ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Загальний розв’язок рівняння Пуассона

 

У попередньому параграфі було доведено, що визначення електростатичного поля зводиться до розв’язання рівняння Пуассона. Тому постає задача принципового значення: знайти загальний розв’язок рівняння Пуассона. Використаємо відому з векторного аналізу теорему Гріна:

 

(1)

тут S - означає поверхню, яка обмежує об’єм V, а φ і ψ - дві довільні, але неперервні всередині об’єму V скалярні функції точки, які мають неперервні перші і другі похідні всередині цього об’єму.

Поставимо собі задачу визначити значення електричного потенціалу φ в деякій точці поля P. Позначимо віддаль довільної точки поля від точки P через R. Виберемо в теоремі Гріна (1) (в системі Гауса)

φ=1/R (2)

і приймемо до уваги, що

Ñ2 (1/R)=0 (3)

(це твердження доведіть вдома, врахувавши, що

та використаємо рівняння Пуассона

Підставляючи ці значення у формулу Гріна (1) одержимо

 

(4)

Звідси

або

(5)

припустимо спочатку, що у всьому об’ємі V, який включає точку P і обмеженому поверхнею S, потенціал φ і його похідна є неперервними функціями точки. Скаляр

φ = 1/R і його похідні неперервні і скінчені у всьому просторі, крім точки P.

Оскільки теорему Гріна можна застосовувати лише до таких дільниць простору в яких обидва скаляри, φ і ψ, і їх похідні неперервні, то точку Р необхідно вилучити з області інтегрування V. Опишемо для цього навколо точки P сферу S0 довільного малого радіуса R0 і застосуємо формулу (5) до об’єму V', який знаходиться між зовнішньою поверхнею S і поверхнею S0:

(6)

 

де індекс S+S0 біля знака поверхневого інтеграла означає, що інтеграл цей повинен бути поширений по поверхні S і S0. Розглянемо детальніше інтеграл по поверхні сфери S0. Зовнішня, по відношенню до об’єму інтегрування V', нормаль до поверхні сфери S0 спрямована до її центру і прямо протилежна радіусу вектора R. Тому на поверхні S0:

(7)

і

(8)

Використаємо ці значення в поверхневому інтегралі (6) і застосуємо так звану «теорему про середнє» інтегрального числення:

(9)

 

де (¶φ/φR), φ деякі середні значення величині (¶φ/¶R) на поверхні сфери S0; Оскільки ∮dS дорівнює загальній поверхні сфери 4πR20 , то права частина рівняння (9) дорівнює

 

(10)

Спрямуємо тепер до нуля радіус R0 , стягуючи сферу S0 в точку P . При цьому останній член виразу (10) прямує до нуля, а середнє значення потенціалу на поверхні нескінченно малої сфери можна прийняти рівним значенню потенціалу φP в її центрі P. Таким чином

 

(11)

Отже, в границі R0→0 рівняння (6) приймає вид:

 

або

(12)

де об’ємний інтеграл може бути поширений на весь об’єм V , обмежений площею S , бо при R0→ 0 V' прямує до V , а підінтегральний вираз залишається скінченим і при

R = 0

Зауважимо, що хоча R і входить в знаменник підінтегрального виразу

все ж цей вираз залишається скінченим в усіх точках поля об’ємних зарядів. Розглянемо, наприклад, вираз

( * )

і введемо систему сферичних координат R, θ, α з центром в досліджуваній точці ( θ - полярний кут, α- азимут). Елемент об’єму dV виразиться в цих координатах наступним чином

 

і формула ( * ) набере вигляду

 

(2*)

причому підінтегральний вираз залишається скінченим і при значеннях R = 0 .Перший інтеграл у (12) визначає потенціал, створений об’ємними зарядами, розміщеними в об’ємі V , який обмежений поверхнею S . Ті заряди, що містяться поза об’ємом V , у перший інтеграл не входять. Їх вплив на потенціал поля враховується поверхневим інтегралом у формулі (12), тобто виражається через значення потенціалу φ та його похідної ¶φ/¶n по нормалі до поверхні S .

Тому об’ємний інтеграл у (12) слід розглядати як частинний розв’язок рівняння Пуассона, а поверхневий – як загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (рівняння Лапласа)

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння ( з вищої алгебри) дорівнює загальному розв’язку відповідного однорідного рівняння плюс частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

1.Якщо в певному об’ємі зарядів немає, то потенціал поля однозначно визначається лише граничними умовами по поверхні, що обмежує інший об’єм;

2.Якщо всі заряди розміщені в об’ємі V ( за межами того об’єму вільних зарядів немає ), то поверхневий інтеграл дорівнює нулю;

Дійсно, оскільки потенціал φ є однозначною функцією і перший доданок в (12) не залежить від вибору S ( бо всі заряди вже охоплені цією поверхнею), то й другий доданок (12) не може залежати від вибору S. Тому поверхню S в цьому випадку можна прийняти за сферу радіуса R і припустити , що R→ ¥. Але для великих значень R маємо:

 

 

і тому підінтегральна функція в поверхневому інтегралі прямо пропорційна 1/R3, там часом , як поверхня сфери S прямо пропорційна R2 .

Ми проходимо до висновку, що при інтегруванні по всьому простору (або по скінченому простору, що охоплює всі заряди) поверхневий інтеграл зникає.

Отже,

(13)

 

де інтеграл взято по всіх зарядах, то створюють поле.

Можна довести, що та частина поля, яку в (12) описує поверхневий інтеграл, еквівалентний полю, створюваному зарядами, розміщеними з певною густиною на поверхні S. Таким чином загальний вираз для φ може бути представлений у виді:

 

(14)

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти