ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Електродинаміка – як розділ теоретичної фізики, як вчення про електромагнітні явища.

Тема І. Вступ.

Електродинаміка – як розділ теоретичної фізики, як вчення про електромагнітні явища.

Поняття про класичну електродинаміку.

Два види електричних зарядів.

Принцип близькодії.

Елементи векторної алгебри.

 

Електродинаміка – розділ теоретичної фізики ,

в якому вивчаються електромагнітні явища. Вона розв’язує два типи задач:

a) за даним розподілом зарядів і струмів визначити поле;

b) за даним полем визначити розподіл зарядів і струмів.

Першим дослідникам електрика здавалася дивним явищем. Щоб отримати з тіл “невловимий вогонь”, як його іноді називають, приводити їх в стан інтенсивної електризації, створювати постійне протікання струму, вимагалась велика винахідливість. Здавалось, що звичайні явища природи, за винятком блискавки, не мають відношення до дивної поведінки наелектризованих предметів.

Тепер ми знаємо, що фізичні та хімічні властивості речовини – від атома до живої клітини – в значній степені пояснюються електричними силами. Цим знанням ми зобов’язані Амперу (1775 – 1836), Фарадею (1791-1867), Максвелу (1831 – 1879) і багатьом іншим вченим 19 століття, які відкрили природу електромагнетизму, а також фізикам і хімікам 20 століття, які розгадали атомну будову речовини.

Теоретичний курс електродинаміки підводить до важливих узагальнень, які дозволяють з допомогою математичного апарату глибоко і всесторонньо проаналізувати явища електромагнетизму. Знання теоретичних основ електродинаміки допомагає зрозуміти характер і об’єм спрощень, які з необхідності допускаються у відповідних розділах шкільних підручниках фізики.

Класична теорія електромагнетизму

Має справу з електричними зарядами, струмами та їх взаємодіями в припущенні, що всі ці величини можна виміряти незалежно одне від одного, з необмеженою точністю. Тут термін “класична” означає просто “не квантова”. Квантові закони з їх постійною “h” ігноруються в класичній теорії електромагнетизму, так само як в звичайній механіці. Дійсно класична теорія була майже закінчена до відкриття Планка. Вона не втратила свого значення і до цих пір. Ні переворот в наших уявленнях, створений квантовою фізикою, ні розвиток спеціальної теорії відносності не затьмарить світла рівнянь електромагнітного поля, які були написані Максвелом більше 130 років тому.

Звичайно класична теорія була ґрунтовно підкріплена експериментом і тому її можна застосовувати без найменшої боязні до таких об’єктів як котушки, конденсатори, змінні струми і, в кінці–кінців, радіо і світлові хвилі. Але навіть такий успіх не гарантує її справедливості в інших областях, наприклад, всередині молекули. Збережене в сучасній фізиці значення класичної теорії електромагнетизму пояснюється двома фактами. По-перше, спеціальна теорія відносності не вимагає перегляду класичного електромагнетизму. Історично СТВ виросла з класичної електромагнітної теорії і зв’язаних з нею експериментів. Дійсно макіавеллівські рівняння поля, створені задовго до робіт Лоренца і Ейнштейна, повністю сумісні з теорією відносності. По-друге, виявилось, що квантовий характер електромагнітних сил не проявляється навіть на віддалях менших 10-10см., що в 100 раз менше розмірів атома. Відштовхування і притягання частинок в атомі і листочків електроскопа описується одним і тими ж законами, не дивлячись на те, що поведінку атомних частинок під дією електричних сил може передбачити лише квантова механіка. Для менших віддалей має місце досить успішне злиття електромагнітної і квантової теорії, яке називається квантовою електродинамікою.

Класична (максвелівська) теорія поля як в її інтегральній, так і в диференціальній формі носить макроскопічний характер; другими словами, вона феноменологічна теорія. Це означає, що в ній

1) не враховано атомно молекулярна структура речовини, яка повністю, або частково заповнює простір. В якому існує ополе. Наявність речовини враховується шляхом введення ряду коефіцієнтів (ε, μ, σ і т.д.), які вважаються для кожної однорідної речовини постійними величинами які не залежать від особливостей поля (напруженості та частоти). В цій формальній теорії вакуум відрізняється від речовини іншим значенням вказаних вище коефіцієнтів.

2) Не враховується і атомістична структура зарядів (їх дискретність).

У феноменологічному характері теорії полягає її обмеженість. Врахування будови речовини привело до виникнення класичної електронної теорії або класичної мікроскопічної електродинаміки (Г.Лоренц, 1853-1928). Електронна теорія Лоренцо називається класичною, бо для неї характерне основне положення всієї класичної фізики, а саме, що на всіх рівнях організації матерії, в мега-, макро- і мікросвіті діють старого одинакові закономірності. Іншими словами, вважається що між макро- і мікросвітом існують чисто кількісні, масштабні, але не якісні відмінності.

Із цієї установки зразу ж випливає фундаментальне положення, на якому ґрунтується вся електронна теорія: рівняння Максвела, сформульовані в макроскопічній електродинаміці, строго примінимі і в мікросвіті. (Зауважимо, що це положення заперечує квантова фізика!). Разом з тим, класична електронна теорія не втратила свого значення до сих пір.

На відміну від зарядів, ЕМП розподіляється у просторі неперервно. У цьому полягає одна з істотних відмін поля від частинок у класичній (не квантовій) фізиці.

Принцип близькодії

У класичній теорії рух часток описується рівнянням руху Ньютона. Властивості поля описуються рівнянням поля. Рівняння поля у вакуумі називають рівнянням Максвела. В основі рівнянь лежить сформульований Фарадеєм принцип близькодії, який у сучасному формулюванні звучить так :

a) ЕМП в даній точці простору в даний момент часу визначається значенням поля в нескінченно близьких точках простору і в нескінченно близькі попередні моменти часу .

b) сила, з якою ЕМП діє в даний момент часу на заряд, який знаходиться в даній точці визначається значенням поля в цей момент в даній точці і швидкістю заряду в цей момент.

З принципу близькодії випливає, що ЕМП повинно характеризуватись диференціальними рівняннями з частинних похідних.

ЕМП, зв’язане з окремими зарядженими частинками, називається мікроскопічним.

Мікроскопічне поле характеризується векторами напруженості електричного поля E і векторами напруженості магнітного поля H, які описуються рівняннями Максвела.

Розв’язання цих та інших задач, що ставляться в електродинаміці, зводяться до формулювання умов, що відповідають поставленій задачі, та інтегрування рівнянь Максвела при заданих умовах. Відповідно до цього в електродинаміці вивчаються розділи: електростатику, магнітостатику, в яких розглядаються постійні електричні та магнітні поля, квазістаціонарні струми і поля, швидкозмінні електромагнітні поля. Результати, знайдені в усіх цих розділах, привели до розвитку таких важливих технічних дисциплін як електротехніка, радіотехніка, електроніка.

Взявши до уваги те, що ми на практиці здебільшого маємо справу з мільйонами і мільярдами заряджених частинок, ми, не вносячи скільки – не будь істотних помилок в результати міркувань, можемо зовсім не враховувати атомістичної будови електрики і користуватися уявленнями про неперервно розподілені заряди, або, інакше кажучи, ми можемо вважати, що заряди неперервно заповнюють заряджені ділянки тіл (так звані “об’ємні заряди”).

Ідучи за історичним ходом розвитку електродинаміки, ми почнемо з макроскопічної теорії електромагнітних явищ, яка ґрунтується на уявленні про неперервний розподіл електричних зарядів.

Після нагромадження певної кількості відомостей , ми прийдемо до мікроскопічної теорії, яка ґрунтується на врахуванні атомістичної будови електрики.

Розглянемо основні поняття .

Електромагнітна взаємодія (ЕМВ) –– один з типів фундаментальної взаємодії (гравітаційна, слабка, сильна, електромагнітна), що характеризується наявністю електромагнітного поля.

ЕМВ – дальнодіюча, може приводити як до притягання, так і до відштовхування. Це відображає існування двох різнойменних зарядів.

Вільні магнітні заряди в природі не виявлені.

Закони класичної електродинаміки допускають існування частинок з одним магнітним полюсом – магнітних монополів (ММ) і дають для них певні рівняння поля і рівняння руху. Ці закони не містять ніяких заборон, в силу яких магнітні монополя і не могли б існувати.

У квантовій механіці – непротирічиві рівняння руху для зарядженої частинки, що рухається в полі магнітного монополя, і для магнітного монополя, що рухається в полі частинки можна побудувати лише при умові, що електричний заряд e частинки і магнітний заряд μ магнітного монополя пов’язані співвідношеннями

(*)

Ця умова виникає внаслідок того, що в квантовій механіці частинки – представляються хвилями і появляються інтерференційні ефекти в русі частинок одного боку під впливом частинок другого боку. З (*): e = ħc/2μ тобто електричні заряди повинні бути квантова ними. Але кратність електричного заряду – один з фундаментальних законів природи. Якби існував магнітний монополь то цей закон мав би природне значення. Магнітні монополі (монополі Дірака (1931)) до цих пір не знайдені.

До ЕМВ зводиться більшість сил, що спостерігаються в макроскопічних явищах: сили пружності, тертя, поверхневого натягу в рідинах, тощо.

Властивості різних агрегатних станів речовини, хімічні перетворення, електричні, магнітні оптичні явища визначаються ЕМВ. Магнетизм може викликатися електричними струмами. Можна переходити від магнітних ефектів до електричних і здійснювати зворотний перехід просто змінюючи систему відліку.

Поділимо світ ЕМ явищ на три царства :

1. електричні заряди – нерухомі Þ електростатика

2. електричні заряди рухаються з постійною середньою швидкістю в електричному колі Þелектричний струм

3. заряди рухаються з прискореннямÞ випромінювання енергії в простір.

Дивергенція.

Нехай нам дане поле вектора а. Потоком вектора а через поверхню fназивається вираз

, (6)

де аn — проекція вектора а на позитивну нормаль до площадки df, df— вектор елементарної площадки, його модуль дорівнює величині площадки df, а напрям збігається з напрямом позитивної нормалі до площадки. Напрямок позитивної нормалі визначається в залежності від обставин. Так, наприклад, при обчисленні потоку через замкнуту поверхню позитивною вважається зовнішня нормаль. Назва «потік» обумовлене тим, що у випадку поля вектора швидкості рідини інтеграл ( 6) дає потік рідини через поверхню f , тобто об’єм рідини, що протікає через fза одиницю часу. Оточимо точку Р поля замкнутою поверхнею f. Обчислимо потік Фa через цю поверхню. Відношення Фа до V буде характеризувати властивості поля біля точки Р, усереднені по об’ємі V, усередині f. Чим менше лінійні розміри об’єму, тим ближче буде середня характеристика до даної характеристики поля в точці Р. Скалярну величину

(7)

називають дивергенцією векторного поля в точці Р.

мал.1

Визначення (7) є самим загальним, що не залежить від вибору координатної системи. Знайдемо вираз для дивергенції через проекції а на осі декартової системи координат. Візьмемо в околі точки Р об’єм у вигляді прямокутного паралелепіпеда з гранями,

перпендикулярними до координатних осей (мал. 1). Знайдемо потік вектора а через грані 1 і 2, які перпендикулярні до осі х. Зовнішня нормаль до грані 1 збігається по напрямку з віссю х. Тому для цієї грані ап = axl (індекс 1 указує, що значення ах береться в точці, що лежить на грані 1). Зовнішня нормаль до грані 2 протилежна по напрямку осі х. Тому для неї ап = - ax2 (індекс 2 вказує, що значення ах береться в точці, що лежить на грані 2). Сумарний потік через грані 1 і 2 дорівнює

(8)

де df = df1 = df2 (див. мал. l), ax1 і ax2 беруться для точок граней 1 і 2 з однаковими у і z. Інтеграл, що стоїть праворуч, береться по поверхні f кожної з граней 1 і 2. Розкладемо ах у ряд в околі точки Р:

(9)

Тут хр, ур, zpкоординати точки Р, ахР — значення ах у точці Р, (дах/дх)Р і т. д. - значення похідних у точці Р, εх — величина більш високого порядку малості, чим різниці (х— хр), (у ур), (z— zp), тобто величина, що зменшується швидше, ніж лінійні розміри паралелепіпеда.

Поклавши у рівняння (9) x = x1, знайдемо значення ах у точках грані 1 тобто ах1; поклавши x=x2, одержимо значення ax2. Віднявши ці значення один із одного, одержимо для протилежних площадок dfl і df2 (значення y i z для них однакові):

де знов-таки ε'х - величина, що зменшується швидше, ніж лінійні розміри об’єму.

Підставивши знайдене нами значення у формулу (8), одержимо

З мал. 1 видно, що добуток (х1- х2)f дає об’єм паралелепіпеда V. Тому:

де ε"х — величина більш високого порядку , ніж V.

Аналогічні вирази виходять і для потоків через пари граней, перпендикулярних до осей у і z:

Склавши разом Фх, Фу і Фr, одержимо повний потік вектора а через поверхню паралелепіпеда. Розділивши відповідно до рівняння (7) цей потік на V і зробивши граничний перехід) V Р, прийдемо до формули

(10)

(через непотрібність ми опустили індекс Р при похідних). Знайдений нами вираз ( 10) для дивергенції можна записати у вигляді

(11)

У такій формі поняття дивергенції може бути поширене на векторні поля в просторі n вимірів. Визначення (7) також можна поширити на простір n вимірів. У цьому випадку під елементом об’єму варто розуміти dV*=dx1 dx2 dx3. .dxn

Інтеграл потрібно брати по гіперповерхні розмірності п —1. Елемент гіперповерхні, перпендикулярний до осі xk буде дорівнювати df*= dx1 dx2... dxk-l dxk+l. . .dxn.

У просторі чотирьох вимірів гіперповерхнею буде звичайний тривимірний об’єм. Рівняння (11) можна розглядати як суму добутків величин Ñі = д/дхі і aі тобто як скалярний добуток векторів Ñ і а. Тому дивергенцію можна представити у вигляді

diva=Ña. (12)

Величина (Ñа)існує в кожній точці векторного поля а.

Отже, дивергенція утворить скалярне поле, визначене в тій же частині простору, що і поле вектора а. Візьмемо в поле вектора а кінцевий об’єм V, обмежений поверхнею f (2). Розіб'ємо цей об’єм на елементарні об’єми DV. Згідно (7) для потоку DФа через поверхню такого об’єму можна написати DФа = diva×DV = Ña×DV. Складемо ці рівняння для всіх елементарних об’ємів. мал. 2.

При сумуванні DФа потоки через грані, що розділяють два сусідніх об’єми, взаємно знищаться (для суміжних об’ємів потоки відрізняються знаками, тому що зовнішні нормалі n і n' мають протилежні напрямки). Некомпенсованими залишаться тільки потоки через ділянки зовнішньої поверхні f, так що в сумі вийде потік вектора а через цю поверхню. Сума праворуч у границі (при DV—»0) перетвориться в інтеграл по всьому об’ємі. Наближена рівність у границі перейде в строгу рівність. У результаті одержимо

(13)

Отримане нами співвідношення називається теоремою Остроградського — Гауса. Словесне формулювання цієї теореми говорить: потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції по об’ємі, обмеженому цією поверхнею.

Ротор.

Циркуляцією вектора а по контурі Г називається вираз

(14)

Наприклад, у потенціальному полі сила циркуляції вектора F дорівнює роботі сил на замкнутому контуру Г.

Візьмемо в околі точки Р контур Г, що лежить у площині, що проходить через Р. Знайдемо циркуляцію Са по цьому контурі. Відношення Са до поверхні f, охоплюваної контуром, буде характеризувати властивості поля в околі точки Р, усереднені по поверхні l. Чим менше лінійні розміри поверхні, тим ближче буде середня характеристика до дійсної характеристики поля в точці Р. У границі, при стягуванні контуру до точки Р, середня характеристика перетвориться в дійсну. Таким чином, властивості векторного поля в деякій точці Р можна охарактеризувати величиною

(15)

Величина (15) залежить не тільки від властивостей поля в точці Р, але і від орієнтації площини, у якій лежить контур. Орієнтацію цієї площини в просторі можна задати нормаллю до площини, зв'язаної з напрямком обходу по контурі Г при інтегруванні правилом правого гвинта (мал. 3). Для різних напрямків n величина ( 15) буде мати в одній і тій же точці Р різне значення, причому, як легко зміркувати, протилежним напрямкам n відповідають значення величини ( 15), що відрізняються тільки знаком. Отже, величина, обумовлена формулою (15), поводиться як проекція деякого вектора на напрямок нормалі до контуру Г. Цей вектор називають ротором векторного поля в точці Р и позначають символом rot a. Таким чином,

. (16)

мал..4

Формула ( 16) дає саме загальне визначення ротора, що не залежить від вибору координатної системи. Знайдемо вираження для ротора через проекції вектора rot×a на вісь х. Для цього візьмемо в околі точки Р контур Г, що лежить у площині, перпендикулярної до осі х (мал. 4). Напрямок обходу по контурі виберемо так, щоб воно утворювало з напрямком осі х. правогвинтову систему. Тоді напрямок n і осі х збіжаться і вираз (16) дасть (rot×a)x. Для вибраного нами контуру

 

де const включає в себе три складових, які не залежать від y і z, eу-величина більш високого порядку малості, чим лінійні розміри контуру. Отже,

Легко зміркувати, що ∮dy = 0. Точно так само дорівнює нулю інтеграл

.

З мал. 4 неважко побачити, що ∮zdy = -f де f- площа контуру. Отже

(17)

де eу' -величина більш високого порядку малості, чим площа контуру f.

Зробивши аналогічні перетворення для az, отримаємо вираз

Інтеграли ∮dz і ∮zdz = 1/2d(z2) дорівнюють нулю, ∮ydz = f

Тому

Вирази (17) і (18) у сумі дають ∮aldl. Розділивши відповідно до виразу (16) цю суму на f і здійснивши граничний перехід, одержимо

Розглянувши циркуляцію для контурів, орієнтованих нормаллю n по осях у і z, можна одержати вираження для проекцій ротора на ці осі:

Формули для проекцій ротора на координатні осі легко запам'ятати, прийнявши до уваги, що в кожній з них індекс при rot∙a і букви, що стоять праворуч у знаменниках, утворять циклічну перестановку, здійснювану за схемою: х→у→z→x. Знаючи проекції, легко знайти сам вектор:

(19)

З врахуванням того, що, наприклад, даг/ду можна представити у вигляді Ñуаг і т.д. , запишемо формулу (19) у такий спосіб:

(20)

Нарешті, порівняння з формулою (VI. 31) дає нам право написати, що

rot∙a = a] (21)

Скориставшись формулами для векторного добутку, можна написати для ротора і його k-й компоненти наступні вирази:

Величина [Ña] існує в кожній точці векторного поля а. Отже, ротор утворить векторне поле, визначене в тій же частині простору, у якій задане поле вектора а. Візьмемо в поле вектора а довільну поверхню f, обмежену контуром Г (контур може бути будь-яким, не обов'язково плоским). Розіб'ємо цю поверхню на малі елементи ∆f (мал. 5). Згідно (16) для циркуляції ∆Са по границі елемента ∆f можна написати вираз ∆Са =[Ña]n ∆f, де [Ña]n — проекція [Ña] на нормаль до даного ∆f, зв'язану з напрямком обходу правилом правого гвинта.

Складемо ці формули для всіх ∆f. При сумуванні ∆Са інтеграли ∫al dl, узяті вздовж границі сусідніх площадок, взаємно знищаться (для суміжних площадок ці інтеграли відрізняються знаком, тому що беруться в різних напрямках). Некомпенсованими залишаться тільки інтеграли ∫aldl для ділянок, що збігаються з контуром Г, що обмежує f. Ці інтеграли дадуть у сукупності циркуляцію а по контурі Г. Сума праворуч у границі (при ∆f→0) перетвориться в інтеграл по поверхні. Наближена рівність у межі перейде в строгу рівність. У підсумку одержимо

(23)

Знайдене нами співвідношення називається теоремою Стокса. Словесне формулювання цієї теореми говорить: циркуляція вектора а по замкнутому контурі Г дорівнює потоку вектора [Ña] через поверхню, натягнуту на контур Г.

Поверхня, по якій береться інтеграл у правій частині формули (23), може бути будь-якою, важливо лише, щоб вона спиралася своєю границею на контур Г. Напрямок нормалі n повинен бути погоджений з напрямком обходу контуру Г при інтегруванні.

 

 

Застосування оператора Ñ до добутку функцій.

При складанні формул, до яких входить Ñ, потрібно керуватися як правилами векторної алгебри, так і правилами диференціального числення. Нехай, наприклад, φ і y— скалярні функції точки. Тоді

Ñ(φy)=Ñy(φy)+Ñφ(φy) ( 24)

(індекс при Ñ вказує, на яку з функцій вона діє). Співмножник, на який у даний момент посилається Ñ не діє, можна винести з-під знаку Ñ (оператор Ñ діє тільки на величини, що стоять за ним). Тоді формула (24) прийме вигляд Ñ(φy) = φÑyy + yÑφ φ. У написаному нами вираженні, мабуть, немає необхідності в індексах при Ñ, так що остаточно

Ñ(φy) = φÑy + yÑφ. (25)

(читається: «фі градієнт псі плюс псі градієнт фі»).

Застосуємо Ñ до добутку φ∙а. У цьому випадку мається дві можливості — вектори Ñ і φа можна перемножити як скалярно, так і векторно. Відповідно одержимо

Ña) = Ñφa) + Ñaa)=aÑφ + φÑa (26)

а градієнт фі плюс фі дивергенція а»),

[Ñ,(φа)=[Ñφ,(φа)]+[Ñа,(φа)]=[(Ñφ),а] + φ[Ña]. (27)

Тепер застосуємо Ñ до добутку [ab], перемноживши вектори спочатку скалярно: Ñ[ab]=Ñа[ab] –Ñв[ab]. Здійснимо в кожному з доданків циклічну перестановку Ñ[a,b]=b[Ñaa]+a[bÑb]=b[Ñaa]-a[Ñbb]

Опустивши непотрібні вже індекси, прийдемо до формули

Ñ[ab]=b[Ña] — a[Ñb] ( 28)

b ротор а мінус а ротор b»).

Помножимо [ab] на Ñ векторно: [Ñ,[ab]] = [Ñа,[ab]] + [Ñb,[ab]]. Розгорнемо кожне з доданків по формулі «бац мінус цаб»):

[Ñ,[ab]] = a(Ñаb) — b(Ñaa) + a(Ñbb)— b(Ñba).

Розставивши множники так, щоб можна було опустити індекси при Ñ, одержимо

[Ñ,[ab]] = (bÑ)a — (aÑ)b + a(Ñb)— b(Ña). ( 29)

Вирази (aÑ) і (bÑ) суть скалярні диференціальні оператори. Наприклад,

(30)

Ці оператори можуть застосовуватися як до скалярних, так і до векторних функцій. У застосуванні до скаляра φ оператор (30) дає

(31)

При дії оператора () на вектор b отримуємо вираз

(32)

Застосуємо оператора (30) до добутку скалярної функції φ і векторної функції b:

(33)

Корисно знати значення виразу (aÑ)r, де r - радіус-вектор, а-деякий довільний вектор. Підставивши в (32) r замість b і прийнявши до уваги, що ∂xk/∂xi = dik, одержимо

(34)

Формули (25) — (29) ми одержали легко. Складніше знайти градієнт скалярного добутку двох векторів: Ñ (a b), тому що неясно, що треба розуміти під, наприклад, виразом Ña(a b). Його не можна трактувати як (Ña a )b, тому що операції перемножування а з b і застосування Ña не можна переставляти. Це можна обійти, скориставшись допоміжними співвідношеннями, що випливають з формули «бац мінус цаб»:

[а, [Ñb]] = Ñb(a∙ b)—b(Ñba) = Ñb(a∙ b) —(aÑ)b,

звідси

Ñb(a∙ b) = [a,[Ñb]]+(aÑ)b. (35)

Записавши таким же способом [b, [Ña]], прийдемо до співвідношення

Ñа(ab) = [b, [Ña]]+(bÑ)a. (36)

Підстановка співвідношень (35) і (36) у формулу

Ñ (a∙b)= Ña(a b)+ Ñb(a b)

приводить до наступного виразу для градієнта скалярного добутку векторів а і b:

Ñ(a∙b)=[a,[Ñb]]+[b,[Ña]]+(a∙Ñ)b + (bÑ)a. (37)

Повторне застосування оператора Ñ.

У результаті впливу оператора Ñ на скалярні чи векторні функції отримуються нові векторні або скалярні функції, до яких у свою чергу можна бути застосований оператор Ñ.

Градієнт функції φ є вектор. Отже, до нього можуть бути застосовані операції і дивергенції, і ротора. Обчислимо дивергенцію градієнта. Відповідно до формул (2) і (11)

Таким чином,

(38)

де ∆-оператор Лапласа:

(39)

З пророблених нами операцій випливає, що

Ñ2 = ∆. (40)

Однак потрібно мати на увазі, .що таке співвідношення між операторами Ñ і ∆ має місце тільки в декартових координатах. В інших системах координат, наприклад у циліндричній або сферичній, співвідношення (40) не виконується. Загальним визначенням оператора ∆, справедливим у будь-якій системі координат, є визначення, що випливає зі співвідношення (38), яке можна записати у вигляді

(41)

Знайдемо rot∙grad∙φ. Згідно (22)

(42)

Оскільки 2φ/∂хі ∂хк =∂2φ/∂хк∂хі, останній вираз дорівнює нулю, так що

rot∙grad∙φ = 0 (43)

Цього і треба було очікувати, тому що [Ñ, Ñφ] = [ÑÑ]φ, а векторний добуток вектора на самого себе дорівнює нулю.

Обчислимо дівергенцію ротора. Відповідно до формул (11) і (22)

Тому що d2an/dxkdxm = d2an/dxmdxk, останній вираз дорівнює нулю. Отже,

div∙rota = 0. (44)

До цього результату можна було прийти відразу, прийнявши до уваги, що мішаний добуток векторів (яким є Ñ[Ña]) дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах, що перемножуються. Тому при збігу двох співмножників із трьох такий добуток дорівнює нулю.

Для обчислення rot rot а будемо виходити з формул (22):

Зробимо циклічну перестановку індексів при ε так, щоб індекс k в обох ε виявився на останньому місці . У підсумку отримаємо

Здійснимо сумування по індексах m i n. У результаті отриманий нами вираз прийме вигляд

,

що можна представити в такий спосіб:

Отже ми отримали формулу

(45)

або

(46)

Легко переконатися в тому, що співвідношення ( 45) можна одержати, якщо розгорнути [Ñ,[Ña]] по формулі «бац мінус цаб», працюючи при цьому з Ñ як зі звичайним вектором.

З (46) випливає, що

(47)

Дивергенція є скаляром. Тому ніякої операції, окрім операції знаходження градієнта, до неї застосувати не можна.

 

Підсумок

1) Ñ=∂/∂x·i+∂/∂y·j+∂/∂z·k

2) ÑU(x.,y,z)=gradU=∂U/∂x·i+∂U/∂y·j+∂U/∂y·k

3) A(x,y,z))=divA=∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂z

4)

5) ÑÑU=Ñ2U=ΔU=∂2U/∂x2+∂2U/∂y2+∂2U/∂z2, Δ=∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2

6) Ñ[ÑA]=divrotA=0

7) [Ñ[ÑA]]=rotrotA=graddivA2A

8) Потік вектора A:

9) Теорема Гауса:

10) Циркуляція вектора:

11) Теорема Стокса:

12) Теорема Гріна І. Використаємо означення:

Покладемо: A=Ψgradφ=ΨÑφ, де Ψ, φ—скалярні функції; оскільки:

1) diva=div(Ψgradφ)=ÑÑφ)=Ψ(ÑÑφ)+(ÑΨ)(Ñφ)

2) An=Ψgradnφ=Ψ·∂φ/∂n

Таким чином, одержимо:

(*)

13) Теорема Гріна ІІ: в останньому співвідношенні (*) поміняємо Ψ на φ і навпаки

(2*)

і віднімемо від першого друге:

СФЕРИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ

 

ЦИЛІНДРИЧНА СИСТЕМА КООРДИНАТ

 

 

 

Електростатичний потенціал.

Теорема єдиності.

Квадрупольний момент.

Полярні діелектрики.

Метод відображень.

 

Закон Кулона

1. В основі електростатики лежить закон взаємодії точкових зарядів у вакуумі — закон Кулона, встановлений як узагаль­нення експериментальних фактів:

сила взаємодії f двох точкових зарядів прямо пропорційна добуткові кількостей електрики цих зарядів е1 і е2 і обернено пропорційна квадратові відстані r між ними, тобто

(1.1)

де k — коефіцієнт пропорціональності.

Сили взаємодії між двома точковими зарядами напрямлені вздовж прямої, яка сполучає ці заряди. При взаємодії одноймен­них зарядів (наприклад, позитивних) ці сили є силами відштов­хування, а для різнойменних — силами притягання.

При обчисленнях позитивний заряд (його кількість електрики) виражають числом додатним, а негативний—від'ємним; кількість електрики часто називають просто зарядом. Визначена за законом Кулона сила додатна при взаємодії однойменних зарядів і від'ємна для різнойменних зарядів. Отже, від'ємна сила є силою притя­гання, а додатна—силою відштовхування.

2. У законі Кулона (1.1) вводиться до розгляду нова фізична величина—заряд. Для використання рівності (1.1) в обчисленнях слід встановити одиницю заряду. Це можна зробити двома спо­собами: 1) вибрати наперед і довільно коефіцієнт k; тоді оди­ниця заряду визначатиметься однозначно з (1.1); 2) вибрати на­перед і довільно одиницю заряду; тоді з (1.1) однозначно виз­начатиметься коефіцієнт k.

Першим із цих способів користуються в системі одиниць СГСЕ, другим—у Міжнародній системі одиниць СІ.

У системі СГСЕ коефіцієнт пропорціональності k в законі Кулона прирівнюють до одиниці і вважають безрозмірним; тоді формула цього закону набирає

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти