|
Численность населения земного шара
Теперь Это несложно показать, если внимательно рассмотреть материал данного параграфа. Для каждого хi, можно вычислить и , и, следовательно, найти а и b (сделайте это), Теперь , где , После соответствующих вычислений получим: А = 207052, В = 2030, т.е. окончательно:
— закон Шкловского.
Найдем расчетную численность. Эти данные приводятся в таблице (колонка 3). Подсчет относительных отклонений
[148]
показывает, что они не превосходят по абсолютной величине 2,8 (колонка 4). Итак, получено теоретическое уравнение. Читатель вправе задать вопрос: «Ну и что? Для чего это уравнение? Что оно дает нам? Значения уi, которые были известны заранее, да и то, как видно из таблицы, приближенно?!» Попытаемся ответить. Мы установили закономерность, которой подчиняется эмпирический материал, а знание закономерности может стать источником новых сведений. Но экстраполируя данные, полученные с помощью формулы, на прошлое и будущее, нужно помнить, что наши предсказания будут тем надежней, чем меньше выбираемый интервал. Например, из формулы Шкловского следует, что к 2030 г. население должно стать бесконечно большим. Этот результат, конечно, не имеет, как принято говорить, «физического» смысла, что отнюдь не свидетельствует о неправильности формулы. Просто нужно помнить, что обычно закономерности относятся ко вполне определенным условиям, что устанавливаемые формулы имеют границы применимости. Так, мы с достоверностью не можем, зная закон Шкловского, вычислить величину народонаселения, скажем, в 1500 или 2000 году. Расчеты для 1970 и 1980 годов по этой формуле дают 3450 и 4140 млн. человек, что на 5,1 и 6,3% ниже реальной численности (3635 и 4415 млн. соответственно). Хотя ошибка несколько возрастает, формула дает очень хорошее приближение к реальным данным. Можно предположить, что в ближайшие десятилетия мы станем свидетелями изменения темпов роста населения земного шара – закон перестанет быть гиперболическим. Это, само собой, нисколько не опровергает формулу Шкловского, установленную для рассмотренных временных интервалов. Отметим, что она дает возможность определять численность населения в те годы внутри изученного интервала, для которых статистика отсутствует или ненадежна. Так, в 1910 г. население примерно составляло 1725 млн. человек и т.д.
Коррелеляционное отношение Вернемся, однако, к рассмотрению регрессий. В случае криволинейной зависимости целесообразно использовать так называемое корреляционное отношение , (III,1,20)
[149]
которое, по определению, представляет собой отношение среднего квадратического отклонения условных средних к полному среднему квадратическому отклонению (σy): (см. § 5 главы II). С учетом (III,1,13), (I1I,1,19), (III,1,20)
Так как, по определению, S , то или . Итак, minS=0, если все (xi, ) лежат на одной прямой, т.е. регрессия Y на Х прямолинейная. Таким образом, равенство является условием того, что регрессия прямолинейная. Во всех остальных случаях (криволинейная зависимость!) . Мы видели (§ 4 главы III), что 0 ≤ η ≤ 1. Можно аналогично показать, что –1 ≤ r ≤ 1. Доказательство справедливости этого утверждения составит содержание следующего упражнения. Упражнение 79. Указание. Использовать очевидное неравенство преобразуя его к виду . Тогда 1–r2 ≥0, т.е. . Итак, мы нашли диапазон возможных значений, принимаемых r и η, выяснили условие того, что регрессия прямолинейная и нашли меру криволинейной связи (η). Так как обычно связи криволинейные, следует обратить особое внимание на корреляционное отношение. К сожалению, в социологической литературе, как уже отмечалось, наблюдается злоупотребление коэффициентом r, который вычисляется без обоснования правомерности его использования. Лишь в редких случаях исследователи применяют η, хотя ситуация должна быть обратной. Упражнение 80. Показать, что в случае корреляционной таблицы: (III,1,21)
[150]
Вернемся к рассмотрению . Стоящая в числителе величина описывает колеблемость Y под влиянием Х. σy описывает полную колеблемость величины Y под влиянием всех условий. Следовательно, ηyx показывает, какую часть общей изменчивости Y обусловливает влияние Х. Это отношение выявляет степень воздействия Х на Y. Таблица 34 Пример расчета корреляционного отношения
Аналогично ηyx может быть определена величина ηxy , которая характеризует воздействие Y на Х: (III,1,22) Вообще говоря ηxy ηyx, ибо воздействия Х на Y и Y на Х неравнозначны. Поэтому целесообразно вычислять оба корреляционных отношения, если они имеют содержательный смысл. Для Y – производительности труда рабочих, а Х – стажа значение ηyx можно рассматривать как степень влияния стажа на производительность, корреляционное отношение ηxy в данном случае интерпретировать нельзя.
Упражнение 81. Записать выражение для ηxy. Упражнение 82. Для таблицы 34 рассчитать корреляционное отношение[73]. Указание: Для вычислений удобно
[151]
перейти к и , полагая a=35,5; b=107,5; αx=3, αy=5 (убедиться, что η при этом не изменится!) В новых переменных корреляционное отношение
С учетом данных таблицы имеем: ηyx=0,41. (Читатель, испытывающий затруднения при вычислении этого коэффициента, может обратиться к с.150 – 151 «Методики и техники…», где найдет подробные выкладки. Упражнение 83. По данным последней таблицы рассчитать r. Для этой цели удобно использовать формулу (11,5,4). Ответ: 0,21. Итак, r<η. Связь нелинейная[74]. Для установления ее формы целесообразно построить эмпирическую кривую регрессии по точкам ( ). Эта работа составит содержание упражнения 84.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|