ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Повторить материал по теме «Поверхности в евклидовом пространстве». Готовиться к контрольной работе.

Решить задачи:

Задача 7.8.Найдите вторую квадратичную форму для каждой из следующих поверхностей вращения:

а) – эллипсоид вращения,

б) – однополостный гиперболоид вращения,

в) – двуполостный гиперболоид вращения,

г) x = a sin u cos v, y = asin u sin v, z = a(ln tg + cos u), u ¹ – псевдосфера.

Задача 7.9. Используя результаты задачи 8 занятия 5 и задачи 8 занятия 6, найдите полные (гауссовы) кривизны следующих поверхностей вращения:

а) эллипсоида вращения,

б) однополостного гиперболоида вращения,

в) двуполостного гиперболоида вращения,

г) псевдосферы.

Задача 7.10.Найдите нормальную кривизну координатных линий катеноида:

Задача 7.11.Докажите, что на плоскости и на сфере любая кривая является линией кривизны.

Задача 7.12.Вычислите главные кривизны поверхности z = xy в точке M(1, 1, 1).

Задача 7.13.Докажите, что средняя кривизна поверхности z = lncos x – lncos y равна нулю.

Задача 7.14.На каких поверхностях второго порядка

а) все точки эллиптические,

б) все точки гиперболические,

в) все точки параболические?

Указание. В достаточно малой окрестности обыкновенной точки гладкую поверхность можно задать уравнением z = f(x,y).

Задача 7.15.Найдите омбилические точки параболоида вращения.

Занятие 8.

 

Контрольная работа по теме “Поверхности в евклидовом пространстве”.

 

 


 

Указания к решению задач и ответы.

Занятие 1.

1.2. Является. Указание: проверьте выполнение аксиом топологической структуры.

1.3. Пустое множество, а также множества, заданные системами неравенств: где .

1.5. Подмножества 2), 6), 8) – открыты, подмножества 1), 3), 5), 7) – замкнуты.

1.6. Для открытых множеств рассмотрите, например, объединение множеств для всех N. Попробуйте привести другие примеры. Приведите пример бесконечного числа замкнутых множеств, пересечение которых не замкнуто.

1.7. Топологическое пространство с тривиальной топологией, содержащее больше одной точки; топологическое пространство из задачи 1.2.

1.9. Ф1 является топологическим пространством, Ф2 и Ф3 – не являются.

1.10. Замкнуты пустое множество, всё пространство, одноточечное множество, состоящее из точки О и все замкнутые шары с центром в точке О.

1.14. Рассмотрите всю плоскость или одноточечное множество на плоскости с естественной топологией.

1.15. Докажите предварительно теоретико-множественные соотношения: \F=(X\F)∩U, X\(F\U)=(X\F) U. Далее воспользуйтесь свойствами открытых множеств и определением и свойствами замкнутых множеств.

 

Занятие 2.

2.2. = Х; .

2.3. .

2.6. Ф1 – дискретная топология.

2.11. int A = Æ; ext A = Æ; ; .

2.12. \ M; .

2.13. УКАЗАНИЕ: Воспользуйтесь определениями замыкания множества, точки прикосновения множества. В качестве примера рассмотрите два открытых круга на плоскости, граничные окружности которых касаются друг друга внешним образом в точке А. Докажите, что для объединения имеет место равенство: .

 

Занятие 3.

3.1. Топологическое пространство задачи 1.1 – Т0-пространство; задач 1.2, 1.4, 1.10 – не удовлетворяют ни одной из аксиом отделимости, задачи 1.4. – Т1- пространство.

3.4. Связны топологические пространства задач 1.1, 1.2, 1,4, 1.10.

3.8. УКАЗАНИЕ: На прямой y = x нет ни одной точки данного множества.

Занятие 4.

4.4. Отрезок, конечное множество точек, сфера.

 

Занятие 5.

5.2. Отображение разрывно в точках окружности – границы данного круга, и непрерывно в остальных точках плоскости.

5.3. Отображение непрерывно. Докажите, опираясь на определение непрерывного отображения или на критерий непрерывности.

5.5. УКАЗАНИЕ: Выбрав открытое покрытие топологического пространства Y, воспользуйтесь критерием непрерывности отображения f, а также компактностью топологического пространства Х.

5.6. УКАЗАНИЕ: Допустив противное, воспользуйтесь критерием непрерывности отображения. Из этого будет следовать несвязность исходного множества, что противоречит условию.

5.7. Не справедливы. Приведите соответствующие примеры.

5.9. Отображение f непрерывно, отображение g не является непрерывным.

5.10. Не для всякого. Рассмотрите топологические пространства (Е2, Фтрив.), (Е2, Фест) и отображение f, определённое формулой: f(х) = х, для любого элемента х Е2.

5.12. Воспользовавшись непрерывностью отображения f, докажите, что образом точки прикосновения множества А является точка прикосновения множества f(A).

Занятие 6.

6.1. Отображение f – не гомеоморфизм. Обратное отображение не является непрерывным в точке пересечения окружности с осью абсцисс.

6.3. а) Рассмотрите функцию y=tg x.

б) Рассмотрите на плоскости полярную систему координат и воспользуйтесь результатом задачи а).

в) Рассмотрите в пространстве сферические координаты.

г) Рассмотрите стереографическую проекцию сферы на плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно диаметру, одним из концов которого является выколотая точка.

6.4. УКАЗАНИЕ: Сужение непрерывного отображения на подмножество области определения непрерывно. Приведение непрерывного отображения (то есть отображение области определения на её образ) является непрерывным отображением. Эти утверждения в некоторых случаях дают возможность, вычитая из одного топологического пространства определённое подмножество, а из второго – образ этого подмножества, превращать первое в несвязное топологическое пространство, второе при этом остаётся связным. Предполагая существование гомеоморфизма первого пространства на второе и учитывая, что приведение сужения гомеоморфизма является гомеоморфизмом, то есть должно связность или несвязность сохранять, приходим к противоречию. Это позволяет сделать вывод о негомеоморфности рассматриваемых топологических пространств или их подмножеств.

При гомеоморфизме сохраняется также число компонент связности, компактность или некомпактность, другие топологические свойства.

6.5. а) гомеоморфны, б), в) – не гомеоморфны.

6.6. В Е3 существуют негомеоморфные замкнутые выпуклые множества, например, отрезок и замкнутый луч.

6.8. Совместите мнимую ось однополостного гиперболоида и ось цилиндра и спроектируйте однополостный гиперболоид на цилиндр из точек общей оси.

6.9. Воспользуйтесь тем, что каждая образующая цилиндра гомеоморфна интервалу.

6.10. См. указание к задаче 6.4. Пусть f – гомеоморфизм круга на сферу. Вычтите из круга хорду AB, а из сферы – образ хорды f(AB), то есть некоторую дугу. Круг с удалённой хордой не связен, а сфера, из которой удалена дуга – связное множество. Это противоречит результату задачи 5.6.

6.11. а) Не гомеоморфны. Первый способ. Можно воспользоваться той же идеей, что и при решении задачи 6.10. Второй способ. Воспользуйтесь тем, что любая точка круга имеет окрестность, граница которой связна; граница окрестности любой точки окружности либо несвязна, либо является пустым множеством.

б) Не гомеоморфны.

6.12. Не гомеоморфны.

6.14. Плоскость и замкнутый круг; прямая и отрезок. Приведите другие примеры.

Занятие 7.

 

7.1. Всякое открытое подмножество Еn является многообразием. Не всякое замкнутое подмножество является многообразием или многообразием с краем. Приведите примеры замкнутых подмножеств пространств Е2 или Е3, являющихся и не являющихся многообразиями или многообразиями с краем.

7.2. В качестве карт рассмотрите ортогональное проектирование полусфер на соответствующие координатные плоскости. Сферу можно покрыть координатными окрестностями двух карт. Если S2 – сфера, А(0;0;1) и В(0;0;-1) – две диаметрально противоположные точки, то соответствующими координатными окрестностями являются множества и , а картами – стереографические проекции (центральные проектирования соответственно из центров A и B): .

7.4. Не является. Для вершины конической поверхности не существует координатной окрестности двумерной карты.

7.5. Эйлерова характеристика сферы , эйлерова характеристика тора .

7.6. .

7.7.

7.10. .

7.11. а) , б) .

7.12. Примените теорему Эйлера.

7.13. Примените теорему Эйлера.

7.14. .

 

Занятие 8.

8.1. Всякое открытое непустое множество содержит прямую l. Всякое замкнутое множество, не совпадающее со всем пространством, не имеет общих точек с прямой l.

8.2.

8.3. Не удовлетворяет ни одной из аксиом отделимости; не компактно; связно.

8.4. Отображение g не является непрерывным. Докажите разрывность отображения g в точках диагоналей квадрата.

8.5. Докажите, что эллиптический параболоид гомеоморфен плоскости и воспользуйтесь результатом задачи 6.3. б).

8.6. .

8.7. Примените теорему Эйлера.

 

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти