ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Поняття площі плоскої фігури, її основні властивості та способи вимірювання. Рівновеликі та рівноскладені фігури. Одиниці вимірювання площі та співвідношення між ними.

3. Перед тим, як визначити поняття площі введемо деякі нові терміни. Виберемо на площині ХОУ прямокутну декартову систему координат з одиничним відрізком е на осях ОХ і ОУ. Через штрихи на осях координат проведемо прямі, паралельні координатним осям. Координатна площина покриється квадратами із стороною е. В цьому випадку будемо говорити, що площина покрита сіткою квадратів нульового рангу (див. малюнок №16).

Поділивши одиничний відрізок е на 10 рівних частин, одержимо новий одиничний відрізок е1=0,1е. Проведемо через кінці нового одиничного відрізка е1 прямі, паралельні осям ОХ і ОУ. Вони розіб’ють координатну площину на квадрати зі стороною е1=0,1е. Ці квадрати будемо називати квадратами першого рангу. При потребі аналогічно можна одержати покриття координатної площини квадратами другого, третього, четвертого, ... n-го рангу. Сторони цих квадратів будуть відповідно дорівнювати: е2=0,1е1=0,01е; е3=0,1е2=0,01е1=0,001е; е4=0,1е3=0,01е2=0,001е1=0,0001е. Реально наочно таку сітку квадратів можна побачити на міліметровому папері.

Розглянемо на координатній площині множину М всіх фігур, які мають замкнений контур (такі фігури як кут розглядати не будемо). Серед множини точок будь-якої фігури будемо виділяти три групи: 1) внутрішні точки фігури; 2) точки контуру фігури; 3) зовнішні точки фігури.

У

                  Х                    
                                       
                                       
                                      Х
Х                                     У
                  О                  
                                       
                                       
                                       
                                       

 

Малюнок №16. Квадрати нульового рангу.

 

Означення: фігура F називається квадровною, якщо вона повністю покривається ступінчатою фігурою Ф, яка утворена з квадратів координатної сітки певного рангу, і якщо існує хоча б один, як завгодно малий квадрат покриття, який повністю складається з внутрішніх точок фігури F.

Якщо вимоги означення не будуть виконуватися, то, по-перше, фігура F не буде мати площі, по-друге, площа фігури F буде дорівнювати нулю.

Означення: ступінчату фігуру Ф, утворену з квадратів сітки і яка повністю покриває фігуру F, називають фігурою покриття Ф фігури F.

Всі квадрати фігури покриття Ф можна поділити на такі групи: 1) квадрати, утворені тільки внутрішніми і тільки точками контуру фігури F; 2) квадрати, які містять як внутрішні, так і зовнішні точки фігури F (фігури Ф і F представлені на малюнку № 17).

У наведених нами міркуваннях і означеннях застосовується термін “площа”, але його визначення відсутнє. Визначаючи поняття довжини, ми використовували її для характеристики лінійної протяжності. Поняття площі будемо використовувати для характеристики квадровності геометричних фігур. Так само, як і для довжини використаємо аксіоматичний підхід до введення поняття площі.

Означення: площею фігури називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує міру квадровності фігури та визначена для кожної фігури так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині М геометричних фігур існує нульовий квадрат k0 такий, що m(k0)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($k0єМ)(m(k0)=0)]).

2. У множині М існує одиничний квадрат k такий, що m(k)=1, яким можна виміряти площу будь-якої фігури (символічно ця аксіома запишеться так: ([($kєМ)(m(k)=1)]).

3. Рівні фігури мають рівні площі (символічно ця аксіома запишеться так: ([("F,GєM)((F=G)↔ (mk(F)=mk(G))]).

4. Якщо фігура F складається із скінченного числа фігур F1, F2, F3,...Fn, які не мають спільних внутрішніх точок, то площа фігури Fдорівнює сумі площ фігур F1,F2,F3,...Fn (символічно: [("F,F1,F2,F3,...,FnєM)((F=F1+F2+F3+...+Fn)↔ (mk(F)=mk(F1)+mk(F2)+mk(F3)+...+mk(Fn))]).

Ф У F

                Х                  
                                     
                                     
                                       
                                      У
                О                    
                                       
                                       
                                       
                                       

 

Малюнок № 17. Фігури Ф і F.

 

Для того, щоб виміряти площу фігур Ф і F, слід підрахувати число квадратів певного рангу. На практиці для цього використовують палетку, яка являє собою прозору плівку розбиту на одиничні квадрати. Поклавши палетку на геометричну фігуру, підраховуємо число квадратів та визначаємо площу. Так само, як і при безпосередньому вимірюванні довжини, процес підрахунку може бути або скінченним, або нескіченним. У першому випадку міра площі виражатиметься невід’ємним раціональним числом, а в другому – невід’ємним ірраціональним числом. Цілком зрозуміло, що щоразу визначати площу геометричної фігури безпосереднім підрахунком числа квадратів певного рангу дуже незручно, а тому в математиці для визначення площі певних геометричних фігур вивели формули для знаходження площі. Перед тим, як познайомитися з цими формулами, розглянемо кілька потрібних для їх виведення понять.

Означення: два многокутника називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі.

Зазначимо, що рівновеликі многокутники не завжди рівні, наприклад: маємо два прямокутники із сторонами 2 см і 6 см та 3 см і 4 см. Хоча площі обох многокутників дорівнюють 12 см2, але вони не рівні. Розглянемо питання про те, чи можна за допомогою перетворення многокутників встановити їхню рівновеликість. Виявляється, що це завдання розв’язується позитивно. Таким геометричним еквівалентом є поняття рівноскладеності геометричних фігур.

Означення: два многокутника називаються рівноскладеними, якщо їх можна розкласти на одне й те саме число попарно рівних многокутників.

З’ясуємо, які властивості має відношення рівноскладеності. Оскільки кожний многокутник рівноскладений сам з собою, то відношення рівноскладеності рефлексивне. Якщо многокутник М1 рівноскладений многокутнику М2, то і многокутник М2 рівноскладений з многокутником М1. Отже, відношення рівноскладеності має властивість симетричності. Якщо многокутник М1 рівноскладений з многокутником М2, а многокутник М2 рівноскладений з многокутником М3, то многокутники М1 і М3 – рівноскладені. Отже, відношення рівноскладеності транзитивне. Таким чином, відношення рівноскладеності на множині многокутників є відношенням типу еквівалентності, бо має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності. За допомогою цього відношення множина всіх многокутників розбивається на класи еквівалентності, до кожного із яких відносяться рівноскладені між собою многокутники. Виявляється, що між відношеннями рівновеликості та рівноскладеності многокутників існує зв’язок, який зафіксовано в наступних теоремах.

Теорема 1: будь-які два рівноскладені многокутники рівновеликі.

Доведення:

Розглянемо два рівноскладені многокутники М і К. Відповідно до означення вони розкладуться на однакове число попарно рівних частин: М=М123+...+Мn і К=К123+...+Кn. Знайдемо площі многокутників М і К. S(М)=S(М1)+S(М2)+S(М3)+...+S(Мn) і S(К)=S(К1)+S(К2)+S(К3)+...+S(Кn). Оскільки многокутники М1, М2, М3,...,Мn і К1, К2, К3,...,Кn попарно рівні, то S(М1), S(М2), S(М3),...,S(Мn) і S(К1), S(К2), S(К3),...,S(Кn) – попарно однакові, а тому S(М)=S(К). Теорему доведено.

Теорема 2: будь-які два рівновеликі многокутники рівноскладені.

Доведення цієї теореми опустимо, бо воно аналогічне до попередньої. Зазначимо, що обидві теореми можна об’єднати в одну: “Для того, щоб будь-які два многокутники були рівновеликими, необхідно і достатньо, щоб вони були рівноскладеними”. Доведені і сформульовані теореми нададуть можливість значно спростити обґрунтування формул для обчислення площ окремих видів многокутників.

Оскільки основною одиницею вимірювання довжини у системі “SI” є 1 м, то основною одиницею вимірювання площі є 1 кв. м або 1 м2. Похідними одиницями вимірювання площі є наступні одиниці: 1 кв. дм (дм2)=0,01 м2=100 см2; 1 кв. см (см2)=0,0001 м2=100 мм2; 1 кв. мм (мм2)=0,000001 м2; 1 квадратний декаметр або 1 ар (а)=100 м2=0,01 га; 1 квадратний гектометр або 1 гектар (га)=10000 м2; 1 кв. км (км2)=1000000 м2. Аналогічно можна ввести позначення старовинних мір площі та встановити їхні співвідношення із сучасними мірами площі.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти