II. Линии в евклидовом пространстве.

Занятие 1.

1.1. Кривая класса на множестве R. Проекции на координатные плоскости определяются уравнениями: , .

1.2. .

1.4. а) ; б) .

1.5. а) М₁(0;0), М₂(2;2), .

1.6. , . Частные производные вычислены в точке М₀.

1.7. Подэра параболы – касательная к параболе в её вершине; подэра эллипса – окружность, описанная около эллипса.; подэра гиперболы – окружность, проходящая через вершины гиперболы и имеющая центром центр этой гиперболы.

1.8. R=0,5.

1.9. .

1.10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) - уравнение касательной в декартовых координатах, - уравнение касательной в полярных координатах.

1.12. Нет.

1.13. - неявные уравнения; - параметрические уравнения, где u- долгота точки на сфере.

Занятие 2.

2.1. .

2.2. а) .

б) .

2.3. .

2.4. .

2.5. s=10.

2.6. .

2.8. a) ; б) ; в) .

2.9. .

2.10. .

2.11. s=8a.

2.12. a)

б) .

2.14. .

Занятие 3.

3.1 .

3.2. ;

касательная: ;

бинормаль: ;

главная нормаль: ;

нормальная плоскость: ;

соприкасающаяся плоскость: ;

спрямляющая плоскость: .

3.4. .

3.5. .

3.6. а) ; б) .

3.7.

3.8. .

3.9. Уравнения касательной: , уравнения главной нормали: , уравнения бинормали:

Уравнение соприкасающейся плоскости:

уравнение нормальной плоскости:

уравнение спрямляющей плоскости:

3.13. а) , б) .

3.14. .

3.15. .

Занятие 5.

5.1. .

5.2. Координатная сеть правильная. Линии u = const – параллели тора, линии v = const – меридианы тора.

5.3. Касательная плоскость: , нормаль: . Вдоль линии u=u₀ нормали составляют постоянный угол с осью Оz. Вдоль линии v = v₀ нормали параллельны одной плоскости.

5.4. - касательная плоскость, - нормаль.

б) - касательная плоскость, - нормаль.

5.6. 1) x = y = z; 2) –x = y = z; 3) x = -y = z; 4) x = y = -z.

5.7. Координатными линиями являются прямолинейные образующие. Координатная сеть правильная.

5.8. a) 6x + 3y – 2z – 7 = 0; ;

б) 3x – 2y +3z – 4 = 0; .

5.9. (x + 1)² = 2y² + z².

5.10. , (u,v) R². Вектор нормали в произвольной точке: .

5.11. а) Два семейства параллельных прямых.

б) Лучи, выходящие из начала координат и окружности с центром в начале координат.

в) Линии v = const – семейство софокусных эллипсов и отрезок оси Ох; линии u = const – семейство софокусных гипербол и промежутки и [1; оси Ох.

Занятие 6.

6.1. a) ds² = dx² + dy²; б) ds² = r²(du² + cos²v dv²); в) ds² = .

6.2. а), б), г).

6.3. .

6.4.

6.5. .

6.6. Отображение устанавливается уравнениями:

Докажите, что указанное отображение является изометрией. Для этого достаточно показать, что в соответствующих при отображении точках поверхностей первые квадратичные формы совпадают. Замечание: .

6.8. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

6.9. а) ;

б) .

в) .

6.10. а) ; б) .

6.11. .

6.12. .

6.13. .

Занятие 7.

7.2. ; - главные направления; - главные кривизны.

7.3. H = 0; . Полная кривизна постоянна на винтовых линиях.

7.4. а) ;

;

б) ;

К>0, если выпуклость меридиана направлена от оси вращения, К< 0, если выпуклость меридиана обращена в сторону оси вращения, К = 0, если меридиан имеет точку перегиба или если он ортогонален оси вращения (при r ¹ 0);

в) .

7.5. а) Точка x = 1, y = z = 0 является особой. Она разбивает поверхность на две части: для x >1 точки поверхности эллиптические, для x < 1 - гиперболические.

б) Все точки поверхности гиперболические.

7.8. а)

б) ;

в) ;

г) .

7.9. а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7.10. ; .

7.12. .

7.14. а) на эллипсоиде, на двуполостном гиперболоиде, на эллиптическом параболоиде;

б) на однополостном гиперболоиде, на гиперболическом параболоиде;

в) на конической поверхности второго порядка, на цилиндрической поверхности второго порядка, на распадающейся поверхности второго порядка.

7.15. Вершина параболоида.

Список литературы.

Топология

1. Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П. С. Александров.- Москва: Наука, 1977.- 370 с.

2. Элементы топологии // Атанасян, Л. С. Геометрия: в 2 ч. Ч. II / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. - Москва: Просвещение, 1975. - С. 139 - 158.

3. Бакельман, И. Я. Элементы гомотопической топологии и их приложения/ И. Я Бакельман, А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор. – Ленинград: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1972. -157 с.

4. Болтянский, В. Г. Наглядная топология / В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович — Москва: Наука, 1983.—160 с. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).

5. Вернер, А. Л. Элементы топологии: учебное пособие / А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор.- Ленинград: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1980.- 67 с.

6. Элементы топологии // Вернер, А. Л. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч. Ч. 2 / А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор, С. А. Франгулов. - Санкт-Петербург: Специальная Литература, 1997. - С. 149-197.

7. Воловик, Г. Е. Физика и топология / Г. Е. Воловик, В. П. Минеев.- Москва: Знание, 1980.- 63 с.

8. Келли, Дж. Общая топология / Дж. Келли; пер. с англ. А. В. Архангельского. - Москва: Наука, 1968. – 384 с.

9. Комацу, Мацуо. Многообразие геометрии: пер. с японского / Мацуо Комацу. - Москва: Знание, 1981.- 208 с.

10. Подран, В. Е. Элементы топологии: учеб. пособие / В. Е. Подран.- Санкт-Петербург: Лань, 2008. – 192 с.

11. Прасолов, В. В. Наглядная топология / В. В. Прасолов. – 2-е изд., доп. – Москва: МЦНМО, 2006. – 112 с.: ил.

12. Примаков, Д. А. Геометрия и топология: учеб. пособие / Д. А. Примаков, Р. А. Хамидуллин. - Москва: Маркет ДС, 2010. – 266 с.

13. Рохлин, В. А. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс.- Москва: Наука, 1977. - 488 с.

Сборники задач.

1. Архангельский, А. В. Основы общей топологии в задачах и упражнениях: учеб. пособие / А. В. Архангельский, В. И. Пономарев. - Москва, Наука, 1974. - 424 с.: ил.

2. Сборник задач по геометрии: в 2 ч. Ч. II: учеб. пособие/ под ред. Л. С. Атанасяна. - Москва: Просвещение, 1975. – 176 с.

3. Сборник задач по геометрии: учеб. пособие / под ред. В. Т. Базылева. - Москва: Просвещение, 1980. – 238 с.

4. Элементы топологии в задачах и упражнениях: методические рекомендации / сост. В. Е. Подран; Новгородский государственный педагогический институт. – Новгород: НГПИ, 1990 . – 59 с.: рис.

Дифференциальная геометрия.

1. Линии и поверхности в евклидовом пространстве // Атанасян, Л. С. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч. Ч. II / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. - Москва: Просвещение, 1975.- С. 178-240.

2. Бляшке, В. Введение в дифференциальную геометрию: учебное пособие / В. Бляшке. – 2-е изд., исправл. - Ижевск: Удмуртский университет, 2000. - 212 с.

3. Вернер, А. Л. Элементы топологии и дифференциальная геометрия: учеб. пособие/ А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор. - Москва: Наука, 1985. – 112 с.

4. Элементы дифференциальной геометрии // Вернер, А. Л. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч. Ч. 2 / А. Л. Вернер, Б. Е. Кантор, С. А. Франгулов. - Санкт-Петербург: Специальная Литература, 1997.- С. 198-298.

5. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия: учеб. пособие / Н. В. Ефимов. - Москва: Наука, 2004. - 584 с.

6. Мищенко, А. С. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии / А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 304 с.

7. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия: учеб. пособие / А. В. Погорелов. - 6-е изд., стереотип. – Москва: Наука, 1974. - 176 с.

8. Позняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин. - Москва: Изд-во МГУ, 1990.- 384 с.

9. Розендорн, Э. Р. Теория поверхностей: учеб. пособие / Э. Р. Розендорн. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 304 с.

Сборники задач.

1. Кривые в евклидовом пространстве. Поверхности в евклидовом пространстве // Сборник задач по геометрии: учеб. пособие: в 2 ч. Ч. II / под ред. Л. С. Атанасяна. - Москва: Просвещение, 1975.- С. 102-127.

2. Линии и поверхности в евклидовом пространстве // Сборник задач по геометрии: учеб. пособие / под ред. В. Т. Базылева. - Москва: Просвещение, 1980.- С. 159-169.

3. Мищенко, А. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: учеб. пособие для вузов / А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьев, А. Т. Фоменко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва: Издательство физико-математической литературы, 2004. – 412 с.

4. Феденко, А. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии: учеб. пособие / А. С. Феденко. – 2-е изд., перераб. – Москва: Наука, 1979. - 273 с.