ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Порівняння відрізків, дії над відрізками. Натуральне число як результат вимірювання величини. Натуральне число як міра величини. Натуральне число як міра відрізка.

2. Ми розглянули кількісну (теоретико-множинну) і аксіоматичну (порядкову) теорії цілих невід’ємних чисел. У практичній діяльності людини ці числа використовуються для лічби. Кількісна теорія дає можливість з’ясувати, скільки є елементів в деякій скінченій множині, а порядкова теорія дозволяє встановити в множині певний порядок і з’ясувати, яким по порядку розміщується той чи інший елемент. Виявляється, що у практичній діяльності людини доводиться, чи не частіше, виконувати операцію вимірювання величин (довжина, маса, площа, об’єм тощо). Для цього теж доводиться користуватися цілими невід’ємними числами. З цією метою в математиці відповідно до практичних потреб людини довелося побудувати ще одну теорію цілих невід’ємних чисел. У цій теорії ціле невід’ємне число розглядається як результат вимірювання величини. Розкриємо сутність цієї теорії на прикладі натурального числа як результату вимірювання довжини відрізків.

Якщо є два відрізка a і b, то порівняти їх можна двома способами: 1) безпосередньо, накладанням; 2) опосередковано, за допомогою третього відрізка. У другому випадку досить часто використовують так званий одиничний відрізок (позначають е). Сутність процесу вимірювання за допомогою одиничного відрізка полягає в тому, що ми послідовно відкладаємо його на заданому відрізку. При цьому можливі два випадки:

1) після деякого відкладання кінець одиничного відрізка співпав з кінцем заданого відрізка. В цьому випадку процес вимірювання закінчується і довжина відрізка виражається натуральним числом, яке показує, скільки разів одиничний відрізок вміщається в даному відрізку. Це число і називають мірою заданого відрізка при заданому одиничному відрізку е.Символічно це позначають так: me(a). Цей запис читають так: міра відрізка а при одиничному відрізку е або m від a при одиничному відрізку е. Так символічний запис me(a)=k означає, що одиничний відрізок е вмістився у даному відрізку k разів;

2) після деякого відкладання одиничного відрізка на заданому відрізку залишиться відрізок, менший, ніж одиничний. У цьому випадку результат вимірювання в загальному випадку не буде виражатися натуральним числом і процес вимірювання не буде закінчуватися. Результатом порівняння довжин двох відрізків може бути один із трьох випадків: 1) а=b; 2) а>b; 3) а<b. Вказані випадки можна проілюструвати на наступних малюнках №№ 3-5.

а

А

О В

в

Малюнок № 3: відрізки ОА=а і ОВ=b рівні.

 

а А

О В

в

 

Малюнок № 4: відрізок ОА=а більший за відрізок ОВ=b (а>b).

 

а А

О В

в

 

Малюнок № 5: відрізок ОА=а менший за відрізок ОВ=b (а<b).

 

Таким чином, на множині відрізків ми задали відношення рівності відрізків, яке має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності, тобто є відношенням типу еквівалентності, та відношення “менше” (“більше”), яке є відношенням строгого порядку. Як відомо із шкільного курсу математики, над відрізками можна виконувати операції: а) додавання та віднімання відрізків; б) множення та ділення відрізка на натуральне число. Визначимо ці операції над відрізками.

Означення: відрізок а є сумою відрізків а1, а2, а3, ..., аn, якщо вони лежать на одному й тому ж самому промені, не мають жодної спільної внутрішньої точки та кінець кожного попереднього відрізка є початком наступного.

Операція додавання відрізків підкоряється комутативному (переставному) та асоціативному (сполучному) законам. Щоб побудувати відрізок, який є сумою відрізків а1, а2, а3, ..., аn потрібно на довільній прямій від довільної точки послідовно відкласти один за одним задані відрізки, а тоді відрізок, який знаходиться між обраною точкою та кінцем останнього із відкладених відрізків, і буде сумою відрізків а1, а2, а3, ..., аn. Проілюструємо це за допомогою наступного малюнка № 6.

 

а1 а2 а3 …. аn

а123+...+аn

 

Малюнок № 6: сума відрізків а1, а2, а3, ..., аn.

Операцію віднімання відрізків визначимо з допомогою наступного означення.

Означення: різницею двох заданих відрізків а та b називають такий третій відрізок с=а-b, який в сумі з відрізком b дає нам відрізок а, тобто (а-b)+b=а.

Щоб побудувати різницю двох відрізків, потрібно на довільній прямій від довільної точки відкласти відрізок а і від одного із його кінців відкласти відрізок b. Тоді різницею а-b двох відрізків а і b буде відрізок, що залишиться. Проілюструємо це з допомогою наступного малюнка № 7.

а

b а-b

Малюнок № 7: різниця а-b відрізків.

 

Операції множення та ділення відрізка на натуральне число визначимо з допомогою наступних означень.

Означення: добутком даного відрізка а на натуральне число n називається сума n-відрізків, кожен із яких дорівнює а.

Означення: діленням даного відрізка а на натуральне число n називається відшукання 1/n частини відрізка а.

Щоб побудувати відрізок, який дорівнює добутку даного відрізка на натуральне число n потрібно на довільній прямій від вибраної точки послідовно відкласти заданий відрізок n разів. Щоб поділити заданий відрізок на n рівних частин, тобто знайти 1/n цього відрізка, слід через один із кінців відрізка а провести промінь під довільним кутом. На промені відкласти довільним розхилом циркуля n однакових відрізків і сполучити кінець n-го відрізка з іншим кінцем даного відрізка і через точки поділу провести паралельні прямі. Графічну сутність цих операцій проілюструємо на наступних малюнках №№ 8 і 9.

а а а а

а×n

Малюнок № 8: добуток відрізка а на натуральне число n.

 

а:n

 

Малюнок № 9: ділення даного відрізка а на натуральне число n ( відрізка а).

 

Задача вимірювання довжини даного відрізка а зводиться до вибору деякого одиничного відрізка е з наступним порівнянням даного відрізка а з одиничним відрізком е. Вимірюючи довжину даного відрізка за допомогою даного одиничного відрізка е, ми відкладаємо одиничний відрізок е на заданому відрізку а, підраховуємо, скільки разів відрізок е вмістився в заданому відрізку а. Якщо одиниця вимірювання е вкладається ціле число разів у заданому відрізку а, то процес вимірювання закінчено і результат вимірювання записують так: а=е+е+е+...+е=n·е або me(a)=n. В цьому випадку говорять, що натуральне число n є числовим значенням відрізка а при одиниці довжини е. Отже, можна прийняти таке означення.

Означення: якщо відрізок а можна розбити на n відрізків, кожен з яких дорівнює одиничному відрізку е, то число n називають мірою відрізка а чи значенням довжини відрізка а і пишуть n=mе(а).

Виберемо одиничний відрізок е та розглянемо множину всіх таких відрізків, у яких одиничний відрізок вміщується ціле число разів. Розіб’ємо цю множину відрізків на класи, спільною властивістю яких буде: мати однакову міру. Тоді кожне натуральне число буде мірою якогось класу відрізків. Враховуючи сказане, приймемо наступне означення.

Означення: Натуральним числом як результатом вимірювання величини називається числове значення міри величини а при вибраній одиничній мірі е.

Означення: натуральне число n як міра відрізка а показує, із скількох одиничних відрізків е складається відрізок а.

Можна строго математично довести, що для кожного натурального числа існує відрізок, для якого це число є його мірою. Обернене твердження буде хибним. Можна довести, що при вибраній одиниці вимірювання е для будь-якого відрізка а його міра, тобто натуральне число n=mе(а), яке є його мірою, існує і єдине. Зазначимо, якщо за одиничний вибрати інший відрізок, то числове значення довжини відрізка зміниться, наприклад: якщо для даного відрізка довжиною 10 см одиничним вибрати 1 мм, то його мірою буде натуральне число 100; якщо 1 см, то – число 10; якщо 1 дм, то - число 1.

Розглянемо, який же зміст мають відношення “дорівнює”, “менше”, “більше” для натуральних чисел, які є результатом вимірювання довжини відрізка. Нехай нам задано два відрізка а і b. Виберемо одиничний відрізок е і нехай а=n×е (або me(a)=n) і b=k×e (me(b)=k). Для натуральних чисел, які розглядаються як міра довжини, можна задати відношення рівності та “менше” (“більше”). Якщо відрізки а і b рівні, то рівні і їх числові значення довжини, тобто [а=b]Þ[mе(а)=mе(b)Ûn=k]. Якщо відрізок а більший за відрізок b, то і його числове значення довжини mе(а) більше за числове значення mе(b), тобто [а>b]Þ[me(a)>me(b)Ûn>k]. Аналогічно, якщо [а<b]Þ[ me(a)<me(b)Ûn<k]. Легко переконатися, що відношення “дорівнює” на множині відрізків має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності, тобто є відношенням типу еквівалентності, а відношення “менше” є відношенням строгого порядку. Такий взаємозв’язок між відрізками і числовими значеннями їхніх довжин дозволяє зводити порівняння відрізків до порівняння їхніх відповідних числових значень довжини, тобто до порівняння натуральних чисел, і навпаки. Натуральне число можна розглядати теж як результат вимірювання маси, площі, об’єму, вартості, часу тощо.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти