ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Криволинейное движение. Радиус кривизны

Движение называют криволинейным, если скорость м. т. изменяется и по величине, и по направлению.

Одной из основных характеристик этого движения считается ускорение. В реальной жизни чаще всего встречается криволинейное движение, когда величина скорости – остаётся постоянной, а направление непрерывно изменяется. Например, равномерное движение м. т. по окружности.

Рис. 14

Рассмотрим движение м. т. вдоль произвольной кривой.

Из математики известно, что малую часть дуги любой плавной кривой (траектории) можно заменить дугой окружности некоторого радиуса R1 или R2 с центром в точке 01или 02(рис. 14).

Окружность, которая в пределе совпадает с бесконечно малой дугой произвольной кривой, называют кругом кривизны.

Радиус этой окружности называют радиусом кривизны (R1 и R2), а центр окружности – центром кривизны (т. 01и т. 02, рис. 14). Величину С =1/R называют кривизной данной траектории.

Центростремительное, тангенциальное

И полное ускорения

 

Пусть в плоской системе координат (XOY)движется м. т., описывая криволинейную траекторию. В произвольный момент времени t1материальная точка при движении со скоростью находилась в пункте А. В следующий момент времени t2она находится в пункте В, имея скорость (рис. 15). Если интервал времени Dt мал, то участок криволинейной траектории представляет собой некоторую дугу È АЕ, которая в пределе совпадает с дугой некоторого круга кривизны радиуса R с центром в точке 0. Скорости и отличаются и по величине, и по направлению,

т. е. и V1 ¹ V2 .

    Рис. 15

Перенесём вектор (можно и вектор ) параллельно самому себе так, чтобы совпали начала векторов и в точке А.

Соединим концы векторов и направленным отрезком ВД и обозначим его .

Вектор

является вектором изменения (приращения) скорости (рис. 15) за время Dt и характеризует изменение скорости, как по величине,так и понаправлению.На отрезке АВ (модуль вектора ) отложим отрезок АС, равный по величине модулю вектора . – хорда АЕ, следует, что

,

где = vt, так как АС =

После преобразования

,

поскольку R = const и = сonst, так как вектор в квадрате есть скаляр. В связи с тем, что изменение скорости произошло за время t, разделим левую и правую части на t:

.

По определению мгновенного ускорения, имеем: слева – вектор полного ускорения

справа – первое слагаемоe

, (34)

второе слагаемое (35)

Тогда , (36)

  Рис. 16

 

, (37)

т. е. аn = v2/R, (38)

где – единичный вектор нормали.

Он направлен по радиусу к центру круга кривизны (рис.16), так как с переходом к пределу, когда точки А и Е сливаются, скорость приближается к и угол ® 0 (рис.15).

Соответственно углы АСД и АДC равны и стремятся к 90о.

Следовательно, в пределе вектор ( или ) направлен по радиусу к центру круга кривизны и называется центростремительным (нормальным) ускорением.

Вектор центростремительного ускорения направлен по радиусу к центру круга кривизны и характеризует изменение скорости по направлению. Рассмотрим вторую составляющую полного ускорения.

Соединим точки С и Д направленным отрезком, который обозначим вектором , характеризующим изменение скорости только по направлению.

Направленный отрезок ВС назовем вектором , характеризующим изменение скорости по величине, т. е.

.

Согласно рис. 15,

. (33)

Из подобия равнобедренных треугольников ОАЕ и АСД, где модуль

Вектор (39)

называют тангенциальным (касательным) ускорением, где – единичный вектор, направленный по касательной к траектории, т. е.

( ) ,

Вектор касательного ускорения характеризует изменение скорости по величине, направлен по касательной к траектории в данной точке.

При произвольном криволинейном движении материальной точки полное ускорение может быть разложено на две составляющие:

, где .

Вектор полного ускорения характеризует изменение скорости по величине и направлению, направлен внутрь кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

. (40)

Возникновение нормального и тангенциального ускорений наблюдается, например, при движении искусственных спутников Земли.

 

Кинематика вращательного движения.

Абсолютно твердое тело

 

Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение материальной точки и тела.

Абсолютно твердым называют тело, деформациями которого можно пренебречь, а расстояние между любыми его двумя точками сохраняется неизменным при движении.

Вращательным движением абсолютно твердого тела называют движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, а центры их лежат на оси вращения (рис. 1.16).

Рис. 1.16

 

  Рис. 17

Угловое перемещение

 

Положение материальной точки при движении, например, по окружности, можно задать не только радиус-вектором, но и угловым перемещением j (углом поворота) радиус-вектора, характеризующего положение м. т. относительно неподвижной плоскости Q, принятой за тело отсчета и подвижной плоскости Р, жестко связанной с вращающим телом (рис. 1.17).

Выражение вида

j = j (t), (41)

 

называют уравнением кинематики вращательного движения.

Изменение углового перемещения происходит во времени и описывается по уравнению (41), зависит от вида вращения абсолютно твердого тела (равномерное или неравномерное вращение) с неподвижной или подвижной осями вращения.Задача кинематики – установить вид этого уравнения.

Если тело совершило N оборотов, то общий угол поворота

j = 2pN. (42)

  Рис. 1.18

При вращении абсолютно твердого тела любые его точки А и Б, находящиеся на различных расстояниях R1 и R2 от оси вращения (рис. 17), перемещаются с различными скоростями (v2 > v1), поэтому линейные скорости точек тела не могут характеризовать вращение тела в целом.

Действительно, точки А и Б проходят различные расстояния (s2 > s1).

Однако за одно и то же время Dt различные точки тела поворачиваются на один и тот же угол j.

Так как абсолютно твердое тело вращается как единое целое, то величина углового перемещения не зависит от выбора конкретной точки тела, а является характеристикой движения всего тела (рис. 18).

Средняя угловая скорость

 

Пусть произвольная точка М находится в подвижной плоскости Р. Угол поворота j (угловое перемещение) всего тела и путь S будем отсчитывать от неподвижной плоскости Q по часовой стрелке (рис. 18).

Угол поворота в СИ измеряется в радианах (рад).

Известно из математики, что j = S / R. За малый промежуток времени Dt тело повернется на угол Dj, а точка М пройдет путь по траектории

S = R Dj. (43)

Величина радиуса R и положение центра окружности (т. О) определяются соотношением

.

Разделим на Dt правую и левую части равенства (18):

.

Из кинематики поступательного движения известно, что

,

тогда

, (44)

где <w> – средняя угловая скорость.

Средняя угловая скорость равна отношению изменения углового перемещения к промежутку времени, за которое перемещение произошло.

Мгновенная угловая скорость

При вращении м. т. (тела) в пределе при Dt ® 0 получаем мгновенную угловую скорость

. (45)

Мгновенная угловая скорость тела равна первой производной углового перемещения по времени.

Если тело вращается равномерно, то w = сonst. Тогда

(46)

Угловая скорость в СИ измеряется в радианах в секунду (рад/c).

Вывод: Величина угловой скорости, как и угловое перемещение, характеризуют тело в целом.

Понятия угловой скорости и углового перемещения имеют смысл только для тел конечных размеров. Значение угловой скорости в науке и технике огромно: она используется, начиная с объектов микромира до тел космических масштабов. Например, в настоящее время установлено, что гигантские структуры Вселенной – галактики, включая и нашу спиральную галактику «Млечный Путь», скопления и сверхскопления галактик, вращаются дифференциально, т. е. угловая скорость wгал вращения диска нашей галактики уменьшается по мере удаления от центра галактики. Одновременно по диску галактики пробегает спиральная волна плотности с постоянной угловой скоростью wспир (твердотельное вращение), имея период обращения в сотни миллионов лет, стимулируя в спиральных рукавах галактики активное звездообразование. В тех областях, где угловая скорость вращения диска галактики совпадает по величине с угловой скоростью спиральной волны плотности галактики (wгал = wспир), возникает коротационный круг жизни (обычно вдали от спиральных рукавов). Кстати, возможно не случайно, наша Солнечная система и находится, предположительно, в области коротационного круга галактики – «Млечный Путь».

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти