ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Прямолинейное равномерное движение

Движение называют равномерным и прямолинейным, если м. т. движется вдоль прямой с постоянной по величине и направлению скоростью.

В этом случае средняя и мгновенная скорости совпадают, а движение происходит только в одном направлении, так как модуль вектора перемещения равен расстоянию, пройденному м. т. по траектории.

Скорость равномерного прямолинейного движения м. т. можно найти по формуле

v = s / t . (27)

График зависимости пути равномерного прямолинейного движения м. т. от времени (рис. 1.11) представляет собой прямую, отсекаемую на оси s отрезок so, и образует с осью времени угол a = arc tg (s/t) = arctg v.

Рис. 13
    Рис. 12
  Рис. 11

 

Если Ds = s - s0 и Dt = t - t0 , то s - so= v(t - to).

В момент времени t = t0, s = so, но v ¹ 0. При t0 = 0, s = so + vt, где t0 и s0 - начальные условия. График скорости равномерного прямолинейного движения приведен на рис. 12. Путь, пройденный м. т., можно найти по графику скорости равномерного прямолинейного движения.

Путь равен площади прямоугольника, ограниченного сверху графиком скорости, слева и справа - ординатами начального t1 и конечного t2 моментов времени; снизу - осью времени. Скорость может быть найдена по графику пути (см. рис. 11), где v = tga. Чем больше угол a, тем больше и скорость v.

 

Прямолинейное равнопеременное движение

Движение называют равнопеременным, если м. т. движется с постоянным по величине и направлению ускорением.

Если а > 0 ( ), то движение называют равноускоренным (рис. 13, прямая 1); если же а < 0 ( ), то движение называют равнозамедленным (рис. 13, прямая 2); наконец, при а = 0, движение - равномерное (рис. 13, прямая 3).

 

Вычисление скорости равнопеременного

Прямолинейного движения

 

Найдем скорость тела (м. т.) в любой момент времени.

По определению мгновенное ускорение

или .

При равнопеременном и прямолинейном движении м. т. вектор мгновенного ускорения с течением времени не изменяется ни по модулю, ни по направлению и совпадает с вектором среднего ускорения (a = const, ). Для того чтобы найти изменение скорости за конечный промежуток времени Dt, необходимо просуммировать изменение скорости по всем интервалам времени dt. Такое суммирование в математике выполняется операцией интегрирования, т. е. . После интегрирования .

Следовательно, скорость в любой момент времени

.

Если t0 = 0, то (28)

При движении скорость тела линейно зависит от времени.

Векторное уравнение (28) соответствует системе трех скалярных уравнений для проекций на оси координат Х, У, Z:

Выражая проекции vx, v0x, ax и т. д. через модули соответствующих векторов, нужно учитывать знаки («+» и «-») и числовые коэффициенты, которые появляются в зависимости от направления проецируемого вектора и выбора положительного направления координатной оси. Например, при равнопеременном, и прямолинейном движении, происходящем вдоль оси Х, можно вместо векторного уравнения (28) написать соотношение vx = v0 + at, но только для случая, когда направления векторов совпадают с положительным направлением координатной оси.

Например, положительное направление координатной оси совпадает с направлением вектора начальной скорости , а положительный знак у слагаемого at соответствует ускоренному движению; положительный знак перед vx говорит о том, что вектор конечной скорости направлен в ту же сторону, что и вектор начальной скорости .

Если при прочих равных условиях вектор противоположен по направлению вектору , то vx = v0 - at. В зависимости от конкретных значений времени t, модулей начальной скорости v0 и ускорения a результат расчета для vx может привести как к положительному, так и к отрицательному значению. Рассмотрим конкретный пример.

Пусть м. т. совершает прямолинейное равнопеременное движение с начальной скоростью v0 = 24 м/c и модулем ускорения а =| | = 4 м/с2, но направления векторов противоположны, т. е. (а < 0).

Допустим, нас интересуют скорости м. т. через t1 = 2 c и t2 = 12 c после начала движения. Проецируя на координатную ось (например, ось Х), положительное направление которой совпадает с направлением вектора начальной скорости , и, выражая проекции векторов через их модули, получим, что через t1 = 2 c скорость м. т. v1x = 24 - 4×2 = 16 м/c.

При t2 = 12 c v2x = 24 - 4×12 = -24 м/c, т. е. проекция вектора скорости v2x имеет знак минус. Это значит, что к моменту времени t2 = 12 c после начала движения м. т. движется в противоположном направлении.

А когда же это произошло? В какой момент времени? Для этого в формуле vx = v0 - at нужно скорость положить равной нулю, т. е. vx = 0. Тогда v0 = at или t = v0 /a. После подстановки числовых значений имеем t = 6 с, т. е. через 6 с после начала движения м. т. изменила направление скорости на противоположное.

 

1.17. Путь равнопеременного, прямолинейного движения

 

Зная скорость в каждый момент времени v = v(t), можно найти путь, пройденный м. т. от момента времени t1 до момента времени t2.

Разделим промежуток времени Dt на N малых интервалов времени Dti (необязательно равных), где i = 1, 2 , 3, ... , N - номер интервала.

Согласно формуле мгновенной скорости v = dS / dt, можно считать, что путь DSi, пройденный м. т. за промежуток времени Dti, равен

DSi @ vi Dti,

где vi - значение скорости м. т. за соответствующий промежуток времени Dti. Полный путь S, пройденный м. т., равен сумме отдельных отрезков пути DSi: S = DS1 + DS2 + ...+ DSN = или .

Если уменьшать интервалы времени Dti, то произведение vi Dti будет с возрастающей точностью определять пройденный путь DSi. При Dti ® 0 в пределе получим истинное значение пути:

.

В математике выражение данного вида называют определенным интегралом функции v = v(t), взятым по переменной времени t от t1 (нижний предел) до t2 (верхний предел), т. е.

Используя формулу скорости v = v0 + at и формулу пути dS = v dt,

получим

.

После интегрирования найдем путь в виде

 

S = S0+ v0t + a t2/ 2. (29)

где S0 – путь, пройденный м. т. к моменту времени t = 0.

Формулу вектора перемещения приведем без доказательства:

. (30)

Одному векторному уравнению можно сопоставить систему трех скалярных уравнений для определения изменения координат х, у, z за тот же промежуток времени при движении м. т., т. е.

х = х0 + v0xt + ax t2/ 2,

y = y0 + v0yt + ay t2/ 2, (31)

z = z0 + v0zt + az t2/ 2.

Из уравнения (1.31) можно получить уравнение, описывающее изменения радиус-вектора, характеризующего движение м. т. с течением времени в виде

. (32)

Примерами равноускоренного движения являются свободное падение тел в поле силы тяготения или скатывание тел по наклонной плоскости без учета сил трения и т. д.

Замечание: Существование начальных условий x0, v0, r0 и т. д. вытекает из самой природы непрерывного течения времени и только в одном направлении от прошлого к будущему. Начальный момент времени t0 = 0 не обязательно соответствует началу движения или выходу м. т. (частицы) из состояния покоя. Начальный момент времени можно выбирать произвольно. Это момент времени, с которого наблюдатель начал следить за данным движением или начал его исследовать. В этот момент обычно включается секундомер или иное устройство для измерения промежутков времени.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти