ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Методи прямокутників і трапецій

Простим методом чисельного інтегрування є метод прямокутників. Він безпосередньо використовує заміну певного інтеграла інтегральною сумою:

.

У якості точок можуть вибиратися ліві ( ) або праві ( ) межі елементарних відрізків. Позначаючи , , отримуємо наступні формули метода прямокутників відповідно для цих двох випадків:

. (1)
. (2)

Більш поширеною та точнішою є формула прямокутників, що використовує значення функції в середніх точках елементарних відрізків (у напівцілих вузлах):

, , . (3)

Надалі під методом прямокутників розумітимемо останній алгоритм (він ще називається методом середніх).

У розглянутому методі прямокутників використовується кусочно-постійна інтерполяція: на кожному елементарному відрізку функція наближається функцією, що приймає постійні значення (константи). При цьому площа всієї фігури (криволінійної трапеції) приблизно складається з площ елементарних прямокутників. На рис. 1 верхня, середня і нижня горизонтальні штрихові лінії відносяться до елементарних прямокутників, які відповідають формулам (2), (3) і (1).

Метод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функції представляється у вигляді ламаної такої, що сполучає точки ( ). В цьому випадку площа всієї фігури приблизно складається з площ елементарних прямолінійних трапецій (рис. 1). Площа кожної такої трапеції дорівнює добутку напівсуми основи на висоту:

.

Складаючи всі ці рівності, отримуємо формулу трапецій для чисельного інтегрування:

. (4)

Рисунок 1 – Обчислення у методах прямокутників і трапецій

Важливим окремим випадком розглянутих формул є їх застосування при чисельному інтегруванні з постійним кроком ( ). Формули прямокутників і трапецій в цьому випадку приймають відповідно вид:

(5)
. (6)

Розглянемо приклад використання цих формул при ручному підрахунку для простого інтеграла, що допускає також безпосереднє обчислення. Такий приклад дозволить порівняти результати розрахунків, отримані різними способами.

Приклад.

Обчислити інтеграл .

Розв’язок

Цей інтеграл легко обчислюється за формулою Ньютона-Лейбниця:

.

Для обчислення даного інтеграла використаємо формули прямокутників і трапецій. Розіб'ємо відрізок інтегрування [0,1] на десять рівних частин: , . Обчислимо значення підінтегральної функції у точках розбиття , а також в напівцілих точках ( ) (табл. 1).

Таблиця 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,000000 0,990099 0,961538 0,917431 0,862069 0,800000 0,735294 0,671141 0,609756 0,552486 0,500000   0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95   0,997506 0,977995 0,941176 0,890868 0,831601 0,767754 0,702988 0,640000 0,580552 0,525624

По формулі прямокутників (5) отримаємо:

.

Похибка в обчисленні інтеграла складає (близько 0.027 %). Використовуючи формулу трапецій (6), знаходимо:

.

Похибка тут дорівнює (близько 0.054 %).

Таким чином, в розглянутому прикладі кращу точність обчислення інтеграла дає формула прямокутників. Це, на перший погляд, несподіваний результат, оскільки формула прямокутників використовує інтерполяцію нульового порядку (кусочно-постійну), тоді як формула трапецій використовує кусочно-лінійну інтерполяцію. Підвищення точності тут пояснюється способом обчислення елементарних площ що використовує значення функції в центральній точці відрізку [ ]. Відмітимо, що використання формул прямокутників у вигляді (1) або (2) приведе до похибки більше 3 %.

Похибка чисельного інтегрування визначається кроком розбиття. Зменшуючи цей крок, можна добитися більшої точності. Правда, збільшувати число точок не завжди можливо. Якщо функція задана в табличному вигляді, доводиться, як правило, обмежуватися даною кількістю точок. Підвищення точності в цьому випадку може бути досягнуте за рахунок підвищення ступеня використовуваних інтерполяційних багаточленів. Розглянемо один з таких способів чисельного інтегрування: використання квадратичної інтерполяції (метод Сімпсона).

Метод Сімпсона

Розіб'ємо відрізок інтегрування на парне число рівних частин з кроком . На кожному відрізку [ ], [ ],...,[ ], ...,[ ] підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним поліномом другого ступеня:

, .

Коефіцієнти цього поліному можуть бути знайдені з умов рівності багаточлена в точках відповідним табличним даним . У якості можна прийняти інтерполяційний багаточлен Лагранжа другого ступеню, що проходить через крапки , , :

.

Сума елементарних площ и (рис. 2) може бути підрахована за допомогою визначеного інтеграла. Враховуючи рівності , отримуємо:

.

Рисунок 2 – Сума елементарних площ і

Провівши такі обчислення для кожного елементарного відрізку [ ], підсумуємо отримані вирази:

.

Останній вираз для приймається як значення визначеного інтеграла:

. (7)

Отримане співвідношення називається формулою Сімпсона або формулою парабол.

Іноді формулу Сімпсона записують із застосуванням напівцілих індексів. В цьому випадку число відрізків розбиття довільне (не обов'язково парне), і формула Сімпсона має вид:

. (8)

Легко побачити, що формула (8) співпаде з (7), якщо формулу (7) застосувати для числа відрізків розбиття і кроку .

Приклад.

Обчислити за методом Сімпсона інтеграл .


Розв’язок

Значення функції при , представлені у табл.1, що наведена у попередньому прикладі.

Застосовуючи формулу (7), знаходимо:

.

Результат чисельного інтегрування з використанням методу Сімпсона співпадає з точним значенням (шість значущих цифр).

Завдання для самостійної роботи

1. Обчислити інтеграл за допомогою формул лівих і правих прямокутників при , оцінюючи точність за допомогою порівняння отриманих результатів.

2. Обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників, використовуючи оцінки точності подвійний прорахунок при , .

3. Обчислити інтеграл за допомогою формули трапецій з трьома десятковими знаками.

4. Обчислити інтеграл за допомогою формули Сімпсона при ; оцінити похибку результату, склавши таблицю кінцевих різниць.

№ варіанту

Лабораторна рОбота №3

Тема:Системи лінійних рівнянь

Теоретичні відомості

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти