ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Основні геометричні побудови циркулем і лінійкою.

2. У чому суть задачі на побудову геометричних фігур на площині? – за даними елементами геометричної фігури слід знайти інші, шукані елементи, які перебувають один до одного і до даних елементів у певних співвідношеннях і які можна побудувати за допомогою певних креслярських інструментів. Коли з’явилися задачі на побудову? – ще у давні часи, зокрема у стародавній Греції у 6-5ст. до н.е. (Піфагор, Гіппократ, Платон, Евклід та ін.).

Коли задачі на побудову циркулем і лінійкою вважаються розв’язаними? – коли вони зведені до виконання скінченого числа елементарних операцій, виконуваних циркулем і лінійкою. Які ж операції називаються елементарними? – це найпростіші побудови, до яких відносять побудову променя, відрізка, прямої, кола, дуги кола; точки перетину прямих, кола і прямої, двох неконцентричних кіл; побудова точки, яка належить або не належить даній фігурі.

Як практично розв’язують задачі на побудову? – шляхом зведення до певного числа деяких відомих задач на побудову, які називаються основними задачами на побудову циркулем і лінійкою. Які ж задачі вважаються основними задачами на побудову циркулем і лінійкою? – 1) побудова відрізка і кута, що дорівнює даному; 2) поділ даного кута або відрізка навпіл; 3) поділ даного відрізка на кілька рівних частин; 4) побудова прямої, перпендикулярної до даної прямої; 5) побудова прямої, паралельної даній прямій; 6) побудова трикутника: за трьома сторонами; за двома сторонами і кутом між ними; за стороною і прилеглими до неї двома кутами; 7) побудова прямокутного трикутника: за гіпотенузою і катетом; за гіпотенузою і гострим кутом; за двома катетами; 8) побудова кола, вписаного або описаного навколо чотирикутника; 9) побудова дотичних до даного кола, які проведені з даної точки; 10) побудова спільної дотичні до двох даних кіл.

Чи всяку задачу на побудову можна розв’язати циркулем і лінійкою? – ні, задача на побудову фігури, яка визначається її n точками, буде визначеною, якщо в умові маємо 2n-3 даних. Так, наприклад, для трикутника потрібно мати 2•3-3=3, тобто слід мати 3 елемента; для чотирикутника 2•4-3=5 елементів; для п’ятикутника 2•5-3=7 елементів. Яка ж схема розв’язування задач на побудову? – вона складається з таких структурних елементів:

1) етап аналізу, під час якого на основі відомих теорем і властивостей встановлюються залежності між даними і шуканими елементами фігури з метою відшукання способу розв’язання задачі. Для цього припускають, що задача розв’язана і на виконаному від руки малюнку, встановлюють взаємні зв’язки між даними і шуканими елементами, з’ясовують послідовність побудов, які приводять до розв’язання задачі;

2) етап побудови, полягає у наступному переліку і виконанні найпростіших і основних побудов, зазначених в аналізі;

3) етап доведення, який полягає у встановленні того факту, що побудована фігура задовольняє всі умови задачі;

4) етап дослідження, сутність якого полягає у з’ясуванні питання про те, чи при будь-якому виборі даних задача має розв’язок та встановленні кількості різних розв’язків задачі.

Як же виконати основні побудови? – для цього пропонуємо студентам виконати завдання для самостійної роботи або вивчити відповідні побудови з шкільного підручника геометрії. Разом з тим, наведемо приклади деяких побудов:

Побудова кута, що дорівнює даному (див. малюнок № 7).

 

       
   
 
 


А М

 

В О

 

С К

 

Малюнок № 7.

 

Нехай нам слід побудувати кут, що дорівнює куту АВС. Якщо не вказаного вершину кута, який необхідно побудувати, то проводимо довільний промінь і на ньому позначаємо точку О. Довільним розхилом циркуля з центром в точці В проводимо дугу, яка перетинає сторони кута АВС. Цим же розхилом циркуля проводимо дугу з центром в точці О. Нехай промінь перетинається з цією дугою в точці К. Вимірюємо циркулем розхил АС і з центром в точці К проводимо дугу до перетину в точці М з іншою дугою. Проводимо промінь ОМ. Отримали МОК= АВС.

Поділ відрізка пополам.

Нехай нам задано відрізок АВ, який потрібно поділити на дві рівні частини. Розхилом циркуля, більшим за половину відрізка АВ, проводимо дві дуги з центрами в кінцях відрізка. Нехай вони перетнулися в точках С і Д. Через ці точки проводимо пряму, яка перетне заданий відрізок АВ у точці О, яка і буде серединою заданого відрізка (див. мал. № 8).

 

 
 

 


С

 

 

А О В

 

Д

 

 

Малюнок № 8.

 

Поділ кута пополам.

Нехай задано кут АВС, який необхідно поділити навпіл. Проводимо довільним розхилом циркуля дугу кола з центром в точці В, яка перетинає сторони кута в точках А і С. Проводимо розхилом циркуля, більшим за половину дуги АС, дві дуги з центрами в точках А і С. Нехай точка їх перетину буде Д. Проводимо промінь ВД, який поділяє кут АВС навпіл (див. мал. № 9).

 
 


А

Д

 

В

С

Малюнок № 9.

 

Побудова прямої, яка проходить через дану на ній точку, перпендикулярно до даної прямої.

Нехай нам задано деяку пряму АВ, на якій позначено точку С. Потрібно побудувати пряму, яка б проходила через точку С, перпендикулярно до прямої АВ. Довільним розхилом циркуля з центром в точці С робимо дві засічки. Одержали відрізок, кий необхідно поділити пополам. Побудувавши пряму КС, ми отримаємо пряму, яка проходить через точку С перпендикулярно до прямої АВ (див. мал. № 10).

К

 

 

А С В

 

 

Малюнок № 10.

 

Побудова трикутника за трьома сторонами.

Нехай нам задано три відрізка a, b, c і необхідно побудувати трикутник, сторони якого б дорівнювали цим відрізкам. На довільній прямій МК відкладаємо відрізок, що дорівнює відрізку а. Нехай його кінцями будуть точки В і С. З центром в точці В розхилом циркуля, що дорівнює відрізку c, проводимо дугу. З центром в точці С розхилом циркуля, що дорівнює відрізку b, проводимо дугу. Нехай проведені дуги перетинаються в точці А. Проводимо відрізки АВ і АС. Тоді трикутник АВС буде шуканим (див. мал. № 11). Зазначимо, що задача може не мати розв’язку, якщо сума відрізків двох відрізків менша, за третій відрізок.

а А

     
 
 
 

 


b

c

 

В С

 

Малюнок № 11.

 

3. Основні методи геометричних побудов (метод ГМТ, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії, алгебраїчний метод).

3. Разом з тим зазначимо, що в математиці існують наступні основні методи геометричних побудов:

Метод геометричних місць точок.

Для розуміння його сутності спочатку розглянемо основні поняття, що відносяться до нього. Як відомо, геометричним місцем точок (у подальшому ГМТ) називається фігура, яка складається з усіх точок площини, які мають одну і ту саму певну властивість, і тільки з таких саме точок. З шкільного курсу геометрії Вам повинні бути відомими такі ГМТ площини: а) коло (0;r) – це ГМТ площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини, яка називається центром кола; б) круг (0;r) – це ГМТ площини, які знаходяться на відстані не більшій за вказану від однієї точки площини, що називається центром круга; в) серединний перпендикуляр до відрізка – це ГМТ площини, рівновіддалених від кінців цього відрізка; г) ГМТ площини, рівновіддалених від двох даних у цій площині паралельних прямих, - це пряма, яка є їх віссю симетрії; д) ГМТ площини, рівновіддалених від сторін кута – це бісектриса кута; е) ГМТП, рівновіддалених від двох даних у цій площині прямих, що перетинаються, - це дві взаємно перпендикулярні прямі, які є бісектрисами кутів, утворених даними прямими; є) ГМТП, з яких даний відрізок видно у цій площині під прямим кутом, - це коло, що має цей відрізок своїм діаметром тощо. У чому суть розв’язання задачі МГМТ? - відкидаючи одну з умов задачі, будують ГМТ, яке задовольняє другу умову. Потім відкидають другу умову і будують ГМТП, яке задовольняє першу умову. Нарешті, шукають перетин першого та другого ГМТ, що і буде розв’язком задачі.

Метод симетрії відносно прямої.

Означення: дві точки М і М′ називаються симетричними відносно прямої р, якщо р перпендикулярна ММ′ і проходить через його середину. Кожна точка прямої р симетрична сама собі.

Означення: Симетрією площини відносно прямої р називається перетворення площини, при якому будь-яка точка площини відображається на точку симетричну їй відносно прямої р.

Осьову симетрію з віссю р позначають S(р), а запис р(М)=М′ читають так: образом точки М при осьовій симетрії з віссю р є точка М′. Осьова симетрія задається або віссю симетрії, або однією парою відповідних точок, або двома різними подвійними точками. При осьовій симетрії образом прямої є пряма; образом паралельних прямих є паралельні прямі; образом відрізка є рівний йому відрізок; образом променя - промінь; образом кута – рівний йому кут; образом півплощини – півплощина. Крім того, всі симетричні фігури рівні між собою, але мають протилежну орієнтацію.

Суть розв’язування задач на побудову методом осьової симетрії полягає в тому, що разом з шуканими фігурами розглядаються фігури, симетричні деяким з них або їхнім частинам відносно довільно вибраної осі. При вдалому виборі фігури і осі, розв’язання задачі може значно полегшитися, бо виникає або нова більш проста задача, розв’язання якої відоме, або виконана симетрія дає безпосередньо шуканий розв’язок. До яких задач застосовують цей метод розв’язування? - з визначення положення фігур, для встановлення форми фігури, для відшукання найбільших і найменших значень величин тощо.

Метод повороту площини навколо точки.

Означення: поворотом площини навколо даної точки на орієнтований кут α називається таке перетворення, при якому кожній точці А відповідає така точка А′ цієї ж площини так, що: 1) АО=ОА′; 2) кут АОА′=α і однаково з ним орієнтований. Точку О називають центром повороту, а кут α – кутом повороту.

Для позначення повороту використовують символ RªО, а тому символічні записи А′=RªО(A) і А′B′=RªО(AВ) читають відповідно так: образом точки А у перетворенні повороту навколо точки О на кут α є точка А′; образом відрізка АВ у перетворенні повороту навколо точки О на кут α є відрізок А′В′. Поворот вважається повністю визначеним, коли відомо т. О і кут α, або коли відомо точки О, А і А′, або коли відомо дві пари відповідних точок. Кут α може набувати додатних значень (коли поворот здійснюється проти руху годинникової стрілки) і від’ємних (коли поворот здійснюється за рухом годинникової стрілки) в межах 0º≤α≤360º.

Які ж є властивості повороту? - незмінною точкою повороту є т. О; образом будь–якої прямої є пряма; образом відрізка є рівний йому відрізок; відповідні фігури при повороті рівні між собою і мають однакову орієнтацію; образом променя при повороті є промінь; образом кута – рівний йому кут; образом півплощини – півплощина; образом паралельних прямих – паралельні прямі.

Коли застосовують метод повороту до розв’язання задач на побудову? - коли у фігурі відомо кут з вершиною і є хоча б два рівні відрізки, зокрема: при побудові правильних і рівнобедрених трикутників, квадратів і правильних многогранників. Суть цього методу полягає в тому, що повертають дану чи шукану фігуру, або її елементи на деякий доцільно вибраний кут навколо вибраного центра і зводять розв’язання даної задачі до побудови допоміжної простішої фігури, а потім виконують обернений поворот і дістають шукану фігуру. Центр і кут повороту обирають так, щоб рівні елементи сумістилися або утворили простішу фігуру. При розв’язанні деяких задач доцільно застосовувати кілька поворотів навколо різних центрів.

Метод симетрії відносно даної точки.

Означення: Симетрією відносно точки О називається поворот навколо неї на 180º. Точка О - центр симетрії.

Які ж властивості центральної симетрії? –незмінною точкою при ЦС є точка О; образом будь-якої прямої є паралельна пряма; незмінними прямими є всі прямі, що проходять через центр симетрії; образом відрізка є відрізок, який рівний і паралельний даному; всі центрально-симетричні фігури рівні між собою і не змінюють своєї орієнтації; при ЦС промінь відображається в промінь, кут - у рівний йому кут, півплощина – у півплощину, паралельні прямі - у паралельні прямі, крива у криву.

Суть методу ЦС полягає в тому, що поряд із даними і шуканими фігурами розглядають фігури, симетричні даним або шуканим, або їхнім елементам відносно довільно вибраного центра. Внаслідок цих перетворень встановлюються зв’язки між даними і шуканими елементами, що зводить задачу до відомої. Коли ж використовують метод ЦС? – коли серед даних або шуканих елементів є відрізок, середина якого відома; для побудови паралелограмів або інших фігур, що мають центр симетрії; до побудови фігур на основі зроблених припущень.

Метод паралельного перенесення.

Означення: паралельним перенесенням або перенесенням на вектор ā називається таке перетворення площини, при якому будь-яка точка А відображається на таку точку А', що ĀĀ'= ā.

Для того, щоб паралельне перенесення було повністю визначеним, слід задати або вектор ā, або одну пару відповідних точок. Властивостями ПП є наступні: образом будь–якої прямої є паралельна їй пряма; незмінними прямими є всі прямі паралельні ā; образом відрізка є відрізок рівний і паралельний йому; відповідні фігури рівні і мають однакову орієнтацію; при ПП промінь відображається в промінь, кут – у рівний йому кут, півплощина - у півплощину, паралельні прямі - у паралельні прямі.

Коли ж застосовують метод ПП? – коли слід об’єднати розрізані частини шуканої фігури; при розв’язанні задач на многокутники загального виду. Вибір частини фігури, яку треба перенести, і пари відповідних точок, що характеризують здійснюване перенесення, спирається на конкретну умову задачі і виділяє допоміжну фігуру, яку можна побудувати. Потім для знаходження шуканої фігури виконують паралельне перенесення. При розв’язанні задач методом ПП іноді доводиться виконувати кілька ПП.

Таким чином, суть методу ПП полягає в тому, що разом з даними та шуканими фігурами розглядаються їхні образи при доцільно вибраному ПП, яке може стосуватися або всієї фігури, або окремих її частин. Дана задача зводиться до допоміжної задачі, розв’язання якої відоме.

Метод гомотетії.

Означення: Гомотетією з центром О і коефіцієнтом k називається таке перетворення площини, при якому образом довільної точки А є така точка А', що ОА'=kОА. Точки А і А' називаються гомотетичними.

Гомотетія повністю визначається заданням центра О і коефіцієнта k та має наступні властивості: якщо k>0, то точки А і А' лежать на прямій ОА по один бік від т. О, а якщо k<0, то - по різні сторони від т. О; незмінними прямими при гомотетії є всі прямі, що проходять через центр; гомотетія зберігає колінеарність точок; пряма відображається на паралельну пряму; якщо гомотетія відображає точки А і В відповідно у точки А' і В', то А'В'=kАВ, тобто вона є перетворенням подібності; гомотетичні фігури подібні.

Як же використовувати цей метод при розв’язанні задач на побудову? – по-перше, відкидають одну із умов, яка характеризує розміри шуканої фігури і будують фігуру, подібну до шуканої; по-друге, побудована допоміжна фігура перетворюється на подібну до неї так, щоб після перетворення використовувалася і раніше відкинута умова.

Отже, суть методу гомотетії полягає в тому, що крім даних і шуканих фігур розглядають ще допоміжні фігури, утворені із цих фігур або їхніх елементів за допомогою доцільно вибраної подібності (гомотетії). Внаслідок подібних перетворень встановлюються зв’язки між даними і шуканими елементами, які приводять: а) до безпосереднього розв’язання задачі; б) до допоміжної відомої задачі.

Алгебраїчний метод.

Під алгебраїчним методом розуміють сукупність прийомів, щодо використання чисел, алгебраїчних дій, формул і рівнянь для розв’язання задачі на побудову. Умова задачі, залежність між даними і шуканими величинами виражається аналітично з допомогою формул і рівнянь. Схема розв’язання задачі на побудову цим методом має вигляд: 1) складання рівняння; 2) розв’язання рівняння; 3) дослідження добутих розв’язків (формул) на можливість побудови їх циркулем і лінійкою; 4) побудова шуканих відрізків і побудова шуканої фігури.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти