ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Двумерные топологические многообразия. Эйлерова характеристика двумерного многообразия.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение n-мерной карты (координатной системы); координатной окрестности карты.

2. Какое топологическое пространство называется n-мерным топологическим многообразием? Приведите примеры топологических многообразий.

3. Дайте определение многообразия с краем. Приведите примеры.

4. Дайте определение клетки; клеточного разложения многообразия.

5. Как определяется эйлерова характеристика двумерного замкнутого многообразия или двумерного компактного многообразия с краем? Какими свойствами обладает эйлерова характеристика?

6. Сформулируйте теорему Эйлера для простых многогранников.

7. Какое многообразие называется ориентируемым /неориентируемым/? Приведите примеры ориентируемых и неориентируемых многообразий.

Задача 7.1. Докажите, что n-мерное евклидово пространство Еn с естественной топологией является n-мерным топологическим многообразием. Всякое ли открытое подмножество Еn является многообразием? Будет ли каждое замкнутое подмножество Еn многообразием или многообразием с краем?

Задача 7.2. Докажите, что сферу S: x2+y2+z2=1 в евклидовом пространстве Е3 можно покрыть шестью полусферами: ; ( x<0; y>0; y<0; z>0; z<0), каждая из которых является областью определения некоторой карты на сфере.

Можно ли сферу покрыть координатными окрестностями только двух карт?

Задача 7.3. Докажите, что гиперболический параболоид является двумерным топологическим многообразием, при этом его можно покрыть координатной окрестностью одной карты.

Задача 7.4. Является ли топологическим многообразием коническая поверхность второго порядка? Почему?

Задача 7.5. Докажите, что сфера и тор являются ориентируемыми двумерными замкнутыми (компактными) многообразиями. Найдите их эйлеровы характеристики.

Задача 7.6. Докажите, что плоское кольцо является двумерным ориентируемым компактным многообразием с краем и найдите его эйлерову характеристику.

Задача 7.7. Докажите, что проективная плоскость – неориентируемое двумерное замкнутое многообразие и найдите эйлерову характеристику проективной плоскости.

Домашнее задание № 7.

Повторить теоретический материал по всем темам, готовиться к контрольной работе и к зачёту.

Задача 7.8. Докажите, что если топологическое пространство X является n-мерным топологическим многообразием, то гомеоморфное ему топологическое пространство Y также является n-мерным топологическим многообразием.

Задача 7.9. Докажите, что однополостный гиперболоид является двумерным топологическим многообразием, которое можно покрыть координатными окрестностями четырёх карт. Можно ли покрыть однополостный гиперболоид координатными окрестностями двух карт? Одной карты?

Задача 7.10. Докажите, что замкнутый круг, из которого удалены три попарно непересекающихся открытых круга, является двумерным топологическим многообразием с краем. Докажите его ориентируемость и найдите эйлерову характеристику.

Задача 7.11. Докажите ориентируемость и найдите эйлерову характеристику боковой поверхности а) n-угольной призмы; б) n-угольной пирамиды.

Задача 7.12. Докажите, что не существует выпуклого многогранника, все грани которого являются шестиугольниками.

Задача 7.13. Докажите, что не существует многогранника, имеющего семь рёбер.

Задача 7.14. Докажите неориентируемость и вычислите эйлерову характеристику листа Мёбиуса.

Задача 7.15. Докажите, что во всяком многограннике нулевого рода число вершин , число сторон и число граней удовлетворяют неравенствам:

а)

б) .

Занятие 8.

Повторение материала раздела «Элементы топологии».

Подготовка к контрольной работе.

Задача 8.1. Пусть П – плоскость, l – прямая на плоскости. Отнесём к семейству Ф пустое множество, а также всякое подмножество плоскости, которое содержит прямую l . Докажите, что семейство Ф определяет на плоскости П топологическую структуру. Охарактеризуйте открытые и замкнутые множества в топологическом пространстве (П, Ф).

Задача 8.2. В топологическом пространстве (П,Ф) /задача 8.1/ найдите внутренность, внешность, границу и замыкание следующих множеств:

а) множества Æ, не пересекающегося с прямой l;

б) множества N, содержащего прямую l.

Задача 8.3. Каким аксиомам отделимости удовлетворяет топологическое пространство (П,Ф) /задача 8.1/? Является ли данное топологическое пространство компактным, связным?

Задача 8.4. Пусть X=ABCD - квадрат на евклидовой плоскости с естественной топологией, Y=AB – сторона квадрата. Топологии на Х и на Y индуцированы естественной топологией.

а) Отображение f: X→Y – ортогональное проектирование. Докажите, что отображение f непрерывно; б) Отображение g: Х→Х оставляет неподвижными диагонали квадрата, а остальные его точки поворачивает на угол 90° против часовой стрелки. Является ли отображение g непрерывным?

Задача 8.5. Докажите, что эллиптический параболоид гомеоморфен открытому кругу.

Задача 8.6. Пусть для квадрата ABCD построено факторпространство: отождествлены точки отрезков AB и CD, лежащие на одной прямой, параллельной AD, и точки отрезков BC и AD, лежащие на одной прямой, проходящей через центр квадрата. На заданном факторпространстве рассматривается фактортопология, превращающая его в двумерное топологическое многообразие, которое называется бутылкой Клейна. Докажите, что бутылка Клейна – неориентируемое многообразие. Найдите его эйлерову характеристику.

Задача 8.7. Докажите, что не существует выпуклого многогранника, у которого нет ни одной треугольной грани и ни одного трёхгранного угла.

Занятие 9.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти