ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Часть 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Лекция 2

Часть 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

 

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

Поступательное движение твердого тела

 

Простейшими из механических движений являются поступательное и вращательное движения, которые широко распространены в природе.

  Рис. 1

Поступательным называют движение тела, при котором прямая, соединяющая две произвольные его точки, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению.

При поступательном перемещении все точки тела движутся одинаково, в этом случае достаточно наблюдать за перемещением любой его точки (рис. 1). Кинематика рассматривает поступательное или вращательное движения, не устанавливая причин этого движения.

 

Система отсчёта

 

Из определения механического движения следует, что движение относительно: это фундаментальное свойство природы. Так как в природе нет неподвижных тел, то какое-либо тело в данной задаче условно считают неподвижным и движение других тел рассматривают относительно этого тела.

Тело, относительно которого рассматривается движение других тел, называют телом отсчёта.

Для определения положения тела в пространстве относительно тела отсчета необходима система координат, жестко связанная с ним. Например, декартова прямоугольная система координат. Положение тела в пространстве

Рис. 2

при механическом движении изменяется с течением времени, поэтому необходимо выбрать способ измерения времени (часы). Таким образом, тело отсчета, жестко связанная с ним система координат и часы образуют систему отсчета (рис. 2). С телом отсчёта совмещают начало системы координат. В качестве часов может выступать любой периодический процесс, например, суточное вращение Земли вокруг своей оси или вокруг Солнца. Для описания движения необходимо располагать эталонами, которые позволяли бы, с определённой точностью, измерять пространственные и временные промежутки.

Такие эталоны служат масштабом и часами.

При решении некоторых задач за систему отсчёта принимают Землю или связанные с ней тела: здания, деревья, машины, механизмы и т. д.

Многочисленными экспериментальными данными (геодезическими, астрономическими и т. д.), вплоть до масштабов, сравнимых с наблюдаемой частью Вселенной, установлено, что геометрия мирового пространства является Евклидовой.Начиная с расстояний, больших 1026 м, пространство становится искривлённым в результате действия больших сил тяготения. Мы живём в трёхмерном пространстве.В N–мерном пространстве сила взаимодействия двух точечных тел F ~ где r – расстояние между телами. Устойчивое движение двух тел отсутствует при N > 3, а при N £ 2 движение происходит в ограниченной области.

Только при N = 3 возможны как связанные, так и несвязанные движения, что и реализуется в наблюдаемой Вселенной. Трёхмерное пространство представляется выделенным, только в нём существуют атомы, планетные системы и выполняются закон Всемирного тяготения Ньютона и закон Кулона.

Материальная точка

 

Все тела имеют определённые размеры. В физике широко используется понятие – материальная точка (м. т.).

Тело, размерами и формой которого можно пренебречь, в сравнении с масштабами движений, считают материальной точкой.

Наблюдая в безлунную ночь, особенно в сельской местности, за небосводом можно обнаружить на нём бесчисленное множествозвёзд. Из-за больших расстояний они кажутся нам яркими светящимися точками различной интенсивности. В классической физике любые макроскопические тела можно считать состоящими из множества малых частей, каждую из которых можно принять за материальную точку. В связи с этим предполагается, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке.

Радиус-вектор и координаты

Рассмотрим движение материальной точки в произвольно выбранной нами системе отсчета. Это движение описано полностью, если известно её положение в любой момент времени относительно выбранной системы отсчёта. Одним из способов определения положения материальной точки М в пространстве являются, например, её прямоугольные декартовы координаты: x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата.

  Рис. 3

Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени может быть задано: а) радиус-вектором , соединяющим начало системы координат с точкой М пространства, в которой в данный момент находится м. т.; б) координатами точки М: х, у, z (рис. 3). Проекциями радиус-вектора на координатные оси являются следующие равенства: rx = x, ry = y, rz = z как соответствующие координаты конца радиус-вектора .

  Рис. 1.4

Замечание: Проекция вектора на соответствующие оси координат (Х, У, Z) может быть положительной (рис. 4, а), отрицательной (рис. 4, б) и равной нулю (рис. 4, в). Например, проекцией rx радиус-вектора на ось координат Х называют скалярную величину, связанную с модулем этого радиус-вектора и углом a между направлением оси Х и направлением радиус-вектора , т. е. rx = | | cos

a = r cos a = x.

Уравнения движения

Основная задача кинематики написать уравнение движения материальной точки.

Поскольку всякое движение происходит в пространстве и времени, то положение материальной точки в любой момент времени относительно тела отсчёта известно, если заданы её координаты

х = х(t), y = y(t), z = z(t) (1)

или радиус-вектор

.(2)

Уравнения (1) и (2) называют кинематическими уравнениями движения материальной точки.Из анализа уравнений (1) и (2) следует, что закон движения материальной точки описывается тремя скалярными уравнениями или одним векторным. уравнения (1) и (2) характеризуют движение одной и той же материальной точки, то между ними существует связь:

. (3)

Длина радиус-вектора

, (4)

где – единичные векторы (орты) осей координат (рис. 3).

Уравнения движения описывают состояние системы в пространстве и времени.

Степени свободы

Положение материальной точки или тела в пространстве можно характеризовать координатами x, y, z, т. е. материальная точка может совершать три независимых движения.

Число независимых координат, которые полностью определяют положение тел (м. т.) в пространстве, называют числом степеней свободы.

Следовательно, материальная точка имеет три поступательные степени свободы (i = 3). Если м. т. движется вдоль прямой, то она имеет только одну степень свободы (i = 1).

  Рис. 5

Если м. т. осуществляет движение на плоскости, то она обладает двумя степенями свободы (i = 2). Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы (i = 6): три поступательных и три вращательных. Когда речь идет об атомах или молекулах, одноатомные молекулы (аргон, гелий и т. д.) можно считать м. т., поэтому они имеют три поступательные степени свободы (рис. 5, а). Двухатомные молекулы: водород, азот и т. д. (рис. 5, б) имеют пять степеней свободы: три поступательные и две вращательные. Трех – и многоатомные молекулы имеют шесть степеней свободы (рис. 5, в). Общее число степеней свободы молекулы

i = iпост+ iвр+2 iкол. (5)

Если м. т. (тело) совершает колебательное движение, то непрерывно происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и, наоборот, потенциальной – в кинетическую, поэтому число колебательных степеней свободы удваивается.

Траектория

 

При своём движении в пространстве материальная точка описывает воображаемую линию, которую называют траекторией.

  Рис. 6

Например, следы людей и машин на песке, инверсионный след самолёта, летящего высоко в небе (рис. 6 ).

Траектория – понятие относительное.

Следовательно, о форме траектории без указания системы отсчёта говорить нельзя. При поступательном движении тела все его точки движутся по траектории одинаковой формы и равной длины. При вращении тела относительно неподвижной оси траектории всех его точек, не лежащих на оси вращения, имеют одинаковую форму, т. е. окружности, но длины этих окружностей неодинаковы: чем дальше точка находится от оси вращения, тем больше длина окружности, по которой она движется. В зависимости от формы траектории различают движения прямолинейные и криволинейные. Необходимо помнить, что в различных системах отсчета траектории движущихся м. т. могут иметь различные формы. Для примера рассмотрим движение точки конца пропеллера летящего самолета. В системе отсчета, связанной с самолетом, траектория – окружность, а в системе отсчета, связанной с Землей, точка конца пропеллера описывает винтовую линию. Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из выражений x = x (t), y = y (t), z = z (t) исключить время.

Длина пути

 

Придвижении материальной точки по траектории используется кинематиче-ская характеристика – длина путиDS (рис. 7).

Длина пути скалярная величина, равна длине участка траектории, пройденного м. т. за рассматриваемый промежуток времени.

При прямолинейном движении м. т. в одном направлении = DS, а в общем случае криволинейного движения , но различие между ними тем меньше, чем меньше , или при бесконечно малом промежутке времени dt, в случае произвольного криволинейного движения, равенство соблюдается при dr ® 0, т. е.

 

Мгновенная скорость

Уменьшая неограниченно промежуток времени Dt, за который произошло перемещение м. т. в пространстве в пределе, когда Dt ® 0, получим мгновенную скорость, т. е.

(15)

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения радиус-вектора м. т. к тому промежутку времени, за которое это приращение произошло, когда Dt ® 0 или равен первой производной радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории в данной точке (рис. 9).

Действительно, при Dt ® 0, когда точка М2 приближается к М1, хорда (секущая) , сближается с длиной отрезка дуги Ds и в пределе Ds = , а секущая переходит в касательную. Это наглядно подтверждается опытами. Например, искры при заточке инструмента всегда направлены по касательной к точильному кругу. Поскольку, скорость – величина векторная, то модуль ее

.

В некоторых типах ускорителей (например, циклотронах и др.) частицы многократно движутся по замкнутой траектории без остановки. Следовательно, в любой точке траектории модуль вектора мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Это заключение подтверждается не только уравнением (15), но и согласуется с понятием средней скалярной скорости (формула 11). Если в уравнении (11) перейти к пределу при Dt ® 0, то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории Ds, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения . Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной скалярной скорости

совпадающее с модулем вектора мгновенной скорости ,

так как Dr = Ds при Dt ® 0.

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора скорости на оси координат

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt. (16)

Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси координат выражением

, (17)

где – единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У, Z соответственно.

По модулю

. (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемещения в пространстве по величине и направлению с течением времени. Скорость – функция времени.

 

Среднее ускорение

 

При движении тел скорость в общем случае может изменяться как по величине, так и по направлению.

  Рис. 10

Примерами такого движения являются движение Солнечной системы вокруг центра нашей Галактики или движение поезда при торможении и т. д. Равномерное движение м. т. по окружности является примером, когда ее скорость изменяется по направлению, оставаясь постоянной по величине. Если м. т. движется по некоторой траектории, изменяя величину и направление скорости, то для характеристики ее движения уже недостаточно знать перемещение и скорость, нужно знать еще и быстроту изменения скорости, т. е. ускорение.

Пусть м. т. в некоторый момент времени t1 находится в пункте М1 и движется со скоростью , а в момент времени t2 – в пункте М2 – со скоростью (рис. 10).

Перенесем вектор параллельно самому себе в точку М1 так, чтобы совпали начала векторов и .

Тогда разность векторов и есть вектор изменения (приращения) скорости за промежуток времени Dt = t2 – t1, т. е.

. (19)

Вектор среднего ускорения равен отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.

Следовательно,

. (20)

Вектор среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости и, направлен внутрь кривизны траектории.

Одному векторному уравнению (1.20) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора среднего ускорения на оси координат

(21)

Модуль вектора среднего ускорения

. (22)

За единицу измерения ускорения в СИ принят метр на секунду в квадрате.

Мгновенное ускорение

 

Будем уменьшать промежуток времени Dt и, когда в пределе Dt ® 0, получим вектор мгновенного (истинного) ускорения, т. е.

. (23)

Вектор мгновенного ускорения равен пределу отношения вектора изменения скорости к тому промежутку времени, когда Dt ® 0 или равен первой производной вектора скорости по времени или равен второй производной радиус- вектора по времени.

Одному векторному уравнению (23) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора ускорения на оси координат

(24)

Абсолютное значение мгновенного ускорения

a = dv /dt = d2r /dt2 . (25)

В общем случае криволинейного движения вектор скорости не совпадает по направлению с вектором изменения скорости (вектором ускорения), что и делает возможным само существование криволинейного движения тел.

Связь вектора мгновенного ускорения с его проекциями на оси координат запишем в виде

.

Соответственно модуль вектора мгновенного ускорения

. (26)

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости м. т. по величине и направлению с течением времени. Ускорение – функция времени.

 

Прямолинейного движения

 

Найдем скорость тела (м. т.) в любой момент времени.

По определению мгновенное ускорение

или .

При равнопеременном и прямолинейном движении м. т. вектор мгновенного ускорения с течением времени не изменяется ни по модулю, ни по направлению и совпадает с вектором среднего ускорения (a = const, ). Для того чтобы найти изменение скорости за конечный промежуток времени Dt, необходимо просуммировать изменение скорости по всем интервалам времени dt. Такое суммирование в математике выполняется операцией интегрирования, т. е. . После интегрирования .

Следовательно, скорость в любой момент времени

.

Если t0 = 0, то (28)

При движении скорость тела линейно зависит от времени.

Векторное уравнение (28) соответствует системе трех скалярных уравнений для проекций на оси координат Х, У, Z:

Выражая проекции vx, v0x, ax и т. д. через модули соответствующих векторов, нужно учитывать знаки («+» и «-») и числовые коэффициенты, которые появляются в зависимости от направления проецируемого вектора и выбора положительного направления координатной оси. Например, при равнопеременном, и прямолинейном движении, происходящем вдоль оси Х, можно вместо векторного уравнения (28) написать соотношение vx = v0 + at, но только для случая, когда направления векторов совпадают с положительным направлением координатной оси.

Например, положительное направление координатной оси совпадает с направлением вектора начальной скорости , а положительный знак у слагаемого at соответствует ускоренному движению; положительный знак перед vx говорит о том, что вектор конечной скорости направлен в ту же сторону, что и вектор начальной скорости .

Если при прочих равных условиях вектор противоположен по направлению вектору , то vx = v0 - at. В зависимости от конкретных значений времени t, модулей начальной скорости v0 и ускорения a результат расчета для vx может привести как к положительному, так и к отрицательному значению. Рассмотрим конкретный пример.

Пусть м. т. совершает прямолинейное равнопеременное движение с начальной скоростью v0 = 24 м/c и модулем ускорения а =| | = 4 м/с2, но направления векторов противоположны, т. е. (а < 0).

Допустим, нас интересуют скорости м. т. через t1 = 2 c и t2 = 12 c после начала движения. Проецируя на координатную ось (например, ось Х), положительное направление которой совпадает с направлением вектора начальной скорости , и, выражая проекции векторов через их модули, получим, что через t1 = 2 c скорость м. т. v1x = 24 - 4×2 = 16 м/c.

При t2 = 12 c v2x = 24 - 4×12 = -24 м/c, т. е. проекция вектора скорости v2x имеет знак минус. Это значит, что к моменту времени t2 = 12 c после начала движения м. т. движется в противоположном направлении.

А когда же это произошло? В какой момент времени? Для этого в формуле vx = v0 - at нужно скорость положить равной нулю, т. е. vx = 0. Тогда v0 = at или t = v0 /a. После подстановки числовых значений имеем t = 6 с, т. е. через 6 с после начала движения м. т. изменила направление скорости на противоположное.

 

1.17. Путь равнопеременного, прямолинейного движения

 

Зная скорость в каждый момент времени v = v(t), можно найти путь, пройденный м. т. от момента времени t1 до момента времени t2.

Разделим промежуток времени Dt на N малых интервалов времени Dti (необязательно равных), где i = 1, 2 , 3, ... , N - номер интервала.

Согласно формуле мгновенной скорости v = dS / dt, можно считать, что путь DSi, пройденный м. т. за промежуток времени Dti, равен

DSi @ vi Dti,

где vi - значение скорости м. т. за соответствующий промежуток времени Dti. Полный путь S, пройденный м. т., равен сумме отдельных отрезков пути DSi: S = DS1 + DS2 + ...+ DSN = или .

Если уменьшать интервалы времени Dti, то произведение vi Dti будет с возрастающей точностью определять пройденный путь DSi. При Dti ® 0 в пределе получим истинное значение пути:

.

В математике выражение данного вида называют определенным интегралом функции v = v(t), взятым по переменной времени t от t1 (нижний предел) до t2 (верхний предел), т. е.

Используя формулу скорости v = v0 + at и формулу пути dS = v dt,

получим

.

После интегрирования найдем путь в виде

 

S = S0+ v0t + a t2/ 2. (29)

где S0 – путь, пройденный м. т. к моменту времени t = 0.

Формулу вектора перемещения приведем без доказательства:

. (30)

Одному векторному уравнению можно сопоставить систему трех скалярных уравнений для определения изменения координат х, у, z за тот же промежуток времени при движении м. т., т. е.

х = х0 + v0xt + ax t2/ 2,

y = y0 + v0yt + ay t2/ 2, (31)

z = z0 + v0zt + az t2/ 2.

Из уравнения (1.31) можно получить уравнение, описывающее изменения радиус-вектора, характеризующего движение м. т. с течением времени в виде

. (32)

Примерами равноускоренного движения являются свободное падение тел в поле силы тяготения или скатывание тел по наклонной плоскости без учета сил трения и т. д.

Замечание: Существование начальных условий x0, v0, r0 и т. д. вытекает из самой природы непрерывного течения времени и только в одном направлении от прошлого к будущему. Начальный момент времени t0 = 0 не обязательно соответствует началу движения или выходу м. т. (частицы) из состояния покоя. Начальный момент времени можно выбирать произвольно. Это момент времени, с которого наблюдатель начал следить за данным движением или начал его исследовать. В этот момент обычно включается секундомер или иное устройство для измерения промежутков времени.

 

И полное ускорения

 

Пусть в плоской системе координат (XOY)движется м. т., описывая криволинейную траекторию. В произвольный момент времени t1материальная точка при движении со скоростью находилась в пункте А. В следующий момент времени t2она находится в пункте В, имея скорость (рис. 15). Если интервал времени Dt мал, то участок криволинейной траектории представляет собой некоторую дугу È АЕ, которая в пределе совпадает с дугой некоторого круга кривизны радиуса R с центром в точке 0. Скорости и отличаются и по величине, и по направлению,

т. е. и V1 ¹ V2 .

    Рис. 15

Перенесём вектор (можно и вектор ) параллельно самому себе так, чтобы совпали начала векторов и в точке А.

Соединим концы векторов и направленным отрезком ВД и обозначим его .

Вектор

является вектором изменения (приращения) скорости (рис. 15) за время Dt и характеризует изменение скорости, как по величине,так и понаправлению.На отрезке АВ (модуль вектора ) отложим отрезок АС, равный по величине модулю вектора . – хорда АЕ, следует, что

,

где = vt, так как АС =

После преобразования

,

поскольку R = const и = сonst, так как вектор в квадрате есть скаляр. В связи с тем, что изменение скорости произошло за время t, разделим левую и правую части на t:

.

По определению мгновенного ускорения, имеем: слева – вектор полного ускорения

справа – первое слагаемоe

, (34)

второе слагаемое (35)

Тогда , (36)

  Рис. 16

 

, (37)

т. е. аn = v2/R, (38)

где – единичный вектор нормали.

Он направлен по радиусу к центру круга кривизны (рис.16), так как с переходом к пределу, когда точки А и Е сливаются, скорость приближается к и угол ® 0 (рис.15).

Соответственно углы АСД и АДC равны и стремятся к 90о.

Следовательно, в пределе вектор ( или ) направлен по радиусу к центру круга кривизны и называется центростремительным (нормальным) ускорением.

Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру круга кривизны и характеризует изменение скорости по направлению. Рассмотрим вторую составляющую полного ускорения.

Соединим точки С и Д направленным отрезком, который обозначим вектором , характеризующим изменение скорости только по направлению.

Направленный отрезок ВС назовем вектором , характеризующим изменение скорости по величине, т. е.

.

Согласно рис. 15,

. (33)

Из подобия равнобедренных треугольников ОАЕ и АСД, где модуль

Вектор (39)

называют тангенциальным (касательным) ускорением, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории, т. е.

( ) ,

Вектор касательного ускорения характеризует изменение скорости по величине, направлен по касательной к траектории в данной точке.

При произвольном криволинейном движении материальной точки полное ускорение может быть разложено на две составляющие:

, где .

Вектор полного ускорения характеризует изменение скорости по величине и направлению, направлен внутрь кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

. (40)

Возникновение нормального и тангенциального ускорений наблюдается, например, при движении искусственных спутников Земли.

 

Абсолютно твердое тело

 

Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение материальной точки и тела.

Абсолютно твердым называют тело, деформациями которого можно пренебречь, а расстояние между любыми его двумя точками сохраняется неизменным при движении.

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, а центры их лежат на оси вращения (рис. 1.16).

Рис. 1.16

 

  Рис. 17

Угловое перемещение

 

Положение материальной точки при движении, например, по окружности, можно задать не только радиус-вектором, но и угловым перемещением j (углом поворота) радиус-вектора, характеризующего положение м. т. относительно неподвижной плоскости Q, принятой за тело отсчета и подвижной плоскости Р, жестко связанной с вращающим телом (рис. 1.17).

Выражение вида

j = j (t), (41)

 

называют уравнением кинематики вращательного движения.

Изменение углового перемещения происходит во времени и описывается по уравнению (41), зависит от вида вращения абсолютно твердого тела (равномерное или неравномерное вращение) с неподвижной или подвижной осями вращения.Задача кинематики – установить вид этого уравнения.

Если тело совершило N оборотов, то общий угол поворота

j = 2pN. (42)

  Рис. 1.18

При вращении абсолютно твердого тела любые его точки А и Б, находящиеся на различных расстояниях R1 и R2 от оси вращения (рис. 17), перемещаются с различными скоростями (v2 > v1), поэтому линейные скорости точек тела не могут характеризовать вращение тела в целом.

Действительно, точки А и Б проходят различные расстояния (s2 > s1).

Однако за одно и то же время Dt различные точки тела поворачиваются на один и тот же угол j.

Так как абсолютно твердое тело вращается как единое целое, то величина углового перемещения не зависит от выбора конкретной точки тела, а является характеристикой движения всего тела (рис. 18).

Средняя угловая скорость

 

Пусть произвольная точка М находится в подвижной плоскости Р. Угол поворота j (угловое перемещение) всего тела и путь S будем отсчитывать от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (рис. 18).

Угол поворота в СИ измеряется в радианах (рад).

Известно из математики, что j = S / R. За малый промежуток времени Dt тело повернется на угол Dj, а точка М пройдет путь по траектории

S = R Dj. (43)

Величина радиуса R и положение центра окружности (т. О) определяются соотношением

.

Разделим на Dt правую и левую части равенства (18):

.

Из кинематики поступательного движения известно, что

,

тогда

, (44)

где <w> – средняя угловая скорость.

Средняя угловая скорость равна отношению изменения углового перемещения к промежутку времени, за которое перемещение произошло.

Мгновенная угловая скорость

При вращении м. т. (тела) в пределе при Dt ® 0 получаем мгновенную угловую скорость

. (45)

Мгновенная угловая скорость тела равна первой производной углового перемещения по времени.

Если тело вращается равномерно, то w = сonst. Тогда

(46)

Угловая скорость в СИ измеряется в радианах в секунду (рад/c).

Вывод: Величина угловой скорости, как и угловое перемещение, характеризуют тело в целом.

Понятия угловой скорости и углового перемещения имеют смысл только для тел конечных размеров. Значение угловой скорости в науке и технике огромно: она используется, начиная с объектов микромира до тел космических масштабов. Например, в настоящее время установлено, что гигантские структуры Вселенной – галактики, включая и нашу спиральную галактику «Млечный Путь», скопления и сверхскопления галактик, вращаются дифференциально, т. е. угловая скорость wгал вращения диска нашей галактики уменьшается по мере удаления от центра галактики. Одновременно по диску галактики пробегает спиральная волна плотности с постоянной угловой скоростью wспир (твердотельное вращение), имея период обращения в сотни миллионов лет, стимулируя в спиральных рукавах галактики активное звездообразование. В тех областях, где угловая скорость вращения диска галактики совпадает по величине с угловой скоростью спиральной волны плотности галактики (wгал = wспир), возникает коротационный круг жизни (обычно вдали от спиральных рукавов). Кстати, возможно не случайно, наша Солнечная система и находится, предположительно, в области коротационного круга галактики – «Млечный Путь».

 

Период и частота вращения

 

Равномерное вращение тел (например, Земли и других планет вокруг Солнца) характеризуется периодом и частотой вращения.

Период время, за которое тело совершает полный оборот вокруг оси или полюса (точки). В Си период измеряется в секундах (c).

Если тело совершило полный оборот вокруг оси, то оно повернулось на угол j = 2p радиан или 360 0.

Полагая время одного оборота Dt = Т получаем, что

w = (48)

Частота f число оборотов тела в секунду.

В СИ частоту вращения измеряют в с -1 или оборотах в секунду.

Период и частота вращения связаны соотношением

, (49)

где w = 2pf. (50)

 

Среднее угловое ускорение

Из анализа равенства (47) следует, что угловая скорость w может изменяться как за счет изменения линейной скорости v при вращении (в этом случае угловая скорость изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве. При

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти