ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Взаимная спектральная плотность

Понятие о взаимной спектральной плотности двух случайных процессов непосредственно вытекает из определения взаимной корреляционной функции. Так же как спектральная плотность одной реализации процесса представляет собой преобразование Фурье автокорреляционной функции, так и взаимная спектральная плотность двух реализации представляет преобразование Фурье взаимной корреляционной функции. Так как взаимная корреляционная функция нечетна, взаимная спектральная плотность есть обычно комплексная величина.

(18)

Где действительная часть Cxy(f) называется санфазной составляющей, а мнимая часть Qxy(f) – квадратурной составляющей взаимной спектральной плотности.

В зависимости от частоты санфазную составляющую можно представить как среднее произведение функций x(t) и y(t) в узком интервале частот от f до f+∆f , деленное на ширину интервала. Такое же определение можно дать квадратурной составляющей взаимной спектральной плотности, за тем исключением, что либо x(t), либо y(t), но не обе функции сразу сдвинуты во времени таким образом, что составляющие с частотой f будут сдвинуты по фазе на 900. Таким образом,

(19)

(20)

Где x(t; f, ∆f) и y(t; f, ∆f) – отфильтрованные части процессов x(t) и y(t) соответственно, а y0(t; f, ∆f) – функция, сдвинутая на 900 по фазе относительно y(t; f, ∆f).

Удобно выразить взаимную спектральную плотность в показательной форме:

(21)

где модуль │ Cxy(f) │и аргумент Θxy(f) связаны с величинами Cxy(f) и Θxy(f) связаны формулами

(22)

(23)

Поменяв местами x(t) и y(t), можно найти, что Cyx(f) =Cxy(f) , а

Θyx(f)=-Θxy(f). Отсюда вытекают соотношения

(24)

(25)

Gyx*(f) – комплексная величина, сопряженная с Gyx(f). Приведем еще одно соотношение, аналогичное формуле (16):

(26)

При использовании взаимной спектральной плотности удобно ввести в рассмотрение действительную величину

(27)

которая называется функцией когерентности. В том случае, когда при некотором значении частоты γ2xy(f)=0. В том случае, когда при всех значениях частоты γ2xy(f)=1, говорят, что функции x(t) и y(t) полностью когерентны.

Типичный график взаимной спектральной плотности как функции частоты (зависимость Gyx(f)) для реализации двух случайных процессов приведен на рис.11.

Рис.11. Типичный график взаимной спектральной плотности (взаимный спектр)

Применение.

Взаимная спектральная плотность, как и взаимная корреляционная функция, используется во многих случаях. Некоторые примеры ее применения приведены ниже.

Измерение частотной характеристики. Эта существенная область применения взаимной спектральной плотности возникла благодаря тому, что существует важное соотношение, связывающее названную функцию с характеристиками исследуемых физических систем. Рассмотрим, например, электрическую цепь, обладающую частотной характеристикой H(f). Предположим, что ток на входе цепи является стационарным случайным процессом со спектральной плотностью мощности Gx(f). Как отмечалось в подразделе «спектральная плотность» сигнал на выходе электрической цепи является стационарным случайным процессом со спектром мощности, определяемым формулой (13). Однако выполняется и другое важное соотношение, а именно взаимная спектральная плотность сигналов на входе и выходе имеет вид

(28)

Эта формула позволяет определить полную частотную характеристику линейной системы по данным измерений взаимной спектральной плотности из соотношения H(f)= Gxy(f)/ Gx(f). Доверительные интервалы, определяющие точность измерения H(f), можно найти, вычислив соответствующую функцию когерентности.

Измерение времени задержки. Другая область применения взаимной спектральной плотности – определение времени задержки. В предыдущем подразделе эта задача приводилась в качестве примера использования взаимной корреляционной функции. В данном случае фазовый угол Θxy(f), величина которого определяется взаимной спектральной плотностью, связывающей сигналы на входе и выходе некоторой системы, дает сдвиг фазы сигнала с частотой f описывается формулой τ= Θxy(f)/2πf. Отметим, что по данным измерений взаимной спектральной плотности можно вычислить время задержки как функцию частоты, тогда как непосредственно взаимная корреляционная функция не дает такой возможности.

Теория линейного прогноза и фильтрации. Функции спектральной и взаимной спектральной плотности имеют много различных приложений в теории линейного прогноза и фильтрации. Решение этих задач требует определения оптимального по некоторому критерию линейного фильтра, который позволяет передать и прогнозировать желаемый сигнал, исключив посторонний шум. Характеристики такого фильтра определяются различными спектрами и взаимными спектрами, связывающими сигнал на входе плюс шум с сигналом на выходе плюс шум.

Рассмотрим следующий пример из этой области. Допустим, что необходимо получить оценку сигнала y(t) путем линейного преобразования входного сигнала x(t). Положим далее, что сигнал y(t) искажается посторонним шумом n(t), который не зависит от x(t). Если не затрагивать вопроса о физической осуществимости искомого фильтра, то оптимальная весовая функция, отыскиваемая по критерию минbмума среднеквадратичной ошибки, имеет вид

(29)

Где вертикальная черта в подстрочном индексе y│x означает, что y(t) определяется при заданном сигнале x(t).

Минимальное значение среднеквадратичной ошибки для оптимальной системы

(30)

где γ2xy(f) – функция когерентности, связывающая x(t) и y(t) и вычисляемая по формуле (27). Нетрудно видеть, что в том случае, когда когерентность на всех частотах равна единице, функция y(t) получается при линейном преобразовании функции x(t) с нулевой среднеквадратичной ошибкой. При помощи соотношения (30) на практике определяют, насколько близка некоторая реальная система к оптимальной.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти