ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Лінійна і квадратична інтерполяції

ЗМІСТ

Лабораторна РОБОТА №1. 4

Тема: Інтерполяція та екстраполювання функцій. 4

Теоретичні відомості 4

Лінійна і квадратична інтерполяції 4

Поліном Лагранжа. 5

Завдання для самостійної роботи. 6

Тема: Апроксимація функцій. 7

Теоретичні відомості 7

Емпіричні формули. 7

Визначення параметрів емпіричної залежності 8

Метод найменших квадратів. 8

Завдання для самостійної роботи. 12

Лабораторна рОбота №2. 14

Тема: Чисельне інтегрування. 14

Теоретичні відомості 14

Методи прямокутників і трапецій. 14

Метод Сімпсона. 17

Завдання для самостійної роботи. 19

Лабораторна рОбота №3. 22

Тема: Системи лінійних рівнянь. 22

Теоретичні відомості 22

Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. 22

Метод Гаусса. 22

Метод Гаусса-Зейделя. 25

Завдання для самостійної роботи. 28

Лабораторна рОбота №4. 33

Тема: Нелінійні рівняння. 33

Теоретичні відомості 33

Метод хорд. 34

Метод Ньютона (метод дотичних) 37

Комбінований метод хорд і дотичних. 39

Метод ітерацій або метод послідовних наближень. 40

Завдання для самостійної роботи. 42

Лабораторна рОбота №5. 44

Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь. 44

Теоретичні відомості 44

Метод Ейлера. 45

Модифікації методу Ейлера. 47

Метод Рунге-Кутта. 50

Завдання для самостійної роботи. 51

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ.. 54


Лабораторна РОБОТА №1

Тема:Інтерполяція та екстраполювання функцій

Теоретичні відомості

Лінійна і квадратична інтерполяції

Простим типом локальної інтерполяції, яку часто використовують, є лінійна (або кусочно-лінійна) інтерполяція. Вона полягає у тому, що задані точки з'єднуються прямолінійними відрізками і функція наближається ламаною з вершинами в даних точках.

Рівняння кожного відрізку ламаної в загальному випадку різне. Оскільки є інтервалів , то для кожного з них у якості рівняння інтерполяційного багаточлена використовується рівняння прямої, яка проходить через дві точки. Зокрема, для i-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки і наступному вигляді:

.

Звідси маємо:

, , , . (1)

Отже, при використанні лінійної інтерполяції спочатку необхідно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу , а потім підставити його у формулу (1) і знайти наближене значення функції в цій точці.

Розглянемо тепер випадок квадратичної інтерполяції, коли інтерполяційна функція на відрізку приймається як поліном другого ступеню. Таку інтерполяцію називають також параболічною:

, (2)

Рівняння поліному другого ступеню (2) містить три невідомі коефіцієнти , для визначення яких необхідно мати три рівняння. Ними служать умови проходження параболи (2) через три точки , , . Ці умови можна записати у наступному виді:

(3)

Поліном Лагранжа

Перейдемо до випадку глобальної інтерполяції, тобто до побудови інтерполяційного багаточлена єдиного для всього відрізку . Шукатимемо інтерполяційний багаточлен у вигляді лінійної комбінації багаточленів ступеня :

. (4)

При цьому необхідно, щоб кожен багаточлен дорівнював нулю у всіх вузлах інтерполяції, за винятком одного ( -го), де він повинен дорівнювати одиниці. Легко перевірити, що цим умовам при = 0 відповідає багаточлен виду:

. (5)

Дійсно . При чисельник виразу (5) дорівнює нулю. По аналогії з (5) отримаємо:

, , ……………………………………………… , , .......................................................................... .   (6)

Підставляючи в (4) вирази (5), (6), знаходимо:

. (7)

Формула (7) визначає інтерполяційний багаточлен Лагранжа.

Завдання для самостійної роботи

Знайти наближене значення функції при заданому значенні аргументу за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа, якщо функція задана:

1. у не рівновіддалених вузлах;

2. у рівновіддалених вузлах таблиці.

№ варіанту № таблиці № варіанту № таблиці
0,702 1,3832 0,665 0,1944
0,102 0,1264 0,774 0,2232
0,526 0,1521 0,332 1,4396
0,616 0,1838 0,736 1,3934
0,896 0,2121 0,203 0,1334
0,314 1,4179 0,552 0,1543
0,512 1,3926 0,537 0,1676
0,114 0,1315 0,955 0,2263
0,453 0,1611 0,275 1,4236
0,478 0,1875 0,608 0,3866
0,812 0,2165 0,154 0,1285
0,235 1,4258 0,436 0,1625
0,645 1,3862 0,673 0,2038
0,125 0,1232 0,715 0,2244
0,482 0,1662 0,186 1,4315

Таблиці до завдання 1

Таблиця 1 Таблиця 2 Таблиця 3
X Y
0,43 1,63597
0,48 1,73234
0,55 1,87686
0,62 2,03345
0,70 2,22846
0,75 2,35973

 

X Y
0,02 1,02316
0,08 1,09590
0,12 1,14725
0,17 1,21483
0,23 1,30120
0,30 0,40976

 

X Y
0,35 2,73951
0,4   2,30080
0,47 1,96864
0,51 1,78776
0,56 1,59502
0,64 1,34310

 

Таблиця 4 Таблиця 5 Таблиця 6
X Y
0,41 2,57418
0,46 2,32513
0,52 2,09336
0,60 1,86203
0,65 1,74926
0,72 1,62098

 

X Y
0,68 0,80866
0,70 0,89492
0,80 1,02964
0,88 1,20966
0,93 1,34087
0,99 1,52368

 

X Y
0,11 9,05421
0,15 6,61659
0,21 4,69170
0,29 3,35106
0,35 2,73951
0,40 2,36522

 

Таблиці до завдання 2

Таблиця 1 Таблиця 2 Таблиця 3
X Y
1,375 5,04192
1,380 5,17744
1,385 5,32016
4,390 5,47069
1,395 5,62968
1,400 5,89788

 

X Y
0,115 8,65729
0,120 8,29329
0,125 7,95829
1,130 7,64893
0,135 7,36235
0,140 7,09613

 

X Y
0,150 6,61659
0,155 6,39989
0,160 6,19658
0,165 6,00551
0,170 5,82558
0,175 5,65583

 

Таблиця 4 Таблиця 5 Таблиця 6
X Y
0,180 5,61543
0,185 5,46693
0,190 5,32634
0,195 5,19304
0,200 5,06649
0,205 4,94619

 

X Y
0,210 4,83170
0,215 4,72261
0,220 4,61855
0,225 4,51919
0,230 4,42422
0,235 4,33337

 

X Y
1,415 0,888551
0,889599
1,425 0,890637
1,430 0,891667
1,435 0,892687
1,440 0,893698

 

 

Тема: Апроксимація функцій

Теоретичні відомості

Емпіричні формули

Нехай, вивчаючи невідому функціональну залежність між і , в результаті проведення експериментів було отримано ряд значень цих величин. Значення та записані у виді наступної таблиці:

Завдання полягає в тому, щоб знайти наближену залежність:

, (8)

значення якої при ( ) мало відрізняються від спостережуваних даних . Наближена функціональна залежність (8), отримана за допомогою експериментальних даних, називається емпіричною формулою.

Простою емпіричною формулою є лінійна залежність виду:

. (9)

Іншою простою емпіричною формулою є поліном другого ступеню:

. (10)

Метод найменших квадратів

Запишемо суму квадратів відхилень (12) для всіх точок :

, . (13)

Параметри емпіричної формули (11) знайдемо з умови мінімуму функції .

Оскільки тут параметри виступають в ролі незалежних змінних функції , то її мінімум знайдемо з необхідних умов екстремуму функції багатьох змінних, прирівнюючи нулю частинні похідні по цим змінним:

(14)

Отримані співвідношення визначають систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення .

Розглянемо застосування методу найменших квадратів для широко використовуваного на практиці окремого випадку, коли функція є лінійною по невідомих параметрах :

,

де – відомі функції . Формула (13) для визначення суми квадратів відхилень прийме вид:

.

Для складання системи (14) знайдемо похідні по змінним ( ):

Прирівнюючи знайдені похідні нулю, отримаємо наступну систему рівнянь:

, . (15)

Система (15) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, її можна записати в наочному векторно-матричному вигляді. Для цього введемо вектори точних даних і невідомих параметрів , а також матрицю наступним чином:

, , .

Тут вектори і мають розмірності і відповідно, а матриця має розмірність ( ) ( ). Для елементів матриці справедливий вираз:

.

Неважко переконатися, що вираз в квадратних дужках у (15), є -ю компонентою вектора , а кожне рівняння системи (15) є рівність нулю -ої компоненти вектора ( ), де – транспонована матриця. Таким чином, систему (15) можна записати у вигляді:

( )=0,

або:

. (16)

Матриця цієї системи має розмірність ( ) ( ), вектор і є шуканим.

Приклад.

Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді (таблиця 1):

Таблиця 1

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75
2,50 1,20 1,12 2,25 4,28

Розв’язок

Якщо зобразити задані табличні значення на графіці (рис. 1), то легко переконатися, що в якості емпіричної формули для апроксимації функції можна прийняти поліном другого ступеню, графіком якого є парабола:

.

В даному випадку маємо:

, , , , ,
, , .

Після обчислення матриці і вектора маємо:

, .

Система рівнянь (16) приймає наступний вид:

.

Звідки знаходимо значення параметрів емпіричної формули: , , . Таким чином, отримуємо наступну апроксимацію функції, заданої у табличному виді:

.

Оцінимо відносні похибки отриманої апроксимації в заданих точках, тобто знайдемо значення .

Результати обчислень представимо у виді таблиці 2:

Таблиця 2

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 2,47 1,25 1,15 2,17 4,32 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 -0,03 0,05 0,03 -0,08 0,04 -0,012 0,042 0,027 -0,036 0,009

На рис. 1 побудовано графік знайденої емпіричної функції. Крапками, нанесені задані табличні значення функції .

Рисунок 1 – Графік емпіричної функції

Завдання для самостійної роботи

 

Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді.

 

 

Таблиця 1 Таблиця 2 Таблиця 3 Таблиця 4 Таблиця 5
X Y
54,8
24,1
7,5
13,8
35,1
55,1

 

X Y
0,5 45,3
1,7 24,8
3,5 9,9
4,5 5,7
7,5 16,1
8,5 32,1

 

X Y
-6 64,9
-5 50,2
4,6
3,5
7,9
19,7

 

X Y
-4,5 43,6
-3,6 31,9
-1,8 17,8
7,1
11,3
7,5 32,7

 

X Y
-10 -115,7
-8 -75,5
-7 -63,8
-2 -5,4
-1,2
2,9

 

Таблиця 6 Таблиця 7 Таблиця 8 Таблиця 9 Таблиця 10
X Y
-3,5 15,9
-1,8 -4,4
-0,9 -2,2
0,2 1,7
0,9 3,9
5,3

 

X Y
-4 -25,1
-2 -11,9
-3,2
-1,5
-3,2
-7,1

 

X Y
-7,5
-11,6
-20,2
-29,9
-40,5
-82,3

 

X Y
-7,5 -73,9
-6,8 -60,9
-5,5 -46,8
-3,9 -25,1
-2,2 -11,6
-3,2

 

X Y
-5 -5,6
-4 -1,2
-3 2,1
-12,7
-21,7
-33,1

 

Таблиця 11 Таблиця 12 Таблиця 13 Таблиця 14 Таблиця 15
X Y
-1,5 2,6
-0,5 0,5
0,5 -3,3
2,5 -17,4
3,5 -28,2
4,5 -39,7

 

X Y
-1,1
-6,5
-12,7
-21,7
-33,2
-45,7

 

X Y
-1 -2,1
-2 2,9
5,1
18,8
30,2
43,2

 

X Y
-7 58,1
9,9
-1 -2,1
-5,2
-6,1
9,8

 

X Y
-4,5 24,2
-3,5 14,2
-5,1
0,8 -5,9
1,5 -5,7
2,5 -3,7

 

Таблиця 16 Таблиця 17 Таблиця 18 Таблиця 19 Таблиця 20
X Y
4,2
9,1
17,7
31,3
48,2
68,9

 

X Y
-5 39,1
-3 12,8
-1 3,2
3,9
9,1
18,7

 

X Y
-4,5 31,2
-3,8 21,4
-1,6 4,5
-0,7 2,7
0,3 5,2
1,2 10,6

 

X Y
-5 -64,1
-3 -25,9
-1 -4,1
1,1
1,9
-1,1

 

X Y
0,9
2,1
-1,1
-8,1
-18,8
-34,2

 

Таблиця 21 Таблиця 22 Таблиця 23 Таблиця 24 Таблиця 25
X Y
-6,5 -103,2
-3,5 -34,1
-1,5 -7,8
-0,5 -1,2
0,5 2,1
1,5 0,8

 

X Y
-5,1
-18,1
-48,8
-95,1
-124,3
-193,7

 

X Y
-7 -82,2
-3 -14,4
-95,1
-124,1
-156,8
-194,3

 

X Y
-6,5 -70,1
-3,5 -19,2
-1,5 -4,8
-0,5 -4,1
0,5 -7,1
1,5 -19,8

 

X Y
-2,1
-3,8
2,2
16,3
26,1
37,8

 

Таблиця 26 Таблиця 27 Таблиця 28 Таблиця 29 Таблиця 30
X Y
-7 68,2
-3 16,1
-1 2,2
-1,8
-4,2
8,1

 

X Y
-6,5 59,9
-3,5 20,5
-1,5 4,8
-0,5 -0,3
0,5 -3,4
1,5 -4,4

 

X Y
-5 16,6
-4 11,8
-3 8,5
24,1
32,9
44,5

 

X Y
-1,5 8,1
-0,5 10,2
0,5 14,6
2,5 28,7
3,5 38,4
4,5 49,9

 

X Y
12,2
17,1
24,1
32,9
44,5
57,1

 


Лабораторна рОбота №2

Тема:Чисельне інтегрування

Теоретичні відомості

Приклад.

Обчислити інтеграл .

Розв’язок

Цей інтеграл легко обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця:

.

Для обчислення даного інтеграла використаємо формули прямокутників і трапецій. Розіб'ємо відрізок інтегрування [0,1] на десять рівних частин: , . Обчислимо значення підінтегральної функції у точках розбиття , а також в напівцілих точках ( ) (табл. 1).

Таблиця 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,000000 0,990099 0,961538 0,917431 0,862069 0,800000 0,735294 0,671141 0,609756 0,552486 0,500000   0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95   0,997506 0,977995 0,941176 0,890868 0,831601 0,767754 0,702988 0,640000 0,580552 0,525624

По формулі прямокутників (5) отримаємо:

.

Похибка в обчисленні інтеграла складає (близько 0.027 %). Використовуючи формулу трапецій (6), знаходимо:

.

Похибка тут дорівнює (близько 0.054 %).

Таким чином, в розглянутому прикладі кращу точність обчислення інтеграла дає формула прямокутників. Це, на перший погляд, несподіваний результат, оскільки формула прямокутників використовує інтерполяцію нульового порядку (кусочно-постійну), тоді як формула трапецій використовує кусочно-лінійну інтерполяцію. Підвищення точності тут пояснюється способом обчислення елементарних площ що використовує значення функції в центральній точці відрізку [ ]. Відмітимо, що використання формул прямокутників у вигляді (1) або (2) приведе до похибки більше 3 %.

Похибка чисельного інтегрування визначається кроком розбиття. Зменшуючи цей крок, можна добитися більшої точності. Правда, збільшувати число точок не завжди можливо. Якщо функція задана в табличному вигляді, доводиться, як правило, обмежуватися даною кількістю точок. Підвищення точності в цьому випадку може бути досягнуте за рахунок підвищення ступеня використовуваних інтерполяційних багаточленів. Розглянемо один з таких способів чисельного інтегрування: використання квадратичної інтерполяції (метод Сімпсона).

Метод Сімпсона

Розіб'ємо відрізок інтегрування на парне число рівних частин з кроком . На кожному відрізку [ ], [ ],...,[ ], ...,[ ] підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним поліномом другого ступеня:

, .

Коефіцієнти цього поліному можуть бути знайдені з умов рівності багаточлена в точках відповідним табличним даним . У якості можна прийняти інтерполяційний багаточлен Лагранжа другого ступеню, що проходить через крапки , , :

.

Сума елементарних площ и (рис. 2) може бути підрахована за допомогою визначеного інтеграла. Враховуючи рівності , отримуємо:

.

Рисунок 2 – Сума елементарних площ і

Провівши такі обчислення для кожного елементарного відрізку [ ], підсумуємо отримані вирази:

.

Останній вираз для приймається як значення визначеного інтеграла:

. (7)

Отримане співвідношення називається формулою Сімпсона або формулою парабол.

Іноді формулу Сімпсона записують із застосуванням напівцілих індексів. В цьому випадку число відрізків розбиття довільне (не обов'язково парне), і формула Сімпсона має вид:

. (8)

Легко побачити, що формула (8) співпаде з (7), якщо формулу (7) застосувати для числа відрізків розбиття і кроку .

Приклад.

Обчислити за методом Сімпсона інтеграл .


Розв’язок

Значення функції при , представлені у табл.1, що наведена у попередньому прикладі.

Застосовуючи формулу (7), знаходимо:

.

Результат чисельного інтегрування з використанням методу Сімпсона співпадає з точним значенням (шість значущих цифр).

Завдання для самостійної роботи

1. Обчислити інтеграл за допомогою формул лівих і правих прямокутників при , оцінюючи точність за допомогою порівняння отриманих результатів.

2. Обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників, використовуючи оцінки точності подвійний прорахунок при , .

3. Обчислити інтеграл за допомогою формули трапецій з трьома десятковими знаками.

4. Обчислити інтеграл за допомогою формули Сімпсона при ; оцінити похибку результату, склавши таблицю кінцевих різниць.

№ варіанту

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти