![]() |
Деякі відомості з векторного аналізу
Ґрадієнт.Розглянемо скалярне поле, тобто область простору, кожній точці якої відповідає визначене значення скаляра φ: φ=φ(P)=φ(r)=φ(x1,x2,x3), де r - радіус-вектор, x1,x2,x3 - декартові координати точкиP Усім точкам поверхні, обумовленої рівнянням φ(х1, х2,x3) = const, ( 1) відповідає однакове значення φ. Поверхня виду ( 1) називається поверхнею рівня скаляра φ. Поверхню рівня можна провести через будь-яку точку поля. При зсуві з точки Р на відрізок dr функція φ отримує приріст Останній вираз не залежить від вибору координат хі ,тобто представляє собою інваріант. Сукупність величин dxi утворює вектор dr. Отже можна стверджувати, що величини dφ/dxі, суть проекції деякого вектора на осі хі. Цей вектор називають градієнтом скаляра φ і позначають символом grad φ. Отже,
або Визначення (2) легко поширити на простір п вимірів. В останньому випадку число доданків у формулі (2) буде дорівнює не трьом, а п. Доведемо, що компоненти градієнта перетворяться по формулах як компоненти вектора. Узявши дві системи координат: К і К', можна написати Виразимо dxі через dx'k і підставимо ці значення в (3): Змінимо в лівій частині порядок сумування по індексах i і k: Індекси і та к є «німими». Як уже відзначалося, «німий» індекс можна позначати будь-якою буквою. Тому сума ліворуч не зміниться, якщо переставити індекси i і k. У підсумку одержимо З отриманого нами співвідношення випливає Таким чином, ми показали, що величини дφ/дхі при перетвореннях координат поводяться як компоненти вектора. Гамільтон увів векторний диференціальний оператор Ñ (оператор набла чи оператор Гамільтона), що являє собою вектор зі складовими д/дх, д/ду, д/дz:
Сам по собі вектор Ñ змісту не має. Він набуває сенсу, будучи застосований до скалярної чи векторної функції. Так, при символічному множенні Ñ на φ виходить градієнт φ: Отже, Ñφ = grad φ. Згідно (3) приріст φ може бути представлений у вигляді скалярного добутку векторів grad φ і dr: dφ = grad φ • dr = (Ñφ) dr. (5) При переміщенні по поверхні рівня φ залишається незмінною (dφ = 0). Звідси відповідно до (5) випливає, що вектор Ñφ у кожній точці поля спрямований по нормалі до поверхні рівня. Знайдемо швидкість зміни φ уздовж деякого напрямку l, тобто dφ/dl. Згідно (5) приростом φ на відрізку dl дорівнює (Ñφ) dl = (Ñφ)l dl, де (Ñφ)l—проекція градієнта на напрямок l. Тому
Таким чином, проекція градієнта на деякий напрямок дає швидкість зміни функції в даному напрямку. Відзначимо, що вектор Ñφ існує в кожній точці скалярного поля φ. Отже, градієнт утворює векторне поле, тобто область простору, кожній точці якої відповідає визначене значення вектора Ñφ.
Дивергенція. Нехай нам дане поле вектора а. Потоком вектора а через поверхню fназивається вираз
де аn — проекція вектора а на позитивну нормаль до площадки df, df— вектор елементарної площадки, його модуль дорівнює величині площадки df, а напрям збігається з напрямом позитивної нормалі до площадки. Напрямок позитивної нормалі визначається в залежності від обставин. Так, наприклад, при обчисленні потоку через замкнуту поверхню позитивною вважається зовнішня нормаль. Назва «потік» обумовлене тим, що у випадку поля вектора швидкості рідини інтеграл ( 6) дає потік рідини через поверхню f , тобто об’єм рідини, що протікає через fза одиницю часу. Оточимо точку Р поля замкнутою поверхнею f. Обчислимо потік Фa через цю поверхню. Відношення Фа до V буде характеризувати властивості поля біля точки Р, усереднені по об’ємі V, усередині f. Чим менше лінійні розміри об’єму, тим ближче буде середня характеристика до даної характеристики поля в точці Р. Скалярну величину
називають дивергенцією векторного поля в точці Р.
Визначення (7) є самим загальним, що не залежить від вибору координатної системи. Знайдемо вираз для дивергенції через проекції а на осі декартової системи координат. Візьмемо в околі точки Р об’єм у вигляді прямокутного паралелепіпеда з гранями, перпендикулярними до координатних осей (мал. 1). Знайдемо потік вектора а через грані 1 і 2, які перпендикулярні до осі х. Зовнішня нормаль до грані 1 збігається по напрямку з віссю х. Тому для цієї грані ап = axl (індекс 1 указує, що значення ах береться в точці, що лежить на грані 1). Зовнішня нормаль до грані 2 протилежна по напрямку осі х. Тому для неї ап = - ax2 (індекс 2 вказує, що значення ах береться в точці, що лежить на грані 2). Сумарний потік через грані 1 і 2 дорівнює
де df = df1 = df2 (див. мал. l), ax1 і ax2 беруться для точок граней 1 і 2 з однаковими у і z. Інтеграл, що стоїть праворуч, береться по поверхні f кожної з граней 1 і 2. Розкладемо ах у ряд в околі точки Р:
Тут хр, ур, zp — координати точки Р, ахР — значення ах у точці Р, (дах/дх)Р і т. д. - значення похідних у точці Р, εх — величина більш високого порядку малості, чим різниці (х— хр), (у — ур), (z— zp), тобто величина, що зменшується швидше, ніж лінійні розміри паралелепіпеда. Поклавши у рівняння (9) x = x1, знайдемо значення ах у точках грані 1 тобто ах1; поклавши x=x2, одержимо значення ax2. Віднявши ці значення один із одного, одержимо для протилежних площадок dfl і df2 (значення y i z для них однакові): де знов-таки ε'х - величина, що зменшується швидше, ніж лінійні розміри об’єму. Підставивши знайдене нами значення у формулу (8), одержимо З мал. 1 видно, що добуток (х1- х2)f дає об’єм паралелепіпеда V. Тому: де ε"х — величина більш високого порядку , ніж V. Аналогічні вирази виходять і для потоків через пари граней, перпендикулярних до осей у і z:
Склавши разом Фх, Фу і Фr, одержимо повний потік вектора а через поверхню паралелепіпеда. Розділивши відповідно до рівняння (7) цей потік на V і зробивши граничний перехід) V →Р, прийдемо до формули
(через непотрібність ми опустили індекс Р при похідних). Знайдений нами вираз ( 10) для дивергенції можна записати у вигляді
У такій формі поняття дивергенції може бути поширене на векторні поля в просторі n вимірів. Визначення (7) також можна поширити на простір n вимірів. У цьому випадку під елементом об’єму варто розуміти dV*=dx1 dx2 dx3. .dxn Інтеграл потрібно брати по гіперповерхні розмірності п —1. Елемент гіперповерхні, перпендикулярний до осі xk буде дорівнювати df*= dx1 dx2... dxk-l dxk+l. . .dxn. У просторі чотирьох вимірів гіперповерхнею буде звичайний тривимірний об’єм. Рівняння (11) можна розглядати як суму добутків величин Ñі = д/дхі і aі тобто як скалярний добуток векторів Ñ і а. Тому дивергенцію можна представити у вигляді diva=Ña. (12) Величина (Ñа)існує в кожній точці векторного поля а. Отже, дивергенція утворить скалярне поле, визначене в тій же частині простору, що і поле вектора а. Візьмемо в поле вектора а кінцевий об’єм V, обмежений поверхнею f (2). Розіб'ємо цей об’єм на елементарні об’єми DV. Згідно (7) для потоку DФа через поверхню такого об’єму можна написати DФа = diva×DV = Ña×DV. Складемо ці рівняння для всіх елементарних об’ємів. мал. 2.
Отримане нами співвідношення називається теоремою Остроградського — Гауса. Словесне формулювання цієї теореми говорить: потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції по об’ємі, обмеженому цією поверхнею. Ротор. Циркуляцією вектора а по контурі Г називається вираз
Наприклад, у потенціальному полі сила циркуляції вектора F дорівнює роботі сил на замкнутому контуру Г. Візьмемо в околі точки Р контур Г, що лежить у площині, що проходить через Р. Знайдемо циркуляцію Са по цьому контурі. Відношення Са до поверхні f, охоплюваної контуром, буде характеризувати властивості поля в околі точки Р, усереднені по поверхні l. Чим менше лінійні розміри поверхні, тим ближче буде середня характеристика до дійсної характеристики поля в точці Р. У границі, при стягуванні контуру до точки Р, середня характеристика перетвориться в дійсну. Таким чином, властивості векторного поля в деякій точці Р можна охарактеризувати величиною
мал..4
де const включає в себе три складових, які не залежать від y і z, eу-величина більш високого порядку малості, чим лінійні розміри контуру. Отже, Легко зміркувати, що ∮dy = 0. Точно так само дорівнює нулю інтеграл
З мал. 4 неважко побачити, що ∮zdy = -f де f- площа контуру. Отже
де eу' -величина більш високого порядку малості, чим площа контуру f. Зробивши аналогічні перетворення для az, отримаємо вираз Інтеграли ∮dz і ∮zdz = 1/2∮d(z2) дорівнюють нулю, ∮ydz = f Тому Вирази (17) і (18) у сумі дають ∮aldl. Розділивши відповідно до виразу (16) цю суму на f і здійснивши граничний перехід, одержимо Розглянувши циркуляцію для контурів, орієнтованих нормаллю n по осях у і z, можна одержати вираження для проекцій ротора на ці осі:
Формули для проекцій ротора на координатні осі легко запам'ятати, прийнявши до уваги, що в кожній з них індекс при rot∙a і букви, що стоять праворуч у знаменниках, утворять циклічну перестановку, здійснювану за схемою: х→у→z→x. Знаючи проекції, легко знайти сам вектор:
З врахуванням того, що, наприклад, даг/ду можна представити у вигляді Ñуаг і т.д. , запишемо формулу (19) у такий спосіб:
Нарешті, порівняння з формулою (VI. 31) дає нам право написати, що rot∙a = [Ña] (21)
Величина [Ña] існує в кожній точці векторного поля а. Отже, ротор утворить векторне поле, визначене в тій же частині простору, у якій задане поле вектора а. Візьмемо в поле вектора а довільну поверхню f, обмежену контуром Г (контур може бути будь-яким, не обов'язково плоским). Розіб'ємо цю поверхню на малі елементи ∆f (мал. 5). Згідно (16) для циркуляції ∆Са по границі елемента ∆f можна написати вираз ∆Са =[Ña]n ∆f, де [Ña]n — проекція [Ña] на нормаль до даного ∆f, зв'язану з напрямком обходу правилом правого гвинта. Складемо ці формули для всіх ∆f. При сумуванні ∆Са інтеграли ∫al dl, узяті вздовж границі сусідніх площадок, взаємно знищаться (для суміжних площадок ці інтеграли відрізняються знаком, тому що беруться в різних напрямках). Некомпенсованими залишаться тільки інтеграли ∫aldl для ділянок, що збігаються з контуром Г, що обмежує f. Ці інтеграли дадуть у сукупності циркуляцію а по контурі Г. Сума праворуч у границі (при ∆f→0) перетвориться в інтеграл по поверхні. Наближена рівність у межі перейде в строгу рівність. У підсумку одержимо
Знайдене нами співвідношення називається теоремою Стокса. Словесне формулювання цієї теореми говорить: циркуляція вектора а по замкнутому контурі Г дорівнює потоку вектора [Ña] через поверхню, натягнуту на контур Г. Поверхня, по якій береться інтеграл у правій частині формули (23), може бути будь-якою, важливо лише, щоб вона спиралася своєю границею на контур Г. Напрямок нормалі n повинен бути погоджений з напрямком обходу контуру Г при інтегруванні.
Застосування оператора Ñ до добутку функцій. При складанні формул, до яких входить Ñ, потрібно керуватися як правилами векторної алгебри, так і правилами диференціального числення. Нехай, наприклад, φ і y— скалярні функції точки. Тоді Ñ(φy)=Ñy(φy)+Ñφ(φy) ( 24) (індекс при Ñ вказує, на яку з функцій вона діє). Співмножник, на який у даний момент посилається Ñ не діє, можна винести з-під знаку Ñ (оператор Ñ діє тільки на величини, що стоять за ним). Тоді формула (24) прийме вигляд Ñ(φy) = φÑyy + yÑφ φ. У написаному нами вираженні, мабуть, немає необхідності в індексах при Ñ, так що остаточно Ñ(φy) = φÑy + yÑφ. (25) (читається: «фі градієнт псі плюс псі градієнт фі»). Застосуємо Ñ до добутку φ∙а. У цьому випадку мається дві можливості — вектори Ñ і φа можна перемножити як скалярно, так і векторно. Відповідно одержимо Ñ(φa) = Ñφ(φa) + Ña(φa)=aÑφ + φÑa (26) («а градієнт фі плюс фі дивергенція а»), [Ñ,(φа)=[Ñφ,(φа)]+[Ñа,(φа)]=[(Ñφ),а] + φ[Ña]. (27) Тепер застосуємо Ñ до добутку [ab], перемноживши вектори спочатку скалярно: Ñ[ab]=Ñа[ab] –Ñв[ab]. Здійснимо в кожному з доданків циклічну перестановку Ñ[a,b]=b[Ñaa]+a[bÑb]=b[Ñaa]-a[Ñbb] Опустивши непотрібні вже індекси, прийдемо до формули Ñ[ab]=b[Ña] — a[Ñb] ( 28) («b ротор а мінус а ротор b»). Помножимо [ab] на Ñ векторно: [Ñ,[ab]] = [Ñа,[ab]] + [Ñb,[ab]]. Розгорнемо кожне з доданків по формулі «бац мінус цаб»): [Ñ,[ab]] = a(Ñаb) — b(Ñaa) + a(Ñbb)— b(Ñba). Розставивши множники так, щоб можна було опустити індекси при Ñ, одержимо [Ñ,[ab]] = (bÑ)a — (aÑ)b + a(Ñb)— b(Ña). ( 29) Вирази (aÑ) і (bÑ) суть скалярні диференціальні оператори. Наприклад,
Ці оператори можуть застосовуватися як до скалярних, так і до векторних функцій. У застосуванні до скаляра φ оператор (30) дає
При дії оператора (aÑ) на вектор b отримуємо вираз
Застосуємо оператора (30) до добутку скалярної функції φ і векторної функції b:
Корисно знати значення виразу (aÑ)r, де r - радіус-вектор, а-деякий довільний вектор. Підставивши в (32) r замість b і прийнявши до уваги, що ∂xk/∂xi = dik, одержимо
Формули (25) — (29) ми одержали легко. Складніше знайти градієнт скалярного добутку двох векторів: Ñ (a b), тому що неясно, що треба розуміти під, наприклад, виразом Ña(a b). Його не можна трактувати як (Ña ∙a )b, тому що операції перемножування а з b і застосування Ña не можна переставляти. Це можна обійти, скориставшись допоміжними співвідношеннями, що випливають з формули «бац мінус цаб»: [а, [Ñb]] = Ñb(a∙ b)—b(Ñba) = Ñb(a∙ b) —(aÑ)b, звідси Ñb(a∙ b) = [a,[Ñb]]+(aÑ)b. (35) Записавши таким же способом [b, [Ña]], прийдемо до співвідношення Ñа(a∙ b) = [b, [Ña]]+(bÑ)a. (36) Підстановка співвідношень (35) і (36) у формулу Ñ (a∙b)= Ña(a b)+ Ñb(a b) приводить до наступного виразу для градієнта скалярного добутку векторів а і b: Ñ(a∙b)=[a,[Ñb]]+[b,[Ña]]+(a∙Ñ)b + (bÑ)a. (37) Повторне застосування оператора Ñ. У результаті впливу оператора Ñ на скалярні чи векторні функції отримуються нові векторні або скалярні функції, до яких у свою чергу можна бути застосований оператор Ñ. Градієнт функції φ є вектор. Отже, до нього можуть бути застосовані операції і дивергенції, і ротора. Обчислимо дивергенцію градієнта. Відповідно до формул (2) і (11) Таким чином,
де ∆-оператор Лапласа:
З пророблених нами операцій випливає, що Ñ2 = ∆. (40) Однак потрібно мати на увазі, .що таке співвідношення між операторами Ñ і ∆ має місце тільки в декартових координатах. В інших системах координат, наприклад у циліндричній або сферичній, співвідношення (40) не виконується. Загальним визначенням оператора ∆, справедливим у будь-якій системі координат, є визначення, що випливає зі співвідношення (38), яке можна записати у вигляді
Знайдемо rot∙grad∙φ. Згідно (22)
Оскільки ∂2φ/∂хі ∂хк =∂2φ/∂хк∂хі, останній вираз дорівнює нулю, так що rot∙grad∙φ = 0 (43) Цього і треба було очікувати, тому що [Ñ, Ñφ] = [ÑÑ]φ, а векторний добуток вектора на самого себе дорівнює нулю. Обчислимо дівергенцію ротора. Відповідно до формул (11) і (22) Тому що d2an/dxkdxm = d2an/dxmdxk, останній вираз дорівнює нулю. Отже, div∙rota = 0. (44) До цього результату можна було прийти відразу, прийнявши до уваги, що мішаний добуток векторів (яким є Ñ[Ña]) дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах, що перемножуються. Тому при збігу двох співмножників із трьох такий добуток дорівнює нулю. Для обчислення rot rot а будемо виходити з формул (22): Зробимо циклічну перестановку індексів при ε так, щоб індекс k в обох ε виявився на останньому місці . У підсумку отримаємо Здійснимо сумування по індексах m i n. У результаті отриманий нами вираз прийме вигляд
що можна представити в такий спосіб: Отже ми отримали формулу
або
Легко переконатися в тому, що співвідношення ( 45) можна одержати, якщо розгорнути [Ñ,[Ña]] по формулі «бац мінус цаб», працюючи при цьому з Ñ як зі звичайним вектором. З (46) випливає, що
Дивергенція є скаляром. Тому ніякої операції, окрім операції знаходження градієнта, до неї застосувати не можна.
|
|
|