ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Інтегрування диференційних рівнянь Бесселя

Інтегруючи диференційні рівняння (3.82) і (3.83) уздовж дуги великого кола між її точками і , отримуємо

 

(3.84)

 

(3.85)

 

- еліптичні інтеграли, які в елементарних функціях не виражаються. З практичної точки зору це не є суттєвою перешкодою, поскільки можна знайти їх наближені вирази, придатні для обчислень з будь-якою, необхідною для практики, точністю.

Враховуючи вимоги обчислювальної практики з використанням сучасної комп’ютерної техніки, доцільно для наближеного інтегрування рівнянь Бесселя застосувати розклад підінтегральних виразів в ряди, що швидко сходяться, з наступним почленним інтегруванням рядів.

Почнемо з інтегралу (3.84). Передусім перетворимо його підінтегральну функцію, виразивши її аргумент - приведену широту – через змінну .

Звернемось до рис.3.10, на якому із точки проведено дугу великого кола перпендикулярно до продовження дуги .

Утворився прямокутний трикутник , катети якого і знайдуться за формулами

 

(3.86)

(3.87)

 

Із прямокутного трикутника , розглядаючи точку як точку на дузі великого кола , тобто з широтою , запишемо

 

(3.88)

звідки

 

(3.89)

 
 


 

Рис. 3.10

 

Тепер перетворимо рівняння (3.84)

 

Враховуємо, що , , де мала піввісь еліпсоїда; тоді

 

Введемо позначення для сталого коефіцієнта заданої геодезичної лінії в підінтегральній функції

 

(3.90)

 

де .

Тоді

 

. (3.91)

 

Підінтегральну функцію розкладемо в ряд за формулою бінома Ньютона

 

 

Поскільки величина вміщує ексцентриситет ( ) – малу величину, то, очевидно, що цей ряд доволі швидко сходиться .

Замінимо сінуси парних степенів через косінуси кратних дуг, на основі співвідношень:

 

(3.92)

Згрупуємо коефіцієнти при кожній функції з одинаковим аргументом і введемо позначення

 

(3.93)

 

Тепер вираз (3.91) запишемо в вигляді

 

(3.94)

 

Зауважимо, що величина , яка визначається за формулою (3.87), для даної геодезичної лінії величина стала; інтеграли тригонометричних функцій в рівності (3.94) обчислюються так:

 

(3.95)

 

В результаті інтегрування (3.94) отримаємо вираз для в функції дуги

 

. (3.96)

Ця формула застосовується при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі. При розв’язуванні прямої геодезичної задачі величина відома, треба визначити . Розв’язуючи (3.96) щодо , знайдемо

 

(3.97)

 

За формулою (3.97) сферична відстань визначається послідовними наближеннями. В першому наближенні можна прийняти

 

 

після чого (3.97) запишеться в вигляді

 

,

де - номер наближення.

Наведені формули забезпечують точність обчислень 1 10-4 м в віддалі і 1 10-4 секунди в при будь-яких віддалях на земному еліпсоїді.

Перейдемо до обчислення інтегралу (3.85). Перед інтегруванням необхідно так перетворити підінтегральний вираз, щоб аргумент підінтегральної функції і змінна інтегрування були би одною і тією величиною.

Попередньо розкладемо підінтегральну функцію в ряд за формулою бінома Ньютона і проінтегруємо перший член отриманого ряду

 

(3.98)

 

В підінтегральному виразі перейдемо від змінних і до змінної . Згідно першого з рівнянь (3.76)

 

 

а згідно (3.86), для поточної точки дуги великого кола .

Перемноживши останні вирази, отримуємо

 

. (3.99)

 

З врахуванням (3.89) і (3.99) рівність (3.98) представимо в вигляді

 

Як і в попередньому, степеневі функції змінної замінимо функціями кратних аргументів на основі співвідношень (3.92) і згрупуємо сталі коефіцієнти при кожній функції з одинаковими аргументами. Отримаємо

Введемо позначення

 

(3.100)

 

після чого

 

. (3.101)

 

В результаті інтегрування (3.101) з врахуванням зауважень (3.95), отримуємо

 

(3.102)

 

Формулою (3.102) забезпечується точність обчислення різниці довгот в при будь-яких віддалях.

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі для обчислення , коли задана різниця довгот , виникає необхідність застосування методу наближень, оскільки інші величини у формулі (3.102) залежать від шуканої величини .

Отже, нами отримані всі співвідношення, які необхідні для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу при роз’язуванні головних геодезичних задач. Вкажемо також, що при розв’язуванні цих задач використовуються також формули сферичної тригонометрії для розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері (див. п. 3.4.2.а).

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти