ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Открытые и замкнутые множества.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения топологической структуры; топологического пространства.

2. Какие множества в топологическом пространстве называются открытыми?

3. Какие множества открыты в топологическом пространстве с тривиальной топологией, с дискретной топологией?

4. Какие множества открыты в естественной топологии числовой прямой? На прямой? На плоскости? В трехмерном пространстве?

5. Как определяется топология, индуцированная метрикой, в метрических пространствах?

6. Какие множества в топологическом пространстве называются замкнутыми? Перечислите свойства замкнутых множеств. Приведите примеры замкнутых множеств в естественной топологии числовой прямой; в тривиальной топологии; в дискретной топологии.

Задача 1.1. Пусть множество Х состоит из двух точек М и N. Семейство Ф подмножеств множества Х содержит множество Х, пустое множество и одноточечное подмножество {N}. Докажите, что (Х, Ф) является топологическим пространством. Назовите все открытые и все замкнутые множества в данной топологии. Перечислите все топологии, которые могут быть заданы на множестве Х.

Задача 1.2. Пусть множество Х – квадрат, то есть множество точек евклидовой плоскости, координаты которых связаны соотношениями 0 £ х £ 1 и 0 £ y £1. К семейству Ф отнесем Х, пустое множество, а также произвольную ²полосу², то есть множество Ga = {M(x,y)½ a < x £ 1, 0 £ y £1}, где 0 £ а < 1. Является ли (Х,Ф) топологическим пространством?

Задача 1.3. Определите все замкнутые множества в топологическом пространстве (Х,Ф), рассмотренном в предыдущей задаче.

Задача 1.4. Пусть Х – бесконечное множество и Фк = {AÌ X½X \ A конечно или А = Æ}. Доказать, что 1) Фк – топология на Х (ее называют конечной топологией); 2) любые два непустых открытых множества в (Х, Фк) пересекаются.

Задача 1.5. Е3 – евклидово пространство с естественной топологией. Какие из перечисленных ниже множеств являются а) открытыми; б) замкнутыми:

1) отрезок с концами в точках а и b;

2) открытое полупространство;

3) множество всех точек некоторой прямой;

4) открытый луч;

5) множество всех точек сферы;

6) множество всех внутренних точек куба;

7) множество всех точек некоторой плоскости;

8) множество всех точек, не принадлежащих некоторой плоскости?

Задача 1.6. Приведите примеры, показывающие, что в топологическом пространстве пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым множеством; объединение бесконечного числа замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством.

Задача 1.7. Приведите пример топологического пространства, в котором никакое одноточечное подмножество не замкнуто.

Задача 1.8. Пусть (Х,ρ) - метрическое пространство, причем метрика ρ определена следующим образом:

Какие множества будут открыты в топологии, порождённой данной метрикой?

Домашнее задание № 1.

Повторить теорию: Определение топологического пространства, открытые и замкнутые множества. Внутренние, внешние, граничные точки. Замыкание множества. Ответьте на контрольные вопросы занятия 2.

Решить задачи:

Задача 1.9. Пусть множество X состоит из четырех элементов: {a, b, c, d}. Являются ли перечисленные ниже семейства подмножеств множества X топологиями на X?

a) Ф1 = {X; Æ; {a,b,c}; {b,c,d}; {b,c}; {b}}

b) Ф2 = {X; Æ; {a,b,c}; {b,c,d}; {b,d}; {c}}

c) Ф3 = {X; Æ; {a,b,c}; {b;c}; {d}].

Задача 1.10. Зафиксируем точку O в трехмерном евклидовом пространстве. Открытыми множествами назовем пустое множество, все пространство, а также внешние области шаров с центром в точке O с радиусами r (0£ r <¥), то есть множества Gr = {M Î E3 | |OM| > r}.

Докажите, что семейство всех выделенных открытых множеств определяет топологию в Е3. Какие множества являются замкнутыми в указанной топологии?

Задача 1.11. Докажите, что пересечение любого семейства топологий на множестве X является топологией на X. (Множество считается открытым в пересечении топологий, если оно открыто в каждой из топологий).

Задача 1.12. Если множество X содержит более двух точек, то объединение двух топологий на X может не быть топологией на X. Докажите.

Задача 1.13. Приведите пример замкнутого множества на евклидовой плоскости с естественной топологией, превращающегося в открытое при удалении одной его точки.

Задача 1.14. Докажите, что если в топологическом пространстве (Х, Ф) множество U открыто, а множество F - замкнуто, то U \ F - открыто, а F \ U - замкнуто.

Задача 1.15. Задайте на прямой топологию, относительно которой

а) любое подмножество прямой замкнуто;

б) никакое одноточечное подмножество не замкнуто.

Существуют ли другие топологии, удовлетворяющие этим условиям?

Задача 1.16. Докажите, что в любом метрическом пространстве одноточечное подмножество замкнуто.

 

 

Занятие 2.

Внутренние, внешние, граничные точки. Замыкание множества. Подпространство топологического пространства.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определения внутренней, внешней, граничной точки множества М в топологическом пространстве (Х, Ф).

2. Какая точка называется точкой прикосновения множества М? Что называется замыканием множества М?

3. Перечислите свойства следующих множеств: внутренность М, внешность М, граница М, замыкание множества М.

4. Какое условие является необходимым и достаточным для того, чтобы множество М было открытым?

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие замкнутости множества.

6. Какое подмножество топологического пространства называется всюду плотным в нем? Нигде не плотным? Дайте определение сепарабельного топологического пространства. Приведите примеры сепарабельных и несепарабельных топологических пространств.

7. Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство, А – подмножество Х. Приведите примеры топологических структур, которые можно задать на множестве А. Относительно какой топологии А называется подпространством топологического пространства?

Задача 2.1. Приведите примеры окрестности точки в следующих пространствах:

а) Х с тривиальной топологией;

б) Х с дискретной топологией;

в) Е2 с естественной топологией;

г) Е2 с концентрической топологией;

д) (Х, Ф) из задачи 1.2 предыдущего занятия.

Задача 2.2. Пусть Е2 – евклидова плоскость. Найдите внутренность, внешность, границу и замыкание множества Р = {М(x,y)½(х-1)2 + y2 £ 4}, если на плоскости задана а) естественная топология; б) концентрическая топология с началом в точке О(0,0).

Задача 2.3. Пусть Х = {a, b, c, d}, Ф = {X, Æ, {a,b,c}, {b,c,d}, {b,c}, {b}}. (Х,Ф) является топологическим пространством (см. задачу 1.8). Найдите в этом пространстве замыкания множеств:

а) М ={b,d};

б) N = {a}.

Задача 2.4. В условиях задачи 1.2 найдите замыкания следующих множеств:

А = {М(x,y)½0 £ x £ 0,5; 0 £ y £ 0,5},

B = {M(x,y)½0,5 < x £ 1, 0 £ y £ 0,5}.

Задача 2.5. Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство с тривиальной топологией Ф. Докажите, что замыкание любого непустого подмножества М множества Х совпадает с Х.

Задача 2.6. Пусть Е3 – евклидово пространство с естественной топологией Ф. Множество А состоит из конечного числа точек: А = {M1, M2, … Mk}. Топология Ф индуцирует на множестве А топологию Ф1 подпространства. Опишите открытые в топологии Ф1 множества.

Задача 2.7. В условиях задачи 1.2 любую из диагоналей А квадрата Х можно рассматривать как подпространство (А,Ф1) топологического пространства (Х,Ф). Опишите открытые в топологии Ф1 множества.

Задача 2.8. Если F – замкнутое подмножество топологического пространства (Х,Ф), то каждое множество, замкнутое в подпространстве (F,Ф1), замкнуто и в (Х,Ф). Докажите.

Задача 2.9. Пусть (Х,Ф) – топологическое пространство. Обозначим Ох –семейство всех окрестностей точки . Покажите, что

1) если U Ox, то х U;

2) если U Ox, V Ox, то ;

3) если U Ox, , то ;

4) если U Ox, то существует элемент , который удовлетворяет двум условиям: а) ; б) , для любого элемента y V, то есть V является окрестностью каждой из своих точек.

Задача 2.10. Пусть каждому элементу x множества X поставлено в соответствие множество Ох подмножеств из Х так, что имеют место свойства 1-4 задачи 2.9. Докажите, что в Х существует и притом единственная топологическая структура, для которой Ох служит семейством всех окрестностей точки х при любом .

Домашнее задание № 2.

Повторить теорию: аксиомыотделимости, связность, компактность топологических пространств. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 3.

Решить задачи:

Задача 2.11. Пусть Е2 - евклидова плоскость, на которой задана концентрическая топология Ф с центром в точке О; R = (O, i, j) - прямоугольная декартова система координат. В данной топологии найдите внутренние, внешние, граничные точки и замыкания следующих множеств: A = {M(x;y) ½ 1£ x£ 2; 0£ y £1}; B = {M(x;y) ½ 1£ x £2; 0< y <1}; C = {M(x;y) ½ -1£ x £1; -1< y <1}.

Задача 2.12. Пусть Х - топологическое пространство с дискретной топологией Ф, М - непустое подмножество Х, не совпадающее с Х. Найдите внутренние, внешние, граничные точки и замыкание множества М.

Задача 2.13. Докажите, что замыкание пересечения двух множеств содержится в пересечении их замыканий. Приведите пример, показывающий, что обратное включение неверно. А как связаны замыкание объединения и объединение замыканий двух множеств?

Задача 2.14. Докажите, что для любых двух непересекающихся открытых множеств замыкание любого из них не пересекается с другим.

Задача 2.15. Пусть на евклидовой плоскости Е2 с фиксированной точкой О задана концентрическая топология Ф. На прямой m плоскости индуцируется топология Ф1 подпространства. Опишите открытые в топологии Ф1 множества. Для конкретной прямой выберите отрезок на прямой и найдите замыкание отрезка в двух топологиях: Ф и Ф1. Сравните ответы.

Задача 2.16. З а м к н у т о й о б о л о ч к о й множества М в топологическом пространстве (Х, Ф) называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество М. Докажите, что замкнутая оболочка совпадает с замыканием множества. Будем обозначать ее аналогично - .

К. Куратовский определяет топологическое пространство как такое множество Х, в котором каждому подмножеству М сопоставлена его оболочка со следующими свойствами:

а) оболочка объединения множеств равна объединению оболочек этих множеств;

б) множество содержит множество М;

в) оболочкой множества является само множество ;

г) оболочка пустого множества есть пустое множество.

Далее Куратовский определяет замкнутое множество как множество, совпадающее со своей оболочкой, а открытое - как множество, дополнение которого до пространства замкнуто.

Докажите равносильность определений топологического пространства по Куратовскому и через топологическую структуру как семейство открытых множеств, удовлетворяющих аксиомам АТ1 - АТ4.

Занятие 3.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти