ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Средняя скорость материальной точки

 

Для количественного описания физических явлений используются различные физические величины, одной из них являетсяскорость.Для оценки быстроты перемещения м. т. в пространстве с течением времени недостаточно знать траекторию и перемещение. Два же различных движения, для которых одно и то же перемещение совершилось за различные промежутки времени, геометрически одинаковы, но кинематически различны. Для характеристики быстроты изменения перемещения вводится понятие скорости.

Пусть материальная точка движется и описывает некоторую траекторию в плоскости Х0У. В момент времени t1 она находилась в точке М1, характеризуемой радиус-вектором или координатами (х1, у1, z1), в момент времени t2 – в точке М2, характеризуемой радиус-вектором или координатами (x2, y2, z2). За промежуток времени Dt = t2 – t1 м. т. проходит по траектории путь Ds и получает элементарное перемещение, которое совпадает с приращением радиус-вектора за это время, т. е.

Вектором средней скорости называют физическую величину, равную отношению вектора перемещения (приращению радиус-вектора) к промежутку времени, за которое это перемещение произошло.

По определению вектор средней скорости . (9)

Вектор средней скорости направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения (рис. 9).

В проекциях на оси координат вектора средней скорости с учетом (7) получаем три скалярных уравнения:

Рис. 9

Модуль средней скорости

. (10)

Замечание 1: Если м. т. движется по окружности или любой замкнутой траектории, т. е. через некоторое время возвращается в исходное положение, то ее перемещение равно нулю, следовательно, равна нулю и средняя скорость. Да, но тело-то двигалось! Для выхода из создавшегося положения вводят понятие средней скалярной скорости <vc>, которая определяется отношением отрезка пути, пройденного м. т. по траектории за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка, т. е.

<vc> = Ds / Dt. (11)

Если м. т. совершает ряд последовательных перемещений

,

за соответствующие промежутки времени Dt1, Dt2, ... , Dtn, то вектор средней скорости результирующего перемещения находят по формуле

, (12)

а величину средней скалярной скорости – по формуле

. (13)

Замечание 2: Часто при решении задач для нахождения средней скорости используют формулу <v> = (v0 + vt) / 2 , (14)

где v0 – начальная скорость, vt – конечная.

Эта формула справедлива в случае прямолинейного равноускоренного или равнозамедленного движений и в одну сторону, т. е. без изменения направления скорости. Однако аналогичная формула в векторном виде

остается справедливой и в случае равнопеременного движения с изменением направления скорости.

В СИ за единицу измерения скорости принято м/c.

Мгновенная скорость

Уменьшая неограниченно промежуток времени Dt, за который произошло перемещение м. т. в пространстве в пределе, когда Dt ® 0, получим мгновенную скорость, т. е.

(15)

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения радиус-вектора м. т. к тому промежутку времени, за которое это приращение произошло, когда Dt ® 0 или равен первой производной радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории в данной точке (рис. 9).

Действительно, при Dt ® 0, когда точка М2 приближается к М1, хорда (секущая) , сближается с длиной отрезка дуги Ds и в пределе Ds = , а секущая переходит в касательную. Это наглядно подтверждается опытами. Например, искры при заточке инструмента всегда направлены по касательной к точильному кругу. Поскольку, скорость – величина векторная, то модуль ее

.

В некоторых типах ускорителей (например, циклотронах и др.) частицы многократно движутся по замкнутой траектории без остановки. Следовательно, в любой точке траектории модуль вектора мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Это заключение подтверждается не только уравнением (15), но и согласуется с понятием средней скалярной скорости (формула 11). Если в уравнении (11) перейти к пределу при Dt ® 0, то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории Ds, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения . Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной скалярной скорости

совпадающее с модулем вектора мгновенной скорости ,

так как Dr = Ds при Dt ® 0.

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора скорости на оси координат

vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt. (16)

Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси координат выражением

, (17)

где – единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У, Z соответственно.

По модулю

. (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемещения в пространстве по величине и направлению с течением времени. Скорость – функция времени.

 

Среднее ускорение

 

При движении тел скорость в общем случае может изменяться как по величине, так и по направлению.

  Рис. 10

Примерами такого движения являются движение Солнечной системы вокруг центра нашей Галактики или движение поезда при торможении и т. д. Равномерное движение м. т. по окружности является примером, когда ее скорость изменяется по направлению, оставаясь постоянной по величине. Если м. т. движется по некоторой траектории, изменяя величину и направление скорости, то для характеристики ее движения уже недостаточно знать перемещение и скорость, нужно знать еще и быстроту изменения скорости, т. е. ускорение.

Пусть м. т. в некоторый момент времени t1 находится в пункте М1 и движется со скоростью , а в момент времени t2 – в пункте М2 – со скоростью (рис. 10).

Перенесем вектор параллельно самому себе в точку М1 так, чтобы совпали начала векторов и .

Тогда разность векторов и есть вектор изменения (приращения) скорости за промежуток времени Dt = t2 – t1, т. е.

. (19)

Вектор среднего ускорения равен отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.

Следовательно,

. (20)

Вектор среднего ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости и, направлен внутрь кривизны траектории.

Одному векторному уравнению (1.20) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора среднего ускорения на оси координат

(21)

Модуль вектора среднего ускорения

. (22)

За единицу измерения ускорения в СИ принят метр на секунду в квадрате.

Мгновенное ускорение

 

Будем уменьшать промежуток времени Dt и, когда в пределе Dt ® 0, получим вектор мгновенного (истинного) ускорения, т. е.

. (23)

Вектор мгновенного ускорения равен пределу отношения вектора изменения скорости к тому промежутку времени, когда Dt ® 0 или равен первой производной вектора скорости по времени или равен второй производной радиус- вектора по времени.

Одному векторному уравнению (23) соответствует система из трех скалярных уравнений для проекций вектора ускорения на оси координат

(24)

Абсолютное значение мгновенного ускорения

a = dv /dt = d2r /dt2 . (25)

В общем случае криволинейного движения вектор скорости не совпадает по направлению с вектором изменения скорости (вектором ускорения), что и делает возможным само существование криволинейного движения тел.

Связь вектора мгновенного ускорения с его проекциями на оси координат запишем в виде

.

Соответственно модуль вектора мгновенного ускорения

. (26)

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости м. т. по величине и направлению с течением времени. Ускорение – функция времени.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти