х 2 і префікс “P”, то послідовно формуються файли P_1_1, P_1_2, P_2_1, P_2_2, у яких містяться доповняльні мінори у вигляді відповідних матриць M11, M12 , M21, M22.

Результуючі файли додатку InteractiveAdjMatr мають таку ж організацію як і вхідні файли додатку InteractiveDet, що дозволяє безпосередньо підрахувати за допомогою додатку InteractiveDet визначники матриць, які містяться у сформованих файлах.

4. Лабораторна робота Gauss на тему „Наближене розв`язання СЛР методами виключення невідомих”

Завдання: Розв'язати наближено СЛР за методом Гауса. Знайти відповідний наближений розв'язок. Знайти міри обумовленості СЛР для трьох векторних норм (норми максимуму, квадратичної та інтегральної норми).

Хід виконання. Дня заданої СЛР:

1) Записати її у матричному виді. Знайти головну та розширену матриці СЛР.

2) Розв'язати наближено СЛР за допомогою метода Гауса. Нехай -відповідний наближений розв'язок і - відповідний вектор нев'язки.

3) Знайти за методом Гауса наближену обернену матрицю і розв'язок СЛР. Нехай — відповідний наближений розв'язок і відповідний вектор нев'язки.

4) Порівняти знайдені наближені розв'язки за допомогою відповідних векторів нев'язок

5) Знайти міри обумовленості головної матриці системи для різних векторних норм (норми максимуму, квадратичної та інтегральної норм).

6) Знайти розв'язок СЛР за допомогою стандартної або за допомогою власної програми. Порівняти цей розв'язок з попередніми розв'язками.

7) Оформити звіт та захистити лабораторну роботу.

Теоретичні питання

1. Метод Гауса розв’язання СЛР. Головний та ведучий елементи у методах Гауса.

2. Нев'язка наближеного розв'язку та її використання.

3. Знаходження оберненої матриці за методом Гауса або Жордана-Гауса.

4. Знаходження рангу матриці за методом Гауса.

5. Норма вектора, та її властивості. Приклади векторних норм (норма максимуму, квадратичної та інтегральної норми).

6. Норма матриці та її властивості. Підлегла норма матриці. Приклади підлеглих норм матриць (для норми максимуму, квадратичної та інтегральної норм).

7. Погана обумовленість квадратних матриць і СЛР.

Приклад виконання роботи Gauss

Лабораторна робота Gauss на тему „Наближене розв`язання СЛР методами виключення невідомих”

Варіант 33. Виконав студент групи БІТ1-05, Усіков Микита Юрійович. Дата виконання: 15.10.2006.

Завдання. Розв’язати систему лінійних рівнянь

(1.4.9)

за методом Гауса. Знайти наближену обернену матрицю до головної матриці системи за методом Гауса і за допомогою цієї матриці знайти відповідний наближений розв'язок. Порівняти одержані наближені розв’язки за допомогою відповідних векторів нев'язок та знайти міри обумовленості системи для трьох векторних норм (норми максимуму, квадратичної та інтегральної норми).

Виконання роботи.

1. Знаходження розширеної матриці системи. Додаючи до головної матриці системи (1.4.9)

(1.4.10)

вектор-стовпець з правих частин, одержуємо розширену матрицю системи (1.4.9):

(1.4.11)

2. Знаходження наближеного розв'язку системи за методом Гауса. Скористуємось програмою InteractiveGauss(див. далі відповідну інструкцію користувача), у якій реалізовано алгоритм Гауса з обранням головного елементу серед елементів поточного стовпця під головною діагоналлю. При цьому виберемо (число знаків після коми, які потрібно залишити при заокругленні). Відповідний вхідний файл Gauss.inp буде мати вигляд:

------------------ початок ------------------

------------------- кінець ----------

2а. Прямій хід. Початкова матриця (1.4.11).

Цикл 1. Крок 1: Пошук головного елемента у стовпці 1. (Це ).

Цикл 1. Крок 2: Переставлення 4 і 1 рядків.

.

Цикл 1. Крок 3: Ділення рядка 1 на число .

.

Цикл 1. Крок 4:Створення нулів у стовпці 1 під :

.

Цикл 2.Крок 1: Пошук головного елемента у стовпці 2 (під включно). Це

Цикл 2. Крок 2: Переставлення рядків 2 і 2. Поточна матриця не змінюється.

Цикл 2. Крок 3: Ділення рядка 2 на число

.

Цикл 2. Крок 4: Створення нулів у стовпці 2 під

.

Цикл 3. Крок 1: Пошук головного елемента у стовпці 3 (під включно). Це .

Цикл 3. Крок 2: Переставлення рядків 3 і 4.

.

Цикл 3. Крок 3: Ділення рядка 3 на число .

Цикл 3.Крок 4: Створення нулів у стовпці 3 під

Цикл 4. Крок 1: Пошук головного елемента у стовпці 4 (під включно). Це

Цикл 4. Крок 2: Переставляння рядків 4 і 4. Поточна матриця не змінюється.

Цикл 4. Крок 3: Ділення рядка 4 на число

Головна матриця системи зведена до верхньої трикутної матриці. Прямий хід завершено.

2б. Обернений хід. Крок 1: Створення нулів у стовпці 4 над

.

Крок 2: Створення нулів у стовпці 3 над

.

Крок 3: Створення нулів у стовпці 2 над

.

Отже, головна матриця системи зведена до одиничної матриці. Обернений хід закінчено.

При цьому, останній стовпець останьої матриці містить вектор наближеного розв’язку за методом Гауса. Тому

2в. Обчислення компонент вектора нев’язки.

;

;

;

/

Отже, для вектор нев’язки дорівнює .

3a. Знаходження наближеної оберненої матриці за методом Гауса.

Скористаємось програмою InteractiveGauss (див. далі відповідну інструкцію користувача). При знаходженні наближеної оберненої матриці за методом Гауса розширену матрицю (1.4.11) замінюємо на розширену матрицю

(1.4.12)

Далі, повністю повторюючи всі кроки, які робилися з матрицею у пункті 2, одержуємо матрицю

.

Тому наближена обернена матриця, яку ми знаходимо за методом Гауса, дорівнює:

(1.4.13)

3b. Знаходження компонент наближеного розв’язку .

,

,

,

.

Тобто, .

3c. Знаходження компонент вектору нев’язки

,

,

,

Отже,

4. Порiвняння знайдених наближених розв’язкiв. Скориставшись програмою NORMVEC знаходимо норми вiдповідних векторiв:

1). Для норми максимуму:

,

.

2). Для квадратичної норми:

,

3). Для iнтегральної норми або норми суми:

,

.

Звідси, для будь-якої норми Тобто, вектор нев’язки найменший при находженні розв’язку за методом Гауса.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти