ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Основні особливості закону Кулона

1)Закон Кулона стосується точкових зарядів;

2)Закон стосується нерухомих електричних зарядів ;

3)Однойменні заряди відштовхуються , різнойменні – притягаються;

4)Заряди не мають внутрішньої структури ;

5)Сила взаємодії між зарядами напрямлена вздовж прямої, що з’єднує ці заряди;

6)Сила взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані між зарядами;

Принцип суперпозиції: якщо є система точкових зарядів, то сила взаємодії між парою електричних зарядів не залежить від наявності інших зарядів.

Напруженість електростатичного поля.

Принцип суперпозиції полів.

У просторі навколо нерухомих зарядів існує електростатичне поле, яке є окремою формою матерії. Електростатичне поле діє на всякий внесений в поле заряд. Це дає змогу вивчати власти­вості поля експериментальне, вміщуючи в нього позитивний точ­ковий заряд q − «пробний» заряд. Цей заряд повинен бути досить малим — настільки малим, щоб він не викликав помітних змін поля, яке ми досліджуємо.

1. Розглянемо найпростіший випадок, коли досліджуване електростатичне поле є полем нерухомого заряду e, розміщеного в початку координат системи ОХУZ. Положення пробного заряду q визначимо радіусом-вектором r(х, у, z). За законом Кулона на заряд q діє сила:

(2.1)

Розглянемо відношення сили f до величини пробного заряду:

(2.2)

 

Або

(2.3)

 

 

Цей вектор Е не залежить від величини пробного заряду. З (2.3) випливає, що Е функція координат точки спостереження. Функція Е визначена в усіх точках поля, є важливою характери­стикою електростатичного поля; її на­зивають напруженістю поля. З (2.2) випливає, що напруженість електростатичного поля в даній точці простору за величиною і напрямом вимірюється силою, з якою поле діє на одиницю позитивного заряду вміщеного в дану точку поля.

Електростатичне поле існує реально і незалежно від пробного заряду В кожній своїй точці воно характеризується вектором Е напруженості.

Знаючи вектор Е в усіх точках поля, можна обчислити механічну силу, яка діяла б на точковий заряд q, якби його помістили в довільно взяту точку поля; цю силу називають пондеромоторною .

З (2.2) випливає, що на точковий заряд q поле діє з пондеромоторною силою f, яка дорівнює:

f= qE, (2.4)

де Е напруженість електростатичного поля в точці розміщення заряду q.

Одиниця вимірювання напруженості Е визначається за формулою (2.2): якщо на вміщений в дану точку поля заряд величиною 1 Кл діє сила 1 Н, то напруженість поля в цій точці в системі СІ дорівнює одиниці. Одиницею вимірювання напруженості

є 1В/м (вольт на метр), бо 1Н/К = 1В/м . Розмірність [Е]:

(2.5)

2. Розглянемо тепер електростатичне поле довільної системи точкових зарядів е1, е2, .... еп. Як і для одного точкового заряду, напруженість поля системи зарядів визначається рівністю

(2.6)

де f— сила, з якою досліджуване електростатичне поле діє на пробний точковий заряд q.

Досліди свідчать, що напруженість електростатичного поля довільної системи точкових зарядів е1, е2, ... еn дорівнює гео­метричній сумі напруженостей тих полів, які властиві кожному точковому заряду окремо. Отже,

Е=Е12 +... +Еn. (2.7)

або, на підставі (2.3),

де riвектор, проведений від точки, в якій міститься заряд еi, до точки спостереження, тобто до тієї точки простору, в якій визначають напруженість поля Е. Рівність (2.7) виражає принцип суперпозиції полів.

Закон Кулона і принцип суперпозиції полів покладено в основу теорії електростатичного поля у вакуумі.

З принципу суперпозиції полів (2.7) та з означення напруженості (2.6) випливає, що пондеромоторна сила, прикладена до точкового заряду q, дорівнює:

(2.9)

тобто вона дорівнює геометричній сумі сил f1 , f2 ,…,fn, ство­рюваних кожним зарядом окремо (fi =qЕi).

3. Досі ми вивчали поле точкових зарядів. Проте реальні заряди розподілені в певних об'ємах або по поверхнях. Тому постає потреба розглядати поле об'ємних і поверхневих зарядів. Прикладом поверхневого розподілу заряду є заряд на поверхні провідника. Поверхневі заряди, як і «точкові», є насправді об'єм­ними, проте вони розміщені в шарі, дуже тонкому порівняно з розмірами зарядженої поверхні.

Введемо поняття об'ємної і поверхневої густини заряду. Об'ємну густину заряду в даній точці простору визначають як границю відношення заряду ∆e, який міститься в об'ємі ∆v , що оточує точку, до величини цього об'єму:

(2.10)

Вводячи поняття об'ємної густини заряду ρ в макроскопічній теорії, ми фактично ігноруємо атомістичну структуру заряду і розглядаємо його як суцільний, що неперервно заповнює певний об'єм. Аналогічно в гідромеханіці розглядають рідину як суцільне середовище, хоч в дійсності вона є сукупністю молекул.

Поняття поверхневої густини заряду σ вводять аналогічно:

(2.11)

де ∆s—елемент поверхні, на якому розміщений заряд ∆e.

Розглядаючи об'ємні і поверхневі заряди, ми вважаємо ρ i σ неперервними функціями координат.

4. Знайдена вище формула (2.8) визначає напруженість поля в усьому просторі, крім точок, де розміщені заряди, що є джерелами поля. Але, як ми бачили, згадані особливі точки простору — тільки зручна абстракція, бо реальні заряди завжди об'ємні. Тому важливо переконатись, що при об'ємних зарядах напру­женість поля скінчена в усіх без винятку точках простору, включаючи і точки всередині цих об'ємних зарядів. І справді, в точці спостереження з радіусом-вектором r елементарний заряд de=ρdv створює напруженість

.

Вектор повної напруженості за принципом суперпозиції дорівнює:

(2.12)

Якщо перейти до сферичних координат і замінити елемент об'єму на dv=r2 sinθdrdφdθ, то

У цій формулі r/r є одиничний вектор, і його проекція на вісь Ох дорівнює cos(r,x) Тому складова напруженості по осі Ох буде:

 

(2.13)

Цей інтеграл і аналогічні для Еy, Еz мають, очевидно, скінчення значення в усіх точках простору, зокрема і при r = 0, бо об'ємна густина ρ скінчена. Твердження про скінченність Е в усьому просторі доведено. З (2.13) випливає також однозначність і неперервність вектора E.

5. Різні питання електростатики буває зручно тлумачити, користуючись поняттям силових ліній поля, або ліній напруженості.

Силовою лінією поля (лінією напруженості) називають таку лінію, в кожній точці якої вектор напруженості є дотичним;

Cиловим лініям приписують напрям, що збігається з напрямом вектора напруженості в кожній точці цієї лінії.

Силову лінію можна провести через кожну точку поля .

Диференціальне рівняння силових ліній знайдемо, коли вира­зимо математично, що елемент силової лінії dl паралельний в кожній точці до вектора напруженостіE:

dl=λE

 

Теорема Гауса

Безпосереднє застосування закону Кулона і принципу супер­позиції полів для визначення напруженості електростатичного-поля часто приводить до надто громіздких обчислень, які важко провести до кінця. У багатьох випадках ця задача може бути істотно спрощена, якщо скористатися деякими теоремами про загальні властивості електростатичного поля. У цьому параграфі буде встановлена одна з таких загальних теорем — теорема Гауса.

Теорема Гауса має для теорії поля і принципове значення. Справа в тому, що математична форма закону Кулона відповідає ідеї далекодії (силова дія двох зарядів на відстані). Теорема Гауса дасть можливість перейти до диференціальної форми основних рівнянь електростатичного поля, завдяки чому і форма рівнянь електростатики буде узгоджена з теорією близькодії.

 

У теоремі Гауса розглядається потік напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню. Нагадаємо поняття потоку. Нехай у полі взято елементарну площадку dS iпроведено одиничний вектор n

нормалі до цієї площадки. Потоком вектора Eчерез площадку dS у напрямі нормалі n називають величину

dN=En dS (3.1)

тобто добуток нормальної складової вектора на площу dS. Потік може бути додатним або від'ємним залежно від того, додатна чи від'ємна проекція Еn (мал. 5). Потік напруженості N через замкнену поверхню S є сумою елементарних потоків, тобто:

(3.2)

 

де інтеграл поширюється на всю замкнену поверхню S. У формулі (3.2) Еn є проекція напруженості на зовнішню, нормаль до поверхні S.

Розглянемо найпростіший випадок: припустимо, що поле, створене ізольованим позитивним точковим зарядом е і, що поверхня є сфера, радіусом r, в центрі якої розміщений точковий заряд. Чому дорівнює потік N через таку поверхню?

Відповісти на це питання легко, оскільки величина напруженості Е в кожній точці поверхні дорівнює k·e/r2, а його напрям співпадає із зовнішньою нормаллю до поверхні. Таким чином, ми маємо

N=E·(всю площу)= k·e/r2·4πr2=1/εε0·e

Як бачимо, потік не залежить від розмірів сфери. Можна показати, що потік N через замкнуту поверхню не залежить від її розмірів і форми.

Для строгого доведення теореми Гауса обчислимо спочатку потік напруженості поля окремого точкового заряду. Якщо заряд е розміщений у точці О на відстані r від площинки dS, то елементарний потік напруженості дорівнюватиме:,

dN=EndS=EcosφdS (3.3)

де φ—кут між напрямами векторів E i n (мал. 6). Скориставшись формулою (2.3), знайдемо:

(3.4)

Побудуємо конус з вершиною в точці О, твірні якого мають за основу точки контуру елементарної площинки dS. Цей конус вирізує на поверхнях двох концентричних сфер з радіусами r i l, центри яких містяться в точці О, елементарні площинки і dΣ' відповідно. Кут між площадками dS і дорівнює φ — кутові між нормалями до цих площинок. Площадку можна розглядати як проекцію площадки dS на поверхню сфери; тому маємо рівність:

dΣ= dScosφ (3.5)

Але площі сфер відносяться як квадрати їх радіусів, тобто

(3.6)

де через позначено спільне значення написаних відношень: приймають за величину тілесного кута, під яким видно елемент dS з точки О. Використавши співвідношення (3.5) і (3.6), перепишемо елементарний потік напруженості (3.4) у вигляді

(3.7)

Домовимось тілесний кут вважати додатним тоді, коли кут φ між напрямами векторів Eі n гострий, і від'ємним, якщо кут φ тупий. При цій умові формула (3.7) справедлива для обох можливих виборів напряму нормалі n до площинки dS, яка до того ж може бути орієнтована в просторі цілком довільно.

Ми знайшли елементарний потік dN, і тепер можна приступити до обчислення потоку напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню. При цьому нам доведеться роз­глядати два можливі випадки розміщення заряду відносно поверхні.

а) Точковий заряд е міститься всередині замкненої поверхні S. Конус з вершиною в точці О і з тілесним кутом dω вирізує на поверхні S непарну кількість елементарних площадок dS (на мал. 7—три: dS1, dS2, dS3). Потоки напруженості поля через ці площинки в напрямі зовнішньої нормалі до поверхні S, згідно з (3.7),за величиною всі рівні, але їх знаки чергуються: dN1>0, dN2>0, dN3>0.

Кількість елементарних площадок може бути більшою за три;взагалі dNk>0 для тих площадок dSk які видно з точки О з внутрішнього боку поверхні S, і dNk<0 для елементів dSk, які видно з точки О з зовнішнього боку поверхні. Тому сума потоків напруженості поля через усі площинки, вирізані на поверхні S елементарним конусом, дорівнює потокові через першу площадку dS1 і за формулою (3.7) знаходимо:

Додаючи потоки для всіх елементарних конусів із спільною вершиною в точці О, знайдемо:

(3.8)

тому що повний тілесний кут дорівнює 4π стерадіанів.

Отже, якщо заряд, що створює поле, міститься всередині замкненої поверхні S, то потік напруженості електростатичного поля через поверхню S зсередини назовні дорівнює алгебраїчній величині заряду, поділеній на електричну сталу.

Цей результат легко поширити на випадок, коли електроста­тичне поле створюється довільною кількістю точкових зарядів e1, e2, . . . , розміщених усередині поверхні. Дійсно, складова на­пруженості поля вздовж напряму нормалі n дорівнює алгебраїчній сумі складових, зумовлених кожним із зарядів; тоді потік дорівнюватиме:

dN=EndS=(E1n+ E2n+…)dS= E1ndS+ E2ndS+...,

або

dN= dN1+ dN2+...,

Інтегруючи цю рівність по довільній замкненій поверхні, знайдемо:

N = N1+ N2+…,

і, згідно з (3.8),

(3.9)

б) Точковий заряд е міститься зовні від замкненої поверхні S. Тоді кількість площадок dSk вирізаних на поверхні S елементарним конусом, парна. Тому для кожного елементарного конуса потік dN дорівнює нулю, бо він є сумою парного числа однако­вих за величиною доданків, знаки яких чергуються. Потік напруженості через усю замкнену поверхню S дорівнює, очевидно, теж нулю:

Мал.7

N=0 (3.10)

Отже, у випадку, коли точковий заряд (або довільна їх кількість) міститься зовні від замкненої поверхні S, потік напруженості електростатичного поля через цю поверхню дорівнює нулю.

Обидва розглянуті випадки (заряди всередині поверхні і заряди поза поверхнею) охоплюються однією формулою:

(3.11)

де e1, e2, . . . ,en—тільки ті заряди, що містяться всередині поверхні.

З (3.11) і випливає формулювання теореми Гауса:

потік N вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнену поверхню S зсередини назовні дорівнює алгебраїчній сумі тих зарядів еi які містяться всередині поверхні, поділеній на електричну сталу ε0.

Теорема Гауса поширюється такожна випадок, коли електростатичне поле створено не точковими, а довільними об'ємними або поверхневими зарядами. Справді, такі заряди можна роздробити на сукупність елементарних зарядів ρi△vi, і σi△Si. Застосувавши рівність (3.11) до цієї сукупності зарядів, знайдемо:

Перейдемо до границі при умові △vi→0 i △Si→0 ; тоді дістанемо:

(3.12)

Згідно з теоремою Гаусса потік вектора напруженості поля Е через замкнену; поверхню може бути відмінним від нуля тільки тоді, коли всередині поверхні є заряди. Позитивному заряду відповідає додатний потік напруженості, негативному — від'ємний. Отже. заряди є своєрідними джерелами і стоками потоку напруженості поля, або, коротше, джерелами поля (додатними чи від'ємними).Усе це можна унаочнити, проводячи в полі силові лінії, які наче виходять з позитивних зарядів і входять у негативні. Тому позитивні заряди можна розглядати (умовно) як джерела поля, а негативні — як його стоки. Наочну геометричну модель силових ліній поля можна поглибити ще й далі, домо­вившись про певну густотуліній; це приводить до поняття силових трубок.

Приклад 1, Напруженість поля, рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нехай електростатичне поле створено поверхневимипозитивними зарядами, розміщеними із сталою густиною σ на нескінченній площині. З міркувань симетрії зрозуміло, що лінії напруженості поля перпендикулярні до площини і напрямлені від неї.

Мал.8

Визначимо величину напруженості поля в точці А, яка лежить на відстані а від площини.

Застосовуємо теорему Гауса до потоку через поверхню циліндра, зображеного на мал.8 (основи циліндра рівновіддалені від зарядженої площини, а твірні перпендикулярні до неї). Величина напруженості поля на обох основах однакова. Очевидно, потік напруженості поля через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, бо лінії напруженості паралельні бічній поверхні. Тому повний потік N складається з рівних за величиною потоків через дві основи циліндра. Обидва ці потоки додатні і кожний з них дорівнює добуткові величини напруженості Е на площу основи S:

N=N1+N2=ES+ES=2ES

За теоремою Гауса потік N дорівнює зарядові σS, розміщеному всередині циліндричної поверхні, поділеному на ε00;

звідки шукана напруженість Е- дорівнюватиме:

Мал.9

(3.13)

Виходить, що величина напруженості Е не залежить від відстані точки А до площини. Тому скрізь, справа і зліва від нескінченної зарядженої площини, електричне поле однорідне.

Звернемо увагу на те, що поверхневий заряд σ площини зумовлює стрибок нормальної складової напруженості (мал. 9) на величину:

(3.14)

Якщо площина заряджена негативно, напруженість поля напрямлена скрізь до площини.

Приклад 2. Поле двох нескінченних паралельних площин, заряджених різнойменними зарядами з густиною +σ і -σ . Напруженість поля двох площин можна обчислити геометричним додаванням напруженостей полів окремих площин. Очевидно, напруженості полів обох площин у просторі між ними напрям­лені в один бік, так що повна напруженість дорівнюватиме:

(3.15)

У просторі поза площинами напруженості, створювані окремими площинами, за абсолютною величиною рівні, але протилежно напрямлені. Тому повна напруженість у просторі поза площинами дорівнюватиме нулю:

Отже, при двох паралельних різнойменно заряджених однаковою поверхневою густиною)

нескінченних площинах електростатичне поле існує тільки між ними.

Додаток

Використовуючи векторну теорему Гауса, рівність (3.12) можна переписати:

Остання рівність повинна мати місце незалежно від вибору від вибору області інтегрування V, що можливе лише у тому випадку, коли підінтегральні вирази дорівнюватимуть один одному в кожній точці простору:

Можна сказати, що дивергенція електричного поля міняється в тих і тільки в тих точках поля, в яких знаходяться електричні заряди.

Таким чином, можна зробити висновок, щоелектростатичне поле створюють електричні заряди, тобто електричні заряди є причиною (джерелом) електричного поля.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти