Енергія електростатичного поля

Вираз електричної енергії у формі (10) може бути представлений в іншій математичній формі, причому це перетворення відкриває можливість зовсім нової фізичної інтерпретації.

Використаємо формулу Гріна:

(1)

де φ, ψ - неперервні скалярні функції в об'ємі, які мають неперервні похідні.

Покладемо ψ = φ і будемо вважати φ потенціалом поля. Приймемо до уваги, що

одержимо

(2)

Будемо вважати, що всередині об'єму V є заряджена поверхня S з поверхневою густиною σ. ρ об’ємна густина. Тепер безпосередньо до цього об’єму формулу Гріна застосовувати не можна, оскільки на зарядженій поверхні напруженість поля має розрив ( а теорема Гріна вимагає, щоб φ була неперервна і мала

неперервні похідні: E = -Ñφ

Оточимо поверхню S₁ деякою поверхнею S'₁. Тепер до об'єму V-V' = V₁ теорему Гріна можна застосувати. Виберемо до поверхні S₁ зовнішню нормаль N I n₁, n₂.- зовнішні нормалі до об'єму V-V' = V₁ . Перепишемо формулу (2) для нашого випадку:

Будемо тепер стягувати поверхню S'₁ так, щоб вона все щільніше прилягала до S₁; в границі (S'₁→S₁ ) S'₁ співпаде з S₁ і інтегрування по S'₁ зведеться до двохкратного інтегрування по поверхні S₁: один раз по внутрішній (відносно нормалі N ), а другий раз по зовнішній стороні цієї поверхні:

де індексами 1 і 2 позначені значення підінтегральних виразів відповідно з зовнішньої ( відносно нормалі N ) і внутрішньої сторони поверхні S₁.

тут використано , що φ₁=φ₂=φ - потенціал є неперервна функція. Оскільки N паралельна до n₂ і антипаралельна n₁ , то

¶φ/¶N- нормальна складова напруженості поля - E_n ; отже

Таким чином

(4)

Разом з тим при співпаданні S₁ з S'₁, V₁ співпадає з об'ємом V , який обмежений поверхнею S, так, що рівняння (3) набирає виду :

(5)

розділивши обидві частини рівняння (5) на 8π, одержимо:

(6)

перші два члени правої частини цієї рівності аналогічні виразу (10) енергії W, але інтегрування поширено в даному випадку не по всіх зарядах, які знаходяться в полі, а лише по тих з них, які знаходяться всередині об’єму V. Сума цих членів не співпадає з взаємною енергією зарядів, які знаходяться всередині V, тому що значення потенціалу залежить також і від розміщення зарядів поза об'ємом V.

Поширимо інтегрування на все повне поле; під цим ми розуміємо, що область інтегрування V охоплює, по - перше, всі взаємодіючі заряди, і по - друге, все поле цих зарядів. В цьому випадку , як правило, границя повного поля прямує в нескінченість.

Термін "повне поле" застосовується до нескінченого об’єму V в тому і лише в тому випадку, якщо при граничному переході від скінченого об'єму V до нескінченновеликого інтеграли всіх величин, що нас цікавлять, на поверхні S цього об'єму прямують до нуля.

Це дійсно так, оскільки φ≈1/R, ¶φ/¶N≈¶φ/¶R≈1/R, S≈R². Тому при

R→ ∞ φ¶φ/¶n≈R²/R³→0

Згідно сказаного, формула (6) перепишеться:

(7)

Таким чином електрична енергія повного поля :

(8)

З математичної точки зору це рівняння являє собою лише перетворену форму рівняння (10) і цілком йому еквівалентна. Але рівняння (7) має зовсім інший фізичний зміст, а саме:

носієм електричної енергії є електричне поле, причому енергія поля локалізована в просторі так, що в кожній одиниці об'єму міститься кількість енергії w , яка дорівнює

w = ½εε₀E² (9 )

де Е - напруженість електричного поля в даному елементі об’єму. Величина w може бути названа об'ємною густиною електричної енергії.

Формула (7) враховує і власну енергію зарядів, тобто енергію, що дорівнює роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість .

Приклад: Розглянемо повну (тобто власну і взаємну ) енергію двох зарядів q₁ і q₂. Нехай кожен з них зокрема збуджує відповідне поле E₁ і E₂ ,так що результуюче поле обох зарядів дорівнює

E = E₁+E₂ (* )

E =(E₁+E₂) = E²₁+E²₂+2(E₁E₂) (2*)

Повна енергія зарядів q₁ і q₂ згідно (3) дорівнює

(3*)

Або

W = W₁+W₂+W₁₂ (4*)

де W₁, W₂ - власні енергії зарядів q₁, q₂, а W₁₂- їх взаємна енергія.

(E₁-E₂)² ≥ 0 (так вибираємо), тому з цієї рівності слідує, що E²₁+E²₁≥2(E₁E₂)

так що

W₁+W₂ ≥ W₁₂ (5*)

Таким чином додатна власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому випадку дорівнює) їх взаємній енергії, яка може мати як додатне , так і від'ємне значення. Важливо відмітити, що енергія електричного поля не має властивості адитивності, тобто, що енергія поля , яка дорівнює Е , взагалі кажучи, не дорівнює сумі енергій складових полів.

Звернемося до різного змісту рівнянь (7), (9) та (10) і (2.7). Ці рівняння відрізняються тим, що

1.енергія W, яка визначається з (2.7) або (2.8) не може набувати від'ємних значень

тоді як

Це пояснюється тим, що в (7), (9) враховується взаємодія "точкових" зарядів, але не взаємодія окремих елементів кожного такого заряду між собою (власна енергія заряду)

2.Власна енергія заряду залежить, звичайно від розмірів заряду і дорівнює тій роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість.

3.Додатня власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому разі дорівнює) їх взаємній енергії W₁+W₂ ≥ W₁₂

W₁+W₂³W₁₂

4.Енергія електричного поля не має властивості адитивності

коли E = E₁+E₂ , то W ≠ W₁+W₂

W=W₁+W₂+W₁₂

Додаток

Скористаємося формулою (10)

W=½∫ρφdV (1)

Використаємо:

divE=ρ/ε₀ (2)

(2)→(1)

W= ½ ε₀ ∫ φ div E dV (3)

Використаємо вираз з векторної алгебри:

div (φ E)=gradφ·E +φdiv E →φdiv E=div(φ·E)-E gradφ (4)

(4)→(3):

W=ε₀/2∫div(φ·E)dV+ε₀/2∫(-grad φ)EdV

Поширимо інтегрування по повному простору, тобто R→∞, скориставшись векторною теоремою Гауса:

∫div(φE)dV=∫φEdS|_→∞→0

Таким чином:

W=ε₀/2∫(-grad φ)EdV=∫(ε₀E²/2)dV (5)