ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


МОДУЛЬ ІУ. «СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ. ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ.».

Змістовний модуль 4.2. «Подільність цілих невід’ємних чисел.».

ПЛАН.

1. Поняття «відношення подільності» та його властивості.

2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

3. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.

4. Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.

5. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.

6. Дільники і кратні. Спільні дільники і спільні кратні. Найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК), їх властивості.

7. Обчислення НСД і НСК способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.

8. Загальна ознака подільності Б.Паскаля. Ознаки подільності на складені числа.

 

Література:[1] – с. 141-155; [2] – с. 162-192; [3] – с. 271-289.

 

Поняття «відношення подільності» та його властивості.

1.Розглядаючи теоретико-множинну теорію цілих невід’ємних чисел, ми ввели означення відношення “ділитися націло”, розглянули його властивості. Як відомо, поділити ціле невід’ємне число а на натуральне число b це означає знайти таке ціле невід’ємне число с, що виконується рівність а=сb.

Означення: якщо для ає і існує таке сÎ , що виконується рівність а=сb, то говорять, що числа а і b знаходяться у відношенні подільності.

Означення: натуральне число а ділиться націло на натуральне число b, якщо існує додатній цілий корінь рівняння b×х=а.

Означення: натуральне число а не ділиться націло на натуральне число b, якщо не існує натурального кореня рівняння b×х=а.

Для позначення відношення подільності використовується такий символічний запис a b, який можна читати так: числа а і b знаходяться у відношення подільності, або а кратне b, або а ділиться націло на b, або b є дільником числа а. Відношення “ділитися націло” на множині цілих невід’ємних чисел є відношенням нестрогого порядку, бо володіє властивостями рефлексивності, антисиметричності та транзитивності. На основі цього відношення доводиться ряд теорем.

 

Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

2. Розглянемо деякі теореми, що дозволять давати відповідь на запитання про подільність найпростіших виразів на число.

Теорема 1: якщо кожен доданок суми цілих невід’ємних чисел ділиться на деяке натуральне число, то і сума цих чисел поділиться на це натуральне число.

Доведення : доведення проведемо для випадку двох доданків. Розглянемо цілі невід’ємні числа , bÎ , сÎN, a+bÎ . Нехай за умовою теореми , . Спробуємо довести, що (a+b) c. За означенням відношення подільності, якщо , , то існують такі к,mєN, що справедливі рівності а=с·к і в=с·m. Тоді а+в=ск+сm=с(к+m) (за дистрибутивним законом). Отже, a+b=c(k+m). Оскільки k, mÎ , то (k+m)Î . Таким чином, a+b=c(k+m). Тоді (a+b) c. Теорема доведена.

Доведену теорему можна поширити на будь-яке скінченне число доданків. Виявляється, що доведена теорема є лише достатньою ознакою подільності суми на число. Сформулюємо необхідну і достатню ознаку подільності суми на число, яку приймемо без доведення. Ознака: якщо один із кількох доданків суми цілих невід’ємних чисел ділиться на дане число, то для того, щоб сума ділилась на це число, необхідно і достатньо, щоб і кожен із решти доданків ділився на це число.

Теорема 2: якщо зменшуване і від’ємник різниці двох цілих невід’ємних чисел діляться на дане натуральне число, то і різниця поділиться на це натуральне число. – доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно, використовуючи доведення попередньої теореми!

Теорема 3: Добуток цілих невід’ємних чисел ділиться на натуральне число тоді, коли на дане число ділиться хоча б один із співмножників.

Доведення: для спрощення викладок доведення теореми проведемо для випадку двох співмножників. Нехай дано добуток цілих невід’ємних чисел ab. Виберемо для визначеності, що . Доведемо, що тоді c. Оскільки , то за означенням відношення подільності маємо а=ск, де кє . Отже, ав=(ск)в=с(кв). Оскільки то , тому (ab) c. Теорему доведено.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти