ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Потенціальний характер електростатичного поля

 

1. Робота, яка здійснюється силами електричного поля при переміщенні заряду (q) на відрізок дорівнює dA=qEdl

(1)

Зокрема, робота при переміщенні dl одиничного позитивного заряду дорівнює:

dA = Edl (2)

за напрям шляху береться напрям дотичної

Нарешті, робота, яка здійснюється при переміщенні одиничного позитивного заряду на скінченому шляху L дорівнює :

(3)

Робота, яка здійснюється полем називається додатною, а - зовнішніми силами - від’ємною. Знак L біля інтеграла означає , що необхідно обчислити суму значень підінтегрального виразу (елементарних робіт ) для всіх елементів лінії L. Ця операція називається інтегруванням по лінії L.

2. Робота електричних сил на даному шляху L, взагалі кажучи, може залежати як від положення початкової і кінцевої точок шляху, так і від форми шляху.

Однак, як ми зараз покажемо, електричне поле нерухомих зарядів має ту надзвичайну особливість, що робота сил цього поля на шляху між двома довільними точками залежить лише від початкового і кінцевого положення переміщення і не залежить від форми шляху. Силові поля, які мають ці особливості, називаються полями консервативними або потенціальними.

Зауважимо, що в потенціальному полі робота сил поля по довільному замкнутому шляху повинна дорівнювати нулю.

Дійсно, вказаний замкнутий шлях 1L2L'1 можна довільним чином розбити на два : L і L'. Робота на шляху L' дорівнює, очевидно, взятій з оберненим знаком роботі на тому ж шляху , при проходженні його в зворотному напрямку від 1 до 2, яка в свою чергу в потенціальному полі за умовою дорівнює роботі на шляху L. Таким чином, загальна робота на всьому замкнутому шляху 1L2L'1 дорівнює нулю, що і треба було довести.

Мал.1

В полі нерухомих зарядів перемістивши заряд з 1 в 2 і потім з 2 в 1 , ми не здійснили ніяких змін в навколишньому просторі, тому не має ні виграшу в роботі, ні її втрати. Отже, робота на замкнутому шляху дорівнює 0

Навпаки, якщо робота сил поля на всякому замкнутому шляху дорівнює нулю, то робота цих сил на шляху між двома довільними точками 1 і 2 не залежить від форми шляху, тобто це поле потенціальне.Дійсно розглянемо два довільних шляхи L і L'. Складемо з них замкнутий шлях: 1L2L'1. Робота на замкнутому шляху за умовою дорівнює нулю. Значить A(L)12 = -A(L')21 або іншими словами = A(L')12, що і треба було довести.

Таким чином , рівність нулю роботи на довільному замкнутому шляху є необхідна і достатня умова незалежності роботи від форми шляху і може вважатися характерною ознакою потенціального поля, тобто

(4)

3. Переходячи до доведення потенціального характеру електростатичного поля, розглянемо спочатку роботу електричних сил в полі елементарного (точкового ) заряду q.

Робота цих сил при нескінченно малому переміщенні “пробного” одиничного позитивного заряду дорівнює:

dA = Edl = k(q/R3)Rdl = k(q/R2)dl cos (R,dl) =k(q/R2)dR (5)

dR - проекція переміщення пробного заряду dl на радіус-вектор R. dR разом з тим є приріст чисельного значення радіус-вектора R, тобто збільшення віддалі пробного заряду від q. Тому робота може бути представлена у формі повного диференціалу скалярної функції точки (—q/R):

Мал.2

(6)

R- чисельне значення радіус-вектора R. Таким чином, робота, яка здійснюється при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки P1 в точку P2по скінченому шляху L, дорівнює:

(7)

де R1,R2 - віддалі початкової і кінцевої точок шляху від заряду q.

Таким чином, робота електричних сил на довільному шляху в полі нерухомого елементарного (точкового) заряду дійсно залежить лише від положень початкової і кінцевої точки цього шляху і зовсім не залежить від форми шляху.

Таким чином, поле нерухомого елементарного (точкового) заряду є поле потенціальне.Очевидно, що сума потенціальних полів є також поле потенціальне, оскільки робота складових сил не залежить від форми шляху, то і робота рівнодійної від неї також не залежить . Оскільки поле довільної системи зарядів можна розглядати як суму полів кожного з елементів цих зарядів (принцип суперпозиції), то довільне електричне поле є поле потенціальне і задовольняє умову (4).

4. Інтегральна умова (4) може бути перетворена в умову диференціальну. Згідно теореми векторного аналізу (теорема Стокса) інтеграл по контуру можна перетворити в інтеграл по площі:

(8)

Оскільки площа S - довільна, то:

(9)

Умова (9) - умова потенціальності поля в диференціальній формі.

Умову (9) можна переписати у такому вигляді:

rot E=0=-rot gradφ

тобто

E=- gradφ (10)

Поняття про потенціал виникло в роботах Лагранжа в 1777р. Термін «потенціал» ввів Грін (1828) і Гаус (незалежно).

Знак (-) — так домовилися. Фізичний зміст: gradφ спрямований в сторону зростання потенціалу, а чисельна величина grad є мірою швидкості (бистроти) цього зростання. Таким чином, E - є міра швидкості спадання потенціалу.

Та обставина, що робота сил електростатичного поля по даному шляху залежить лише від положення початкової і кінцевої точок шляху, дає можливість ввести в розгляд надзвичайно важливе поняття потенціалу електростатичного поля.

Покажемо, що вибір E у вигляді (10) задовольняє умову потенціальності.

Перепишемо (10) в декартових координатах:

(10')

На підставі теореми Шварца для компонент rot E, одержимо:

(9')

 

або

rot E=0 (9')

що і треба було показати.

Останнє співвідношення означає, що в даному полі немає вихорів, що його силові лінії не утворюють замкнутих кривих. Поле, що задовольняє цій умові називається потенціальним.

Зауваження:

Зв’язок між E і φ: E = -gradφ = -¶ φ/¶ r відповідає загальному виду зв’язку між силою і потенціальною енергією F = -¶ U/¶ r

 

Скалярний потенціал.

Визначення:

різниця потенціалів між двома точками електростатичного поля дорівнює взятій з протилежним знаком роботі, яка здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду.

Таким чином , різниця потенціалів ¶ φ між двома нескінчено близькими точками, розділеними віддалю d l, дорівнює:

(11)

 

(12)

Причому, цей інтеграл може бути взятий по довільному шляху, який з’єднує точки P і P0.

Якщо зафіксувати значення потенціалу в деякій одній точці поля, значення його в усіх інших точках поля однозначно визначається рівнянням (12).

Як правило, адитивну постійну у виразі потенціалу вибирають так, щоб потенціал φ¥ нескінченно віддалених точок дорівнював 0, тобто φ¥ = 0.

При цьому потенціал φ довільної точки поля P визначається таким виразом:

(13)

Таким чином, потенціал точки P буде дорівнювати роботі, яка здійснюється силами поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки P в нескінченість.

Рівноцінне визначення:

Потенціал поля в даній точці чисельно рівний роботі зовнішніх сил проти поля при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченості в цю точку. Очевидно, що робота зовнішніх сил при переміщенні заряду з нескінченості в дану точку поля переходить в його потенціальну енергію, -A¥ = W.

Значить φ = W/q Þ потенціал поля в даній точці чисельно дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Якщо в точці з потенціалом φ знаходиться заряд q, то він має потенціальну енергію

W = qφ.

Тому

У полі елементарного (точкового) заряду різниця потенціалів між точками P і P0 згідно (7) дорівнює:

(14)

У цьому випадку, для того, щоб виконувалася умова φ¥ = 0 , достатньо , очевидно, покласти φ0 = k(q/R0); тоді потенціал поля точкового заряду q на віддалі R від нього буде дорівнювати

; (15)

Потенціал поля довільної системи точкових зарядів дорівнює сумі потенціалів полів кожного з цих зарядів зокрема.

де Ri- віддаль точки поля, яка має потенціал φ, від заряду qi.

 

(16)

Остання умова—це принцип суперпозиції, поширений на поняття потенціалу.

При наявності поверхневих зарядів заряд кожної поверхні може бути розкладений на сукупність елементарних зарядів нескінченно малих елементів поверхні dS:

dq = σ dS (17)

В цьому випадку формула (16) перепишеться

(18)

В полі об’ємних зарядів одержимо

(19)

В абсолютній системі одиниць потенціал визначається так: різниця потенціалів двох точок поля дорівнює одиниці, якщо при переміщенні одиничного позитивного заряду з однієї точки поля в іншу , сили виконують роботу , що дорівнює одному ергу.

Ця одиниця потенціалу велика порівняно з тими, з якими приходиться мати справу на практиці, тому практичною одиницею потенціалу служить 1В.

абсолютна одиниця потенціалу.

Рівняння Пуассона і Лапласа

 

Теорема Остроградського – Гауса у формі

(1)

пов’язує значення електричної напруженості в точках деякої замкнутої поверхні з величиною заряду, який знаходиться в середині об’єму , який обмежений цією поверхнею, тобто пов’язує величини, які відносяться до різних точок поля. Можна , однак, надати цій теоремі таку форму, щоб в неї входили величини, які відносяться до однієї і тієї ж точки поля.

Будемо вважати, що заряди рівномірно розподілені по деякому об’єму V з густиноюρ.

Об’ємна густина визначається співвідношенням:

у випадку , якщо заряд розміщений по об’єму ΔV нерівномірно. Для рівномірного розподілу справедливе співвідношення: ρ = q/V. Праву частину рівності (1) можна записати у вигляді інтегралу

(2)

Перетворимо ліву частину згідно теореми Гауса

(3)

Підставимо (3) в (2), одержимо

(4)

Оскільки V- об’єм довільний, тому правильна рівність

(5)

Формула (5) описує рівняння Гауса у диференціальній формі.

Оскільки не завжди зручно використовувати компоненти вектора напруженості

(Ex, Ey, Ez), то використовують формулу, яка поєднує напруженість E з потенціалом φ); тому

(6)

або, згідно правил векторного аналізу,

Таким чином,

Ñ2φ=- ρ/ε0 (7)

Це диференціальне рівняння носить назву рівняння Пуассона. В тих ділянках поля , в яких немає електричних зарядів, це рівняння перетворюється в нуль (ρ = 0):

(8)

Цей частинний вид рівняння Пуассона називається рівнянням Лапласа.

Величину Ñ2φ іноді позначають через Δφ і називають лапласіаном скаляра φ.

Рівняння Пуассона дає можливість визначити потенціал поля об’ємних зарядів, якщо відоме розміщення цих зарядів. Розв’язок (інтеграл) цього диференціального рівняння ( при певних граничних умовах) повинен, очевидно, співпадати з виведеною нами раніше формулою

(9)

Наразі відмітимо, що для розв’язку деяких задач зручніше виходити не з інтегралу (9), а безпосередньо з диференціального рівняння (7)

Самі функції, які задовольняють рівнянням Лапласа, називаються гармонічними функціями .

Одна з властивостей гармонічних функцій: якщо функції φ(x, y, z) задовольняють рівняння Лапласа, то середнє значення φ по поверхні будь – якої сфери ( не обов’язково невеликої) дорівнює значенню φ в центрі сфери.

2.Вважаючи Ñ - вектором, одержимо, що його квадрат

співпадає з визначенням для лапласіана в декартових координатах. Тому лапласіан часто називають “ набла в квадраті” і ми говоримо “набла квадрат”

розуміючи “divgradφ”.

Зауваження: в інших системах координат , наприклад в сферичних (полярних) координатах визначення градієнта і визначення Лапласа не пов’язані між собою. Необхідно пам’ятати, що ґрунтовне визначення оператора Лапласа полягає в тому, що він є дивергенцією градієнта…)

Додаток

Зміна напруженості поля при переході через заряджену поверхню

Доведемо, що поверхневий заряд зумовлює стрибок напруженості в точках зарядженої поверхні.

Нехай S-заряджена поверхня, σ—поверхнева густина заряду. Позначимо через n одиничний вектор нормалі, проведений з довільної точки зарядженої поверхні S в одному певному з двох можливих напрямів. Виділимо на поверхні S елемент △S настільки малий, щоб його можна було вважати плоским і рівномірно зарядженим, і побудуємо на цьому елементі циліндр, висота якого

△h. Нехай M2точка основи циліндра, яка міститься з того самого боку від поверхні S, що й нормальn, а М1 точка на протилежній основі циліндра (з іншого боку S). Одиничні нормалі, напрямлені назовні від циліндра, позначимо через n2 i n1 (мал. 3).

Потік напруженості Е через замкнену поверхню циліндра, згідно теореми Гауса, дорівнюватиме:

(1)

тому що всередині циліндра міститься заряд Δe = σΔS. Ліву частину рівності (1) подамо як алгебраїчну суму трьох доданків: двох, що характеризують потоки напруженості через дві основи циліндра, і ще одного, що характеризує потік напруженості через бічну поверхню циліндра. Оскільки висоту циліндра △h можна взяти якою завгодно малою при фіксованому △S, то при граничному переході, коли△h→0, потік через бічну поверхню зникатиме. Через це рівність (5.1) набирає вигляду:

 

E2n1ΔS+E1n1ΔS = 1/ε0∙σΔS

або

(2)

ТутЕ1 і Е2 вектори напруженості поля в точках М1 і М2, а , E1n1 i E2n2проекції цих векторів на напрями n1 i n2 відповідно. Враховуючи, що в кожній точці поверхні S напрям n2, однаковий з напрямомn, а напрям n1 протилежний доn, матимемо: , ;

тоді рівність (2) можна записати так:

(3)

Складова напруженості поля Е в напрямі нормалі до зарядженої поверхні має в точках цієї поверхні розрив неперервності і змінюється стрибком на величину, що дорівнює поверхневій густині заряду, поділеній на електричну сталу.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти