|
Поняття стаціонарності випадкового процесу
Аналізуючи випадкові процеси, часто застосовують поняття стаціонарності, яке відображає незмінність за часом, стабільність деяких характеристик випадкового процесу. Прикладами стаціонарних випадкових процесів є шуми підсилювальних елементів електронних приладів, шуми фотоприймачів у апаратурі відтворення звуку кінофільмів, коливання швидкості двигуна в електроприводі. Розрізняють стаціонарність у вузькому сенсі та стаціонарність у широкому сенсі. Випадковий процес називають стаціонарним у вузькому сенсі(строго стаціонарним [ ]), якщо його n-вимірна щільність імовірності за будь-якого n залежить тільки від інтервалів t1 – t2 і не залежить від розташування цих інтервалів на осі часу, тобто pn(x1,t1; x2,t2; ...; xn,tn) = pn(x1, t1 + τ; x2, t2 + τ; ...; xn,tn + τ). Ймовірнісні характеристики стаціонарного у вузькому сенсі випадкового процесу не змінюються у разі зміни розташування відлікової точки на часовій осі. Стаціонарним у широкому сенсі називають процес, математичне очікування якого не залежить від часу, а кореляційна функція залежить тільки від різниці t2 – t1 = τ і не залежить від самих інтервалів t1 та t2. Із визначення виходить, що одновимірна щільність імовірності стаціонарного процесу не залежить від часу
а двовимірна – залежить тільки від різниці t2 – t1 = τ, тобто p2(x1,t1; x2,t2) = p2(x1,x2,t2 – t1) = p2(x1,x2,t2). Для такого процесу:
Вирази, подібні до (1.6)–(1.9), для стаціонарних у широкому сенсі процесів записують без позначення фіксованих моментів часу. Процеси, стаціонарні у вузькому сенсі, стаціонарні в широкому сенсі, але не навпаки. Про характер і властивості стаціонарного процесу можна судити за характером кореляційної функції. У зв’язку з цим доцільно розглянути властивості кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. Дослідимо поведінку кореляційної функції у випадку змінення інтервалу між значеннями стаціонарного випадкового процесу, розглянемо граничні співвідношення
Якщо τ → ∞, значення x1 = x(t) та x2 = x(t+τ) стають незалежними, p2(x1,x2,τ) = p1(x)·p1(x). У зв’язку з цим
Граничне значення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу, якщо τ → ∞, дорівнює квадрату його середнього значення, тобто потужності постійної складової випадкового процесу
Якщо τ → 0, зв’язок між двома значеннями x(t) та x(t + τ) підсилюється, і гранично x(t) → x(t+τ), а двовимірна щільність імовірності p2(x1,x2,τ) → p1(x). У результаті
Значення кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу за умови τ → 0 дорівнює середньому значенню його квадрата, тобто повній середній потужності випадкового процесу. Перші дві властивості дозволяють записати співвідношення
доведення якого надаємо читачеві. Дисперсія випадкового процесу дорівнює потужності його змінної складової . Оскільки щільність імовірності стаціонарного процесу не залежить від розташування початку відліку на осі часу, кореляційна функція є парною функцією часу
Кореляційна функція стаціонарного випадкового процесу максимальна в точці τ = 0. Ця властивість стає очевидною, якщо розглянути математичне очікування квадрата суми або різниці значень випадкового процесу x(t) та x(t+τ)
Оскільки , . Типові графіки кореляційних функцій представлено на рис. 1.6.
Часто використовують нормовану кореляційну функцію
Кореляційна функція характеризує статистичний зв’язок між значеннями випадкового процесу, розділеними інтервалом τ. Чим більший проміжок τ, в межах якого існує цей зв’язок, тим повільніше змінюється в часі випадковий процес. Для оцінки статистичного зв’язку вводять поняття інтервалу кореляції τ0. Суть поняття в тому, що значення випадкового процесу x(t) та x(t + τ) за умови τ > τ0 можна вважати статистично незалежними. Оцінку інтервалу кореляції проводять за графіком нормованої кореляційної функції, побудованою для центрованого випадкового процесу, з умови
де значення δ приймають рівним 0,05. Вибір δ = 0,05 значною мірою умовний. Іноді для визначення інтервалу кореляції τ0 використовують співвідношення
В основу виразу (1.26) покладено умову рівності площі під кривою нормованої кореляційної функції та прямокутника одиничної висоти (рис. 1.7). Важливою властивістю випадкових процесів, що значно полегшує їх експериментальне дослідження, є властивість їх ергодичності. Згідно ергодичної теореми для таких процесів, усереднення за множиною з імовірністю, скільки завгодно близькою до одиниці, дорівнює усередненню за часом[1-12]. Випадкові процеси, які мають таку властивість, називають ергодичними. Для ергодичних процесів вірні співвідношення:
Властивість ергодичності дозволяє не розглядати під час досліджень множину можливих реалізацій випадкового процесу, а обмежитись однією реалізацією достатньо великої тривалості.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|