ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.

4.Операцію додавання на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 5 – 6.

Означення:додаванням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!),яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZo2 ставить у відповідність ціле невід’ємне число (а+в)єZo, таке, що виконуються аксіоми 5 і 6.

Аксіома 5:для будь–якого цілого невід’ємного числа справедлива рівність а+0=а (символічно ці аксіома запишеться так: ("аєZo)(а+0=а). Вона визначає операцію додавання з нулем).

Аксіома 6:("а,вєZo)(а+в'=(а+в)').

Інколи можна зустріти і таке формулювання аксіом:

Аксіома 5: при додаванні нуля до будь-якого цілого невід’ємного числа отримуємо те саме ціле невід’ємне число (символічно ця аксіома запишеться так: (єZo)[а+0=х]).

Аксіома 6: при додаванні до а будь-якого цілого невід’ємного числа, яке безпосередньо слідує за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число, яке безпосередньо йде за числом а+в (символічно ця аксіома запишеться так: (,вєZo)[а+в'=(а+в)']. Саме така рівність обумовлена тим, щов'=в+1, а тоді а+в'=а+(в+1)=(а+в)+1=(а+в)').

Ввівши аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел, ми нічого не знаємо про її існування та єдиність. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 1:(про існування та єдиність операції додавання):операція додавання в множині Zo цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f : Zo2®Zo, яке кожній парі (а,в)єZo ставить у відповідність єдине ціле невід’ємне число (а+в)єZo .

Доведення:

Оскільки в теоремі йдеться про існування та єдиність, то доведення складається з двох частин. У першій частині методом від супротивного доведемо, що операція додавання, якщо вона існує, єдина. Після цього з використанням методу математичної індукції доводиться існування такої операції. Припустимо, що існує принаймні дві операції додавання, які позначимо + і , причому для них виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а, а+в'=(а+в)'; а 0=а, а в'=(а в)'.

Розглянемо множину М, яка є підмножиною множини Zo. Нехай у цій множині М ці дві операції додавання єдині, Покажемо, що множина М співпадає з множиною Zo. Відповідно до методу математичної індукції потрібно перевірити виконання умов аксіоми 4. Оскільки а+о=а і а 0=а, то а+0=а 0, тобто для нуля обидві операції однакові (єдині) і 0єМ. Припустимо, що ці операції єдині для будь-якого цілого невід’ємного числа вєМ, тобто в+0=в 0. Спробуємо довести, що в'єМ, тобто а+в'=а в' – умова аксіоми 6. Виконання цієї умови означатиме, що обидві операції додавання для в'єZo однакові, а тому в'єМ, а тоді за аксіомою 4 множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Zo, тобто в множині Zo операції додавання + і виявились однаковими. Оскільки згідно припущення маємо: а+в=а в, то за аксіомою 6 а+в'=(а+в)'=(а в)'=а в'. Таким чином, і для в' операції + і однакові, тобто в'єZo. За аксіомою 4 можна твердити, що множина М співпадає з множиною Zo. Саме тому наше припущення про неєдиність операцій додавання було хибним. Отже, якщо операція додавання існує, то вона єдина.

У другій частині доведемо, що операція додавання в множині Zo існує. Для цього знову використаємо метод математичної індукції (в подальшому для скорочення пояснень будемо використовувати абревіатуру ММІ). Утворимо множину МєZo, в якій операція додавання існує і виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а; а+в'=(а+в)'. Спочатку застосуємо ММІ для в=0. Якщо а=0, то 0+0=0 (за аксіомою 5). 0+0'=(0+0)'=0'. Оскільки для а=0 аксіоми 5 і 6 виконуються, то 0єМ. Тепер застосуємо ММІ для довільного вєZo, тобто доведемо, що існує операція а+в, так , що виконуються аксіоми 5 і 6. Для цього припустимо, що 0+в=в, тоді 0+в'=(0+в)'=в' (за аксіомою 6). Таким чином, для 0 і довільного в операція додавання існує. Припустимо, що операція додавання виконується для довільного аєМ, тобто справджуються аксіоми 5 і 6. а+0=а, а+в'=(а+в)'. Спробуємо довести, що до множини М входить елемент а'. Для цього виберемо, що а'+в=(а+в)'. Перевіримо, чи виконуються аксіоми 5 і 6. а'+0=(а+0)'=а'; а'+в'=(а'+в)'=(згідно аксіоми 6)=((а+в)')'=(а+в')'. Отже, аксіома 6 для а' виконується, тому а'єМ. Оскільки вимоги аксіоми 4 виконані, то М=Zo і операція додавання існує не тільки в множині М, а і в множині Zo. Теорему доведено повністю.

Теорема 2:операція додавання в множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,в,сєZo)((а+в)+с=а+(в+с)=а+в+с).

Теорема 3:операція додавання в множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,вєZo)(а+в=в+а).

Ми вже зазначали, що в математиці доведено рівносильність теоретико-множинної та аксіоматичної теорії цілих невід’ємних чисел, а тому справедливість теорем 2-3 приймемо без доведення, зазначивши, що теореми 2 і 3 також доводяться з використанням методу математичної індукції. Аксіоми 5 і 6 та теореми 1-3 повністю визначають операцію додавання на множині цілих невід’ємних чисел, але для її виконання потрібно скласти відповідні таблиці додавання. Вони, якщо їх знати напам’ять, дадуть можливість швидко виконувати обчислення. В курсі математики початкових класів існують вісім таблиць додавання: таблиця додавання числа 2, таблиця додавання числа 3, таблиця додавання числа 4, таблиця додавання числа 5, таблиця додавання числа 6, таблиця додавання числа 7, таблиця додавання числа 8, таблиця додавання числа 9. Побудова таблиць додавання ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 4: для будь-якого цілого невід’ємного числа х справедлива рівність х+1=х′ (символічно: ("хєZo)(х+1=х′)).

Доведення:

Оскільки 1=0′, то х+1=х+0′. За аксіомою 6 маємо х+0′=(х+0)′. За аксіомою 5 маємо: х+0=х. Отже, х+1=х+0′=(х+0)′=х′, що і треба було довести.

Як відомо, виконання операції додавання ґрунтується на таблицях додавання. Їх будують, ґрунтуючись на аксіомах 5 і 6. Побудову таблиць додавання покажемо на кількох прикладах. Наприклад: 0+0=0 - за аксіомою 5; 0+1=0+0'(за аксіомою 6)=(0+0)'=0'=1; 2+2=2+1′=(2+1)′=3′=4; 3+2=3+1′=(3+1)′=4′=5; 5+2=5+1'=(5+1)'=6'=7.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти