ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Отделимость. Связность. Компактность.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте различные аксиомы отделимости. Как называются топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам АО0; АО1; АО2; АО1+ АО3; АО1+ АО4?

2. Приведите примеры пространств, удовлетворяющие разным аксиомам отделимости, не удовлетворяющих ни одной из аксиом. Сформулируйте необходимые и достаточные условия Т0, Т1, Т2-отделимости.

3. Дайте определения несвязного (связного) топологического пространства. Сформулируйте необходимое и достаточное условие связности (второе определение связности) топологического пространства.

4. Как вводится понятие связного (несвязного) подмножества топологического пространства? Приведите примеры связных и несвязных подмножеств евклидова пространства с естественной топологией.

 

Задача 3.1. Проверьте, каким аксиомам отделимости удовлетворяют топологические пространства, рассмотренные в задачах 1.1, 1.2, 1.4, 1.10, а также приведённые в качестве примеров на лекции.

Задача 3.2. Докажите, что если множество точек Т1-пространства (Х, Ф) конечно, то Ф – дискретная топология.

Задача 3.3. Докажите, что пространство (Х, Ф) нормально тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого множества F и любой его окрестности UF существует такая окрестность VF этого множества, для которой .

Задача 3.4. Проверьте на связность топологические пространства, перечисленные в задаче 3.1.

Задача 3.5. Приведите пример связных множеств в топологическом пространстве, объединение которых а) не связно; б) связно.

Задача 3.6. Приведите пример связных множеств в топологическом пространстве, пересечение которых а) не связно; б) связно.

Задача 3.7. Пусть М – связное множество. Докажите, что тогда замыкание М – связно. Докажите, что если , то Y связно.

Задача 3.8. Докажите, что множество точек евклидовой плоскости, каждая из которых имеет ровно одну рациональную координату, не связно. Топология на плоскости естественная.

Домашнее задание № 3

Повторить теорию: 1)Компактность топологических пространств, компактность подмножеств топологических пространств. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 4. 2) Повторить темы: определение топологической структуры, топологического пространства; внутренние, внешние, граничные точки, замыкание множества; подпространство топологического пространства; отделимость, связность, компактность.

Решить задачи:

Задача 3.9. Пусть X ={a,b,c,d}. Семейство подмножеств Ф = {X, Æ, {a,b,c}, {b,c,d}, {b,c}, {b}}. Было доказано, что (Х,Ф) - топологическое пространство. Является ли указанное топологическое пространство связным? Каким аксиомам отделимости оно удовлетворяет?

Задача 3.10. Докажите, что если Х не связно и U и V - разбиение пространства Х, то каждое связное подмножество А пространства Х целиком лежит или в U или в V.

Задача 3.11. Пусть (Х, Фк) - топологическое пространство с конечной топологией (см. соответствующую задачу первого занятия). Докажите, что

а) все пространство Х связно;

б) всякое бесконечное подмножество в Х связно.

Задача 3.12. Докажите, что если А и В - связные подмножества пространства Х и замыкание множества А пересекается с множеством В, то объединение множеств А и В связно.

Задача 3.13. Докажите, что если А и В - замкнутые в Х множества, объединение и пересечение которых являются связными в Х множествами, то и сами А и В - связные множества. Покажите на примере, что предположение о замкнутости существенно.

Задача 3.14. Пусть Х - топологическое пространство и Х’ - его подпространство. Покажите, что если выполняется одно из условий:

a) Х - То -пространство;

b) Х - Т1-пространство;

c) Х - хаусдорфово пространство;

d) Х - регулярное пространство,

то тому же условию удовлетворяет и пространство Х’.

Задача 3.15. Докажите, что замкнутое подпространство нормального пространства нормально.

Занятие 4.

Компактность.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение открытого покрытия топологического пространства, определение подпокрытия данного покрытия.

2. В каком случае топологическое пространство называется компактным? Некомпактным? Приведите примеры компактных и некомпактных топологических пространств.

3. Дайте определение компактного (некомпактного) подмножества топологического пространства.

4. Каков критерий компактности подмножества евклидова пространства с естественной топологией?

Задача 4.1. Проверьте на компактность топологические пространства, перечисленные в задаче 3.1.

Задача 4.2. Пусть Х =[0; 10] – отрезок числовой прямой с естественной топологией. Докажите, что множество всех открытых в топологии Ф1 подпространства Х промежутков длины 1 является покрытием Х. Найдите конечное подпокрытие. Какое наименьшее число множеств данного покрытия может покрывать Х? Является ли Х компактным? Почему?

Задача 4.3. (R; Фест.), (Е2; Ф ест.), (Еn; Фест.) – не компактны. Задайте по две топологии на данных множествах, относительно которых они становятся компактными топологическими пространствами.

Коллоквиум (письменный) по темам: определение топологической структуры, топологического пространства; внутренние, внешние, граничные точки, замыкание множества; подпространство топологического пространства; отделимость, связность, компактность.

Вопросы к коллоквиуму.

1. Определение топологического пространства. Примеры.

2. Замкнутые множества в топологическом пространстве. Примеры. Свойства замкнутых множеств.

3. Внутренние, внешние, граничные точки множества. Свойства внутренности, внешности и границы. Замыкание множества.

4. Критерий открытости множества в топологическом пространстве.

5. Критерий замкнутости множества в топологическом пространстве.

6. Базис топологии. Свойства базиса.

7. Подпространство топологического пространства. Примеры.

8. Аксиомы отделимости. Примеры.

9. Связность топологических пространств и множеств. Примеры.

10. Теорема о связности объединения связных множеств, имеющих общую точку (доказательство).

11. Компактность топологических пространств и множеств. Критерий компактности множества в евклидовом пространстве Еn.

Домашнее задание № 4

Повторить теорию: непрерывные отображения топологических пространств; критерий непрерывности; свойства непрерывных отображений. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 5.

Решить задачи:

Задача 4.4. Выясните, какие из перечисленных ниже подмножеств топологического пространства Е3 с естественной топологией являются компактными:

а) отрезок;

б) замкнутый луч;

в) прямая;

г) конечное множество точек;

д) открытый шар;

е) сфера;

ж) множество точек оси Ox, координаты которых 1; 1/2; 1/3; ... 1/n; ....;

з) плоскость.

Задача 4.5. Докажите, что объединение конечного числа компактных множеств является компактным множеством. Приведите пример бесконечного числа компактных множеств, объединение которых не является компактным множеством в топологическом пространстве.

Задача 4.6. Докажите, что незамкнутое подмножество хаусдорфова пространства не компактно.

Задача 4.7. Докажите утверждение:

Для того чтобы топологическое пространство Х было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия Х элементами некоторой фиксированной базы можно было выделить конечное подпокрытие.

Занятие 5.

Непрерывность.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение непрерывного в точке отображения одного топологического пространства в другое.

2. Сформулируйте определение непрерывного на Х (на подмножестве А топологического пространства Х) отображения топологических пространств. Как связаны понятия непрерывного отображения топологических пространств и непрерывной функции?

3. Каков критерий непрерывности отображения топологического пространства (Х, Ф1) в топологическое пространство (Y, Ф2)?

4. Перечислите известные вам свойства непрерывных отображений.

5. Дайте определения сужения отображения f: (X, Ф1)→(Y,Ф2) на подмножество А множества Х; приведения отображения f. Следует ли из непрерывности f непрерывность сужения и приведения f?

Задача 5.1. Докажите, что ортогональное проектирование евклидовой плоскости с естественной топологией на фиксированную прямую этой плоскости является непрерывным отображением. Рассмотрите два способа решения задачи: по определению непрерывного отображения и с использованием критерия непрерывности.

Задача 5.2. Разобьём евклидову плоскость Е2 на два подмножества: А и В, где А – открытый круг с центром в точке О радиуса 1, В – его дополнение до всей плоскости. Отображение f: E2 E2 каждую точку множества А поворачивает на угол 90º вокруг точки О, а каждую точку множества В оставляет неподвижной. В каких точках отображение f непрерывно? Разрывно? Дайте обоснование.

Задача 5.3. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство, точка М0 – фиксированная точка множества Х. Отображение f: Х М0 – постоянное отображение. Является ли f непрерывным отображением?

Задача 5.4. Пусть (X, Ф1) и (Y,Ф2) – топологические пространства. Докажите, что отображение f: X Y непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз любого замкнутого в Y множества является множеством, замкнутым в Х.

Задача 5.5. Пусть отображение f компактного топологического пространства Х на топологическое пространство Y сюръективно и непрерывно. Докажите, что Y компактно.

Задача 5.6. Докажите, что при непрерывном отображении f топологического пространства Х в топологическое пространство Y образом связного в Х множества является множество, связное в Y.

Задача 5.7. Справедливы ли утверждения, обратные утверждениям задач 5 и 6: при непрерывном отображении прообраз компактного (связного) в Y множества является компактным (связным) множеством в Х?

Домашнее задание № 5.

Повторить теорию: непрерывные отображения и гомеоморфизмы, отношение топологической эквивалентности. Ответьте на контрольные вопросы к занятию 3.

Решить задачи:

Задача 5.8. Докажите следующие два утверждения:

1). Если в топологическом пространстве Х задана дискретная топология, а в Y произвольная, то любое отображение f: X Y непрерывно.

2). Если в топологическом пространстве Y задана тривиальная топология, а в X - произвольная, то любое отображение f: X Y непрерывно.

Задача 5.9. Даны два топологических пространства: X = {M; N} с топологией Ф1 = {X; ; {N}} и Y = { a; b; c; d} c топологией Ф2 = { Y; ; {a;b;c}; {b;c;d}; {b;c}; {b} }. Отображение f: X Y определено по закону: f (M) = a, f (N) = b. Является ли f непрерывным отображением? Изменится ли ответ, если отображение определить по закону: g (M) = c, g (N) = d?

Задача 5.10. Приведите пример непрерывного биективного отображения интервала (-1; 1) числовой прямой на всю числовую прямую. Является ли отображение, обратное данному, непрерывным? Для всякого ли биективного непрерывного отображения обратное отображение непрерывно?

Задача 5.11. Приведите пример непрерывного отображения топологических пространств, при котором образ открытого /замкнутого/ множества не является открытым /замкнутым/.

Задача 5.12. Докажите, что если f - непрерывное отображение X в Y, то для любого подмножества A множества X справедливо: .

Занятие 6.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти