ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Первая квадратичная форма поверхности и её приложения.

Контрольные вопросы.

 

1. Дайте определение первой квадратичной формы гладкой поверхности.

2. Докажите, что первая квадратичная форма поверхности является положительно определённой.

3. Какой геометрический смысл имеет значение первой квадратичной формы в данной точке в заданном направлении?

4. По какой формуле вычисляется длина дуги кривой на поверхности?

5. Как вычисляется угол между кривыми на поверхности?

6. Как может быть найдена площадь области на поверхности?

 

Задача 6.1.Найдите первую квадратичную форму каждой из поверхностей:

а) плоскости x = u, y = v, z =0, ;

б) сферы ;

в) поверхности вращения x = f(u)cos v, y = f(u)sin v, z = g(u), u Î R, vÎ[0,2p), где f(u) – функция класса C , u и v – параметры.

Задача 6.2.Укажите, какая из приведенных квадратичных форм не может служить первой квадратичной формой поверхности:

а) = + 4dudv + ,

б) = + 4dudv + 4 ,

в) = dudv + 6 ,

г) = + 4dudv – 2 .

Задача 6.3.Дан геликоид x =u sin v, y =u cos v, z = v. Найдите:

а) первую квадратичную форму,

б) площадь криволинейного треугольника 0 £ u £ sh v, 0 £ v £ v ,

в) длины сторон этого треугольника и углы.

Задача 6.4.Найдите уравнения линий на геликоиде, делящих пополам углы между координатными линиями.

Задача 6.5.Найдите периметр и внутренние углы криволинейного треугольника u = , v = 1, расположенного на поверхности, у которой = +(u + a ) .

Задача 6.6.Докажите, что существует изометрическое отображение области на геликоиде:

x = u cos v, y = u sin v, z = av (0 £ v<2 p) на катеноид: x = cos , y = sin , z = a arch , при котором прямолинейные образующие геликоида переходят в меридианы катеноида.

Задача 6.7.Докажите, что если поверхность допускает такую параметризацию, при которой коэффициенты первой квадратичной формы постоянны, то эта поверхность локально изометрична плоскости.

 

Домашнее задание № 6.

Повторить теорию: Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Главные нормальные кривизны. Полная и средняя кривизны поверхности. Поверхности постоянной полной кривизны.

 

Решить задачи:

Задача 6.8.Найдите первую квадратичную форму для каждой из следующих поверхностей вращения:

а) – эллипсоид вращения,

б) – однополостный гиперболоид вращения,

в) – двуполостный гиперболоид вращения,

г) x = u cos v , y = u sin v, z = u – параболоид вращения,

д) x = a sin u cos v, y = asin u sin v, z = a(ln tg + cos u), u ¹ – псевдосфера.

Задача 6.9.Дана поверхность x = u + v , y = u v , z = uv, |u| +|v|¹0.

А). Найдите первую квадратичную форму.

Б). Вычислите дифференциал длины дуги для линий u = 2, v = 1, v=au.

В). Вычислите длину дуги линии между точками ее пересечения с линиями u = 1, u = 2, если внутреннее уравнение линии имеет вид: v= au.

Задача 6.10.Для сферы

а) найдите первую квадратичную форму,

б) найдите линии, пересекающие меридианы сферы под данным углом a.

Примечание. Такие линии на сфере называются локсодромиями. Штурманы кораблей и самолетов часто прокладывают путь по локсодромии. Хотя такой путь и не является кратчайшим, но по нему удобно двигаться, выдерживая направление при помощи компаса.

Задача 6.11.На поверхностивычислите угол между линиями и .

Задача 6.12. Найдите площадь четырехугольника на прямом геликоиде x = u cos v, y = u sin v, z = av, ограниченного линиями u = 0, u=a, v = 0, v = 1.

Задача 6.13.Линия пересечения сферы радиуса R и кругового цилиндра диаметра R, одна из образующих которого проходит через центр сферы, называется кривой Вивиани. Найдите площадь выпуклой области на сфере, ограниченной петлей кривой Вивиани.

Задача 6.14.Докажите, что изометрическое отображение плоскости на себя есть движение (перемещение).

Занятие 7.

Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна.

Полная и средняя кривизны.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение второй квадратичной формы поверхности. Как выражаются коэффициенты второй квадратичной формы поверхности, заданной параметрическими уравнениями?

2. Сформулируйте определение нормальной кривизны кривой на гладкой поверхности. Какой вид имеет аналитическое выражение нормальной кривизны кривой? От чего зависит нормальная кривизна кривой на поверхности?

3. Дайте определение нормальной кривизны поверхности в данной точке в данном направлении.

4. Какое направление в точке на поверхности называется главным? Дайте определение главной нормальной кривизны поверхности в точке.

5. Дайте определение полной (гауссовой) кривизны поверхности; средней кривизны поверхности. Приведите формулы для вычисления полной и средней кривизны через коэффициенты квадратичных форм поверхности.

6. Какая точка поверхности называется точкой уплощения? Омбилической точкой? Как аналитически характеризуются указанные точки? Как классифицируются точки поверхности по знаку полной кривизны?

7. Приведите примеры поверхностей, имеющих постоянную полную кривизну.

 

Задача 7.1.Докажите, что вторая квадратичная форма плоскости тождественно равна нулю, вторая квадратичная форма сферы пропорциональна ее первой квадратичной форме.

Задача 7.2.Для прямого геликоида x = u cos v, y = u sin v, z = av найдите первую и вторую квадратичные формы и определите главные направления и главные кривизны в произвольной точке.

Задача 7.3.Найдите полную и среднюю кривизны прямого геликоида. На каких линиях полная кривизна постоянна?

Задача 7.4.Дана поверхность вращения:

.

а). Найдите первую и вторую квадратичную форму;

б). Найдите полную кривизну в произвольной точке поверхности. Выясните зависимость знака кривизны от направления выпуклости меридиана;

в). Найдите среднюю кривизну в произвольной точке данной поверхности вращения.

Задача 7.5.Исследуйте характер точек на поверхностях, полученных вращением линий:

а) линия y = ln x, x ¹ 1, вращается вокруг оси Ox.

б) линия y = ln x вращается вокруг оси Oy.

Задача 7.6.Докажите, что омбилические точки характеризуются равенством H = K.

Задача 7.7.Докажите, что единственной поверхностью, состоящей целиком из точек уплощения, является плоскость или часть плоскости.

Домашнее задание № 7.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти