ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Определение топологического пространства.

I. Элементы топологии.

Топология – одна из наиболее молодых математических дисциплин, включённых в программы некоторых специальностей факультета прикладной математики, компьютерных технологий и физики. Она как раздел науки основана в конце XIX века А. Пуанкаре. Примерно до конца 50-х годов прошлого века топология даже математиками других областей рассматривалась, как красивая, но бесполезная теория. Но за очень короткий период с начала 60-х годов топология, стремительно развиваясь, разветвилась в ряд самостоятельных топологических теорий (алгебраическая топология, дифференциальная топология, гомотопическая топология и др.). Начиная с 70-х годов, началось интенсивное проникновение методов топологии в аппарат физики, а также других наук: химии, биологии. Её результаты используются во многих разделах других математических дисциплин: в теории функций, в комплексном анализе, в теории уравнений с частными производными, в алгебре, в геометрии.

На начальном этапе изучения топологии очень важно хорошо овладеть терминологией этой науки, новой для студентов. Следует запомнить определения вводимых понятий, понимая их смысл, уметь приводить примеры и контрпримеры для соответствующих понятий. Поэтому при выполнении домашнего задания следует, прежде всего, повторить теоретический материал по ранее изученной теме и по теме следующего занятия, ответить на контрольные вопросы следующего занятия, после этого можно приступить к решению задач. При затруднениях в решении задачи можно ещё раз обратиться к теории, список литературы прилагается, можно посмотреть указания к решению задач и ответы. Для большинства задач приведены ответы, для некоторых – даны указания. Рекомендуется перед каждой лекцией просматривать содержание предыдущей лекции, обращая внимание на определения понятий, их свойства, формулировки теорем.

На четвёртом практическом занятии один час аудиторного времени отводится на проведение письменного коллоквиума. Вопросы, к которым студенты должны быть готовы, сформулированы в материалах занятия 4.

 

Занятие 1.

Определение топологического пространства.

Занятие 2.

Внутренние, внешние, граничные точки. Замыкание множества. Подпространство топологического пространства.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения внутренней, внешней, граничной точки множества М в топологическом пространстве (Х, Ф).

2. Какая точка называется точкой прикосновения множества М? Что называется замыканием множества М?

3. Перечислите свойства следующих множеств: внутренность М, внешность М, граница М, замыкание множества М.

4. Какое условие является необходимым и достаточным для того, чтобы множество М было открытым?

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие замкнутости множества.

6. Какое подмножество топологического пространства называется всюду плотным в нем? Нигде не плотным? Дайте определение сепарабельного топологического пространства. Приведите примеры сепарабельных и несепарабельных топологических пространств.

7. Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство, А – подмножество Х. Приведите примеры топологических структур, которые можно задать на множестве А. Относительно какой топологии А называется подпространством топологического пространства?

Задача 2.1. Приведите примеры окрестности точки в следующих пространствах:

а) Х с тривиальной топологией;

б) Х с дискретной топологией;

в) Е2 с естественной топологией;

г) Е2 с концентрической топологией;

д) (Х, Ф) из задачи 1.2 предыдущего занятия.

Задача 2.2. Пусть Е2 – евклидова плоскость. Найдите внутренность, внешность, границу и замыкание множества Р = {М(x,y)½(х-1)2 + y2 £ 4}, если на плоскости задана а) естественная топология; б) концентрическая топология с началом в точке О(0,0).

Задача 2.3. Пусть Х = {a, b, c, d}, Ф = {X, Æ, {a,b,c}, {b,c,d}, {b,c}, {b}}. (Х,Ф) является топологическим пространством (см. задачу 1.8). Найдите в этом пространстве замыкания множеств:

а) М ={b,d};

б) N = {a}.

Задача 2.4. В условиях задачи 1.2 найдите замыкания следующих множеств:

А = {М(x,y)½0 £ x £ 0,5; 0 £ y £ 0,5},

B = {M(x,y)½0,5 < x £ 1, 0 £ y £ 0,5}.

Задача 2.5. Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство с тривиальной топологией Ф. Докажите, что замыкание любого непустого подмножества М множества Х совпадает с Х.

Задача 2.6. Пусть Е3 – евклидово пространство с естественной топологией Ф. Множество А состоит из конечного числа точек: А = {M1, M2, … Mk}. Топология Ф индуцирует на множестве А топологию Ф1 подпространства. Опишите открытые в топологии Ф1 множества.

Задача 2.7. В условиях задачи 1.2 любую из диагоналей А квадрата Х можно рассматривать как подпространство (А,Ф1) топологического пространства (Х,Ф). Опишите открытые в топологии Ф1 множества.

Задача 2.8. Если F – замкнутое подмножество топологического пространства (Х,Ф), то каждое множество, замкнутое в подпространстве (F,Ф1), замкнуто и в (Х,Ф). Докажите.

Задача 2.9. Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство. Обозначим Ох –семейство всех окрестностей точки . Покажите, что

1) если U Ox, то х U;

2) если U Ox, V Ox, то ;

3) если U Ox, , то ;

4) если U Ox, то существует элемент , который удовлетворяет двум условиям: а) ; б) , для любого элемента y V, то есть V является окрестностью каждой из своих точек.

Задача 2.10. Пусть каждому элементу x множества X поставлено в соответствие множество Ох подмножеств из Х так, что имеют место свойства 1-4 задачи 2.9. Докажите, что в Х существует и притом единственная топологическая структура, для которой Ох служит семейством всех окрестностей точки х при любом .

Домашнее задание № 2.

Повторить теорию: аксиомыотделимости, связность, компактность топологических пространств. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 3.

Решить задачи:

Задача 2.11. Пусть Е2 - евклидова плоскость, на которой задана концентрическая топология Ф с центром в точке О; R = (O, i, j) - прямоугольная декартова система координат. В данной топологии найдите внутренние, внешние, граничные точки и замыкания следующих множеств: A = {M(x;y) ½ 1£ x£ 2; 0£ y £1}; B = {M(x;y) ½ 1£ x £2; 0< y <1}; C = {M(x;y) ½ -1£ x £1; -1< y <1}.

Задача 2.12. Пусть Х - топологическое пространство с дискретной топологией Ф, М - непустое подмножество Х, не совпадающее с Х. Найдите внутренние, внешние, граничные точки и замыкание множества М.

Задача 2.13. Докажите, что замыкание пересечения двух множеств содержится в пересечении их замыканий. Приведите пример, показывающий, что обратное включение неверно. А как связаны замыкание объединения и объединение замыканий двух множеств?

Задача 2.14. Докажите, что для любых двух непересекающихся открытых множеств замыкание любого из них не пересекается с другим.

Задача 2.15. Пусть на евклидовой плоскости Е2 с фиксированной точкой О задана концентрическая топология Ф. На прямой m плоскости индуцируется топология Ф1 подпространства. Опишите открытые в топологии Ф1 множества. Для конкретной прямой выберите отрезок на прямой и найдите замыкание отрезка в двух топологиях: Ф и Ф1. Сравните ответы.

Задача 2.16. З а м к н у т о й о б о л о ч к о й множества М в топологическом пространстве (Х, Ф) называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество М. Докажите, что замкнутая оболочка совпадает с замыканием множества. Будем обозначать ее аналогично - .

К. Куратовский определяет топологическое пространство как такое множество Х, в котором каждому подмножеству М сопоставлена его оболочка со следующими свойствами:

а) оболочка объединения множеств равна объединению оболочек этих множеств;

б) множество содержит множество М;

в) оболочкой множества является само множество ;

г) оболочка пустого множества есть пустое множество.

Далее Куратовский определяет замкнутое множество как множество, совпадающее со своей оболочкой, а открытое - как множество, дополнение которого до пространства замкнуто.

Докажите равносильность определений топологического пространства по Куратовскому и через топологическую структуру как семейство открытых множеств, удовлетворяющих аксиомам АТ1 - АТ4.

Занятие 3.

Занятие 4.

Компактность.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение открытого покрытия топологического пространства, определение подпокрытия данного покрытия.

2. В каком случае топологическое пространство называется компактным? Некомпактным? Приведите примеры компактных и некомпактных топологических пространств.

3. Дайте определение компактного (некомпактного) подмножества топологического пространства.

4. Каков критерий компактности подмножества евклидова пространства с естественной топологией?

Задача 4.1. Проверьте на компактность топологические пространства, перечисленные в задаче 3.1.

Задача 4.2. Пусть Х =[0; 10] – отрезок числовой прямой с естественной топологией. Докажите, что множество всех открытых в топологии Ф1 подпространства Х промежутков длины 1 является покрытием Х. Найдите конечное подпокрытие. Какое наименьшее число множеств данного покрытия может покрывать Х? Является ли Х компактным? Почему?

Задача 4.3. (R; Фест.), (Е2; Ф ест.), (Еn; Фест.) – не компактны. Задайте по две топологии на данных множествах, относительно которых они становятся компактными топологическими пространствами.

Коллоквиум (письменный) по темам: определение топологической структуры, топологического пространства; внутренние, внешние, граничные точки, замыкание множества; подпространство топологического пространства; отделимость, связность, компактность.

Вопросы к коллоквиуму.

1. Определение топологического пространства. Примеры.

2. Замкнутые множества в топологическом пространстве. Примеры. Свойства замкнутых множеств.

3. Внутренние, внешние, граничные точки множества. Свойства внутренности, внешности и границы. Замыкание множества.

4. Критерий открытости множества в топологическом пространстве.

5. Критерий замкнутости множества в топологическом пространстве.

6. Базис топологии. Свойства базиса.

7. Подпространство топологического пространства. Примеры.

8. Аксиомы отделимости. Примеры.

9. Связность топологических пространств и множеств. Примеры.

10. Теорема о связности объединения связных множеств, имеющих общую точку (доказательство).

11. Компактность топологических пространств и множеств. Критерий компактности множества в евклидовом пространстве Еn.

Домашнее задание № 4

Повторить теорию: непрерывные отображения топологических пространств; критерий непрерывности; свойства непрерывных отображений. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 5.

Решить задачи:

Задача 4.4. Выясните, какие из перечисленных ниже подмножеств топологического пространства Е3 с естественной топологией являются компактными:

а) отрезок;

б) замкнутый луч;

в) прямая;

г) конечное множество точек;

д) открытый шар;

е) сфера;

ж) множество точек оси Ox, координаты которых 1; 1/2; 1/3; ... 1/n; ....;

з) плоскость.

Задача 4.5. Докажите, что объединение конечного числа компактных множеств является компактным множеством. Приведите пример бесконечного числа компактных множеств, объединение которых не является компактным множеством в топологическом пространстве.

Задача 4.6. Докажите, что незамкнутое подмножество хаусдорфова пространства не компактно.

Задача 4.7. Докажите утверждение:

Для того чтобы топологическое пространство Х было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия Х элементами некоторой фиксированной базы можно было выделить конечное подпокрытие.

Занятие 5.

Непрерывность.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение непрерывного в точке отображения одного топологического пространства в другое.

2. Сформулируйте определение непрерывного на Х (на подмножестве А топологического пространства Х) отображения топологических пространств. Как связаны понятия непрерывного отображения топологических пространств и непрерывной функции?

3. Каков критерий непрерывности отображения топологического пространства (Х, Ф1) в топологическое пространство (Y, Ф2)?

4. Перечислите известные вам свойства непрерывных отображений.

5. Дайте определения сужения отображения f: (X, Ф1)→(Y,Ф2) на подмножество А множества Х; приведения отображения f. Следует ли из непрерывности f непрерывность сужения и приведения f?

Задача 5.1. Докажите, что ортогональное проектирование евклидовой плоскости с естественной топологией на фиксированную прямую этой плоскости является непрерывным отображением. Рассмотрите два способа решения задачи: по определению непрерывного отображения и с использованием критерия непрерывности.

Задача 5.2. Разобьём евклидову плоскость Е2 на два подмножества: А и В, где А – открытый круг с центром в точке О радиуса 1, В – его дополнение до всей плоскости. Отображение f: E2 E2 каждую точку множества А поворачивает на угол 90º вокруг точки О, а каждую точку множества В оставляет неподвижной. В каких точках отображение f непрерывно? Разрывно? Дайте обоснование.

Задача 5.3. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство, точка М0 – фиксированная точка множества Х. Отображение f: Х М0 – постоянное отображение. Является ли f непрерывным отображением?

Задача 5.4. Пусть (X, Ф1) и (Y,Ф2) – топологические пространства. Докажите, что отображение f: X Y непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз любого замкнутого в Y множества является множеством, замкнутым в Х.

Задача 5.5. Пусть отображение f компактного топологического пространства Х на топологическое пространство Y сюръективно и непрерывно. Докажите, что Y компактно.

Задача 5.6. Докажите, что при непрерывном отображении f топологического пространства Х в топологическое пространство Y образом связного в Х множества является множество, связное в Y.

Задача 5.7. Справедливы ли утверждения, обратные утверждениям задач 5 и 6: при непрерывном отображении прообраз компактного (связного) в Y множества является компактным (связным) множеством в Х?

Домашнее задание № 5.

Повторить теорию: непрерывные отображения и гомеоморфизмы, отношение топологической эквивалентности. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 3.

Решить задачи:

Задача 5.8. Докажите следующие два утверждения:

1). Если в топологическом пространстве Х задана дискретная топология, а в Y произвольная, то любое отображение f: X Y непрерывно.

2). Если в топологическом пространстве Y задана тривиальная топология, а в X - произвольная, то любое отображение f: X Y непрерывно.

Задача 5.9. Даны два топологических пространства: X = {M; N} с топологией Ф1 = {X; ; {N}} и Y = { a; b; c; d} c топологией Ф2 = { Y; ; {a;b;c}; {b;c;d}; {b;c}; {b} }. Отображение f: X Y определено по закону: f (M) = a, f (N) = b. Является ли f непрерывным отображением? Изменится ли ответ, если отображение определить по закону: g (M) = c, g (N) = d?

Задача 5.10. Приведите пример непрерывного биективного отображения интервала (-1; 1) числовой прямой на всю числовую прямую. Является ли отображение, обратное данному, непрерывным? Для всякого ли биективного непрерывного отображения обратное отображение непрерывно?

Задача 5.11. Приведите пример непрерывного отображения топологических пространств, при котором образ открытого /замкнутого/ множества не является открытым /замкнутым/.

Задача 5.12. Докажите, что если f - непрерывное отображение X в Y, то для любого подмножества A множества X справедливо: .

Занятие 6.

Занятие 7.

Занятие 8.

Подготовка к контрольной работе.

Задача 8.1. Пусть П – плоскость, l – прямая на плоскости. Отнесём к семейству Ф пустое множество, а также всякое подмножество плоскости, которое содержит прямую l . Докажите, что семейство Ф определяет на плоскости П топологическую структуру. Охарактеризуйте открытые и замкнутые множества в топологическом пространстве (П, Ф).

Задача 8.2. В топологическом пространстве (П,Ф) /задача 8.1/ найдите внутренность, внешность, границу и замыкание следующих множеств:

а) множества Æ, не пересекающегося с прямой l;

б) множества N, содержащего прямую l.

Задача 8.3. Каким аксиомам отделимости удовлетворяет топологическое пространство (П,Ф) /задача 8.1/? Является ли данное топологическое пространство компактным, связным?

Задача 8.4. Пусть X=ABCD - квадрат на евклидовой плоскости с естественной топологией, Y=AB – сторона квадрата. Топологии на Х и на Y индуцированы естественной топологией.

а) Отображение f: X→Y – ортогональное проектирование. Докажите, что отображение f непрерывно; б) Отображение g: Х→Х оставляет неподвижными диагонали квадрата, а остальные его точки поворачивает на угол 90° против часовой стрелки. Является ли отображение g непрерывным?

Задача 8.5. Докажите, что эллиптический параболоид гомеоморфен открытому кругу.

Задача 8.6. Пусть для квадрата ABCD построено факторпространство: отождествлены точки отрезков AB и CD, лежащие на одной прямой, параллельной AD, и точки отрезков BC и AD, лежащие на одной прямой, проходящей через центр квадрата. На заданном факторпространстве рассматривается фактортопология, превращающая его в двумерное топологическое многообразие, которое называется бутылкой Клейна. Докажите, что бутылка Клейна – неориентируемое многообразие. Найдите его эйлерову характеристику.

Задача 8.7. Докажите, что не существует выпуклого многогранника, у которого нет ни одной треугольной грани и ни одного трёхгранного угла.

Занятие 9.

Вариант 0.

1. Пусть Х есть луч [0;+¥] числовой прямой, а семейство Ф состоит из Æ, Х и всевозможных лучей (а, +¥), где а>0. Докажите, что Ф – топологическая структура. Охарактеризуйте открытые и замкнутые множества в этом топологическом пространстве.

2. Найдите внутренние, внешние, граничные точки и замыкание множества Р = [3; 7].

3. Исследуйте топологическое пространство из задачи 1 на отделимость, компактность, связность.

4. Докажите, что ортогональное проектирование синусоиды на ось абсцисс является непрерывным отображением. Является ли это отображение гомеоморфизмом?

5. Докажите, что отрезок и квадрат не гомеоморфны.

6. Докажите, что замкнутое подмножество компактного множества компактно.

Занятие 1.

Занятие 3.

Занятие 4.

Занятие 5.

Занятие 6.

Занятие 7.

Полная и средняя кривизны.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение второй квадратичной формы поверхности. Как выражаются коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, заданной параметрическими уравнениями?

2. Сформулируйте определение нормальной кривизны кривой на гладкой поверхности. Какой вид имеет аналитическое выражение нормальной кривизны кривой? От чего зависит нормальная кривизна кривой на поверхности?

3. Дайте определение нормальной кривизны поверхности в данной точке в данном направлении.

4. Какое направление в точке на поверхности называется главным? Дайте определение главной нормальной кривизны поверхности в точке.

5. Дайте определение полной (гауссовой) кривизны поверхности; средней кривизны поверхности. Приведите формулы для вычисления полной и средней кривизны через коэффициенты квадратичных форм поверхности.

6. Какая точка поверхности называется точкой уплощения? Омбилической точкой? Как аналитически характеризуются указанные точки? Как классифицируются точки поверхности по знаку полной кривизны?

7. Приведите примеры поверхностей, имеющих постоянную полную кривизну.

 

Задача 7.1.Докажите, что вторая квадратичная форма плоскости тождественно равна нулю, вторая квадратичная форма сферы пропорциональна ее первой квадратичной форме.

Задача 7.2.Для прямого геликоида x = u cos v, y = u sin v, z = av найдите первую и вторую квадратичные формы и определите главные направления и главные кривизны в произвольной точке.

Задача 7.3.Найдите полную и среднюю кривизны прямого геликоида. На каких линиях полная кривизна постоянна?

Задача 7.4.Дана поверхность вращения:

.

а). Найдите первую и вторую квадратичную форму;

б). Найдите полную кривизну в произвольной точке поверхности. Выясните зависимость знака кривизны от направления выпуклости меридиана;

в). Найдите среднюю кривизну в произвольной точке данной поверхности вращения.

Задача 7.5.Исследуйте характер точек на поверхностях, полученных вращением линий:

а) линия y = ln x, x ¹ 1, вращается вокруг оси Ox.

б) линия y = ln x вращается вокруг оси Oy.

Задача 7.6.Докажите, что омбилические точки характеризуются равенством H = K.

Задача 7.7.Докажите, что единственной поверхностью, состоящей целиком из точек уплощения, является плоскость или часть плоскости.

Домашнее задание № 7.

Занятие 8.

 

Контрольная работа по теме “Поверхности в евклидовом пространстве”.

 

 


 

Указания к решению задач и ответы.

Занятие 1.

1.2. Является. Указание: проверьте выполнение аксиом топологической структуры.

1.3. Пустое множество, а также множества, заданные системами неравенств: где .

1.5. Подмножества 2), 6), 8) – открыты, подмножества 1), 3), 5), 7) – замкнуты.

1.6. Для открытых множеств рассмотрите, например, объединение множеств для всех N. Попробуйте привести другие примеры. Приведите пример бесконечного числа замкнутых множеств, пересечение которых не замкнуто.

1.7. Топологическое пространство с тривиальной топологией, содержащее больше одной точки; топологическое пространство из задачи 1.2.

1.9. Ф1 является топологическим пространством, Ф2 и Ф3 – не являются.

1.10. Замкнуты пустое множество, всё пространство, одноточечное множество, состоящее из точки О и все замкнутые шары с центром в точке О.

1.14. Рассмотрите всю плоскость или одноточечное множество на плоскости с естественной топологией.

1.15. Докажите предварительно теоретико-множественные соотношения: \F=(X\F)∩U, X\(F\U)=(X\F) U. Далее воспользуйтесь свойствами открытых множеств и определением и свойствами замкнутых множеств.

 

Занятие 2.

2.2. = Х; .

2.3. .

2.6. Ф1 – дискретная топология.

2.11. int A = Æ; ext A = Æ; ; .

2.12. \ M; .

2.13. УКАЗАНИЕ: Воспользуйтесь определениями замыкания множества, точки прикосновения множества. В качестве примера рассмотрите два открытых круга на плоскости, граничные окружности которых касаются друг друга внешним образом в точке А. Докажите, что для объединения имеет место равенство: .

 

Занятие 3.

3.1. Топологическое пространство задачи 1.1 – Т0-пространство; задач 1.2, 1.4, 1.10 – не удовлетворяют ни одной из аксиом отделимости, задачи 1.4. – Т1- пространство.

3.4. Связны топологические пространства задач 1.1, 1.2, 1,4, 1.10.

3.8. УКАЗАНИЕ: На прямой y = x нет ни одной точки данного множества.

Занятие 4.

4.4. Отрезок, конечное множество точек, сфера.

 

Занятие 5.

5.2. Отображение разрывно в точках окружности – границы данного круга, и непрерывно в остальных точках плоскости.

5.3. Отображение непрерывно. Докажите, опираясь на определение непрерывного отображения или на критерий непрерывности.

5.5. УКАЗАНИЕ: Выбрав открытое покрытие топологического пространства Y, воспользуйтесь критерием непрерывности отображения f, а также компактностью топологического пространства Х.

5.6. УКАЗАНИЕ: Допустив противное, воспользуйтесь критерием непрерывности отображения. Из этого будет следовать несвязность исходного множества, что противоречит условию.

5.7. Не справедливы. Приведите соответствующие примеры.

5.9. Отображение f непрерывно, отображение g не является непрерывным.

5.10. Не для всякого. Рассмотрите топологические пространства (Е2, Фтрив.), (Е2, Фест) и отображение f, определённое формулой: f(х) = х, для любого элемента х Е2.

5.12. Воспользовавшись непрерывностью отображения f, докажите, что образом точки прикосновения множества А является точка прикосновения множества f(A).

Занятие 6.

6.1. Отображение f – не гомеоморфизм. Обратное отображение не является непрерывным в точке пересечения окружности с осью абсцисс.

6.3. а) Рассмотрите функцию y=tg x.

б) Рассмотрите на плоскости полярную систему координат и воспользуйтесь результатом задачи а).

в) Рассмотрите в пространстве сферические координаты.

г) Рассмотрите стереографическую проекцию сферы на плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно диаметру, одним из концов которого является выколотая точка.

6.4. УКАЗАНИЕ: Сужение непрерывного отображения на подмножество области определения непрерывно. Приведение непрерывного отображения (то есть отображение области определения на её образ) является непрерывным отображением. Эти утверждения в некоторых случаях дают возможность, вычитая из одного топологического пространства определённое подмножество, а из второго – образ этого подмножества, превращать первое в несвязное топологическое пространство, второе при этом остаётся связным. Предполагая существование гомеоморфизма первого пространства на второе и учитывая, что приведение сужения гомеоморфизма является гомеоморфизмом, то есть должно связность или несвязность сохранять, приходим к противоречию. Это позволяет сделать вывод о негомеоморфности рассматриваемых топологических пространств или их подмножеств.

При гомеоморфизме сохраняется также число компонент связности, компактность или некомпактность, другие топологические свойства.

6.5. а) гомеоморфны, б), в) – не гомеоморфны.

6.6. В Е3 существуют негомеоморфные замкнутые выпуклые множества, например, отрезок и замкнутый луч.

6.8. Совместите мнимую ось однополостного гиперболоида и ось цилиндра и спроектируйте однополостный гиперболоид на цилиндр из точек общей оси.

6.9. Воспользуйтесь тем, что каждая образующая цилиндра гомеоморфна интервалу.

6.10. См. указание к задаче 6.4. Пусть f – гомеоморфизм круга на сферу. Вычтите из круга хорду AB, а из сферы – образ хорды f(AB), то есть некоторую дугу. Круг с удалённой хордой не связен, а сфера, из которой удалена дуга – связное множество. Это противоречит результату задачи 5.6.

6.11. а) Не гомеоморфны. Первый способ. Можно воспользоваться той же идеей, что и при решении задачи 6.10. Второй способ. Воспользуйтесь тем, что любая точка круга имеет окрестность, граница которой связна; граница окрестности любой точки окружности либо несвязна, либо является пустым множеством.

б) Не гомеоморфны.

6.12. Не гомеоморфны.

6.14. Плоскость и замкнутый круг; прямая и отрезок. Приведите другие примеры.

Занятие 7.

 

7.1. Всякое открытое подмножество Еn является многообразием. Не всякое замкнутое подмножество является многообразием или многообразием с краем. Приведите примеры замкнутых подмножеств пространств Е2 или Е3, являющихся и не являющихся многообразиями или многообразиями с краем.

7.2. В качестве карт рассмотрите ортогональное проектирование полусфер на соответствующие координатные плоскости. Сферу можно покрыть координатными окрестностями двух карт. Если S2 – сфера, А(0;0;1) и В(0;0;-1) – две диаметрально противоположные точки, то соответствующими координатными окрестностями являются множества и , а картами – стереографические проекции (центральные проектирования соответственно из центров A и B): .

7.4. Не является. Для вершины конической поверхности не существует координатной окрестности двумерной карты.

7.5. Эйлерова характеристика сферы , эйлерова характеристика тора .

7.6. .

7.7.

7.10. .

7.11. а) , б) .

7.12. Примените теорему Эйлера.

7.13. Примените теорему Эйлера.

7.14. .

 

Занятие 8.

8.1. Всякое открытое непустое множество содержит прямую l. Всякое замкнутое множество, не совпадающее со всем пространством, не имеет общих точек с прямой l.

8.2.

8.3. Не удовлетворяет ни одной из аксиом отделимости; не компактно; связно.

8.4. Отображение g не является непрерывным. Докажите разрывность отображения g в точках диагоналей квадрата.

8.5. Докажите, что эллиптический параболоид гомеоморфен плоскости и воспользуйтесь результатом задачи 6.3. б).

8.6. .

8.7. Примените теорему Эйлера.

 

 

Занятие 1.

1.1. Кривая класса на множестве R. Проекции на координатные плоскости определяются уравнениями: , .

1.2. .

1.4. а) ; б) .

1.5. а) М1(0;0), М2(2;2), .

1.6. , . Частные производные вычислены в точке М0.

1.7. Подэра параболы – касательная к параболе в её вершине; подэра эллипса – окружность, описанная около эллипса.; подэра гиперболы – окружность, проходящая через вершины гиперболы и имеющая центром центр этой гиперболы.

1.8. R=0,5.

1.9. .

1.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) - уравнение касательной в декартовых координатах, - уравнение касательной в полярных координатах.

1.12. Нет.

1.13. - неявные уравнения; - параметрические уравнения, где u- долгота точки на сфере.

 

Занятие 2.

2.1. .

2.2. а) .

б) .

2.3. .

2.4. .

2.5. s=10.

2.6. .

2.8. a) ; б) ; в) .

2.9. .

2.10. .

2.11. s=8a.

2.12. a)

б) .

2.14. .

Занятие 3.

3.1 .

3.2. ;

касательная: ;

бинормаль: ;

главная нормаль: ;

нормальная плоскость: ;

соприкасающаяся плоскость: ;

спрямляющая плоскость: .

3.4. .

3.5. .

3.6. а) ; б)

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти