ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Поняття стаціонарності випадкового процесу

Аналізуючи випадкові процеси, часто застосовують поняття стаціонарності, яке відображає незмінність за часом, стабільність деяких характеристик випадкового процесу. Прикладами стаціонарних випадкових процесів є шуми підсилювальних елементів електронних приладів, шуми фотоприймачів у апаратурі відтворення звуку кінофільмів, коливання швидкості двигуна в електроприводі.

Розрізняють стаціонарність у вузькому сенсі та стаціонарність у широкому сенсі.

Випадковий процес називають стаціонарним у вузькому сенсі(строго стаціонарним [ ]), якщо його n-вимірна щільність імовірності за будь-якого n залежить тільки від інтервалів t1 – t2 і не залежить від розташування цих інтервалів на осі часу, тобто pn(x1,t1; x2,t2; ...; xn,tn) = pn(x1, t1 + τ; x2, t2 + τ; ...; xn,tn + τ).

Ймовірнісні характеристики стаціонарного у вузькому сенсі випадкового процесу не змінюються у разі зміни розташування відлікової точки на часовій осі.

Стаціонарним у широкому сенсі називають процес, математичне очікування якого не залежить від часу, а кореляційна функція залежить тільки від різниці t2 – t1 = τ і не залежить від самих інтервалів t1 та t2.

Із визначення виходить, що одновимірна щільність імовірності стаціонарного процесу не залежить від часу

,  

а двовимірна – залежить тільки від різниці t2 – t1 = τ, тобто p2(x1,t1; x2,t2) = p2(x1,x2,t2 – t1) = p2(x1,x2,t2). Для такого процесу:

, (1.17)
. (1.18)
     

Вирази, подібні до (1.6)–(1.9), для стаціонарних у широкому сенсі процесів записують без позначення фіксованих моментів часу.

Процеси, стаціонарні у вузькому сенсі, стаціонарні в широкому сенсі, але не навпаки.

Про характер і властивості стаціонарного процесу можна судити за характером кореляційної функції. У зв’язку з цим доцільно розглянути властивості кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. Дослідимо поведінку кореляційної функції у випадку змінення інтервалу між значеннями стаціонарного випадкового процесу, розглянемо граничні співвідношення

.  

Якщо τ → ∞, значення x1 = x(t) та x2 = x(t+τ) стають незалежними, p2(x1,x2,τ) = p1(x)·p1(x). У зв’язку з цим

. (1.19)

Граничне значення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу, якщо τ → ∞, дорівнює квадрату його середнього значення, тобто потужності постійної складової випадкового процесу

.  

Якщо τ → 0, зв’язок між двома значеннями x(t) та x(t + τ) підсилюється, і гранично x(t) → x(t+τ), а двовимірна щільність імовірності p2(x1,x2,τ) → p1(x). У результаті

. (1.20)

Значення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу за умови τ → 0 дорівнює середньому значенню його квадрата, тобто повній середній потужності випадкового процесу.

Перші дві властивості дозволяють записати співвідношення

, (1.21)

доведення якого надаємо читачеві. Дисперсія випадкового процесу дорівнює потужності його змінної складової .

Оскільки щільність імовірності стаціонарного процесу не залежить від розташування початку відліку на осі часу, кореляційна функція є парною функцією часу

. (1.22)

Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу максимальна в точці τ = 0. Ця властивість стає очевидною, якщо розглянути математичне очікування квадрата суми або різниці значень випадкового процесу x(t) та x(t+τ)

(1.23)

Оскільки , .

Типові графіки кореляційних функцій представлено на рис. 1.6.

 

Часто використовують нормовану кореляційну функцію

. (1.24)

Кореляційна функція характеризує статистичний зв’язок між значеннями випадкового процесу, розділеними інтервалом τ. Чим більший проміжок τ, в межах якого існує цей зв’язок, тим повільніше змінюється в часі випадковий процес.

Для оцінки статистичного зв’язку вводять поняття інтервалу кореляції τ0. Суть поняття в тому, що значення випадкового процесу x(t) та x(t + τ) за умови τ > τ0 можна вважати статистично незалежними. Оцінку інтервалу кореляції проводять за графіком нормованої кореляційної функції, побудованою для центрованого випадкового процесу, з умови

, (1.25)

де значення δ приймають рівним 0,05. Вибір δ = 0,05 значною мірою умовний.

Іноді для визначення інтервалу кореляції τ0 використовують співвідношення

. (1.26)

В основу виразу (1.26) покладено умову рівності площі під кривою нормованої кореляційної функції та прямокутника одиничної висоти (рис. 1.7).

Важливою властивістю випадкових процесів, що значно полегшує їх експериментальне дослідження, є властивість їх ергодичності.

Згідно ергодичної теореми для таких процесів, усереднення за множиною з імовірністю, скільки завгодно близькою до одиниці, дорівнює усередненню за часом[1-12].

Випадкові процеси, які мають таку властивість, називають ергодичними. Для ергодичних процесів вірні співвідношення:

; (1.27)
; (1.28)
; (1.29)
. (1.30)

Властивість ергодичності дозволяє не розглядати під час досліджень множину можливих реалізацій випадкового процесу, а обмежитись однією реалізацією достатньо великої тривалості.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти