ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Енергія електростатичного поля

Вираз електричної енергії у формі (10) може бути представлений в іншій математичній формі, причому це перетворення відкриває можливість зовсім нової фізичної інтерпретації.

Використаємо формулу Гріна:

 

(1)

де φ, ψ - неперервні скалярні функції в об'ємі, які мають неперервні похідні.

Покладемо ψ = φ і будемо вважати φ потенціалом поля. Приймемо до уваги, що

одержимо

(2)

 

Будемо вважати, що всередині об'єму V є заряджена поверхня S з поверхневою густиною σ. ρ об’ємна густина. Тепер безпосередньо до цього об’єму формулу Гріна застосовувати не можна, оскільки на зарядженій поверхні напруженість поля має розрив ( а теорема Гріна вимагає, щоб φ була неперервна і мала

неперервні похідні: E = -Ñφ

Оточимо поверхню S1 деякою поверхнею S'1. Тепер до об'єму V-V' = V1 теорему Гріна можна застосувати. Виберемо до поверхні S1 зовнішню нормаль N I n1, n2.- зовнішні нормалі до об'єму V-V' = V1 . Перепишемо формулу (2) для нашого випадку:

(3)

Будемо тепер стягувати поверхню S'1 так, щоб вона все щільніше прилягала до S1; в границі (S'1→S1 ) S'1 співпаде з S1 і інтегрування по S'1 зведеться до двохкратного інтегрування по поверхні S1: один раз по внутрішній (відносно нормалі N ), а другий раз по зовнішній стороні цієї поверхні:

де індексами 1 і 2 позначені значення підінтегральних виразів відповідно з зовнішньої ( відносно нормалі N ) і внутрішньої сторони поверхні S1.

тут використано , що φ12=φ - потенціал є неперервна функція. Оскільки N паралельна до n2 і антипаралельна n1 , то

¶φ/¶N- нормальна складова напруженості поля - En ; отже

Таким чином

(4)

Разом з тим при співпаданні S1 з S'1, V1 співпадає з об'ємом V , який обмежений поверхнею S, так, що рівняння (3) набирає виду :

(5)

розділивши обидві частини рівняння (5) на 8π, одержимо:

(6)

перші два члени правої частини цієї рівності аналогічні виразу (10) енергії W, але інтегрування поширено в даному випадку не по всіх зарядах, які знаходяться в полі, а лише по тих з них, які знаходяться всередині об’єму V. Сума цих членів не співпадає з взаємною енергією зарядів, які знаходяться всередині V, тому що значення потенціалу залежить також і від розміщення зарядів поза об'ємом V.

Поширимо інтегрування на все повне поле; під цим ми розуміємо, що область інтегрування V охоплює, по - перше, всі взаємодіючі заряди, і по - друге, все поле цих зарядів. В цьому випадку , як правило, границя повного поля прямує в нескінченість.

Термін "повне поле" застосовується до нескінченого об’єму V в тому і лише в тому випадку, якщо при граничному переході від скінченого об'єму V до нескінченновеликого інтеграли всіх величин, що нас цікавлять, на поверхні S цього об'єму прямують до нуля.

Це дійсно так, оскільки φ≈1/R, ¶φ/¶N≈¶φ/¶R≈1/R, S≈R2. Тому при

R→ ∞ φ¶φ/¶n≈R2/R3→0

Згідно сказаного, формула (6) перепишеться:

(7)

Таким чином електрична енергія повного поля :

(8)

З математичної точки зору це рівняння являє собою лише перетворену форму рівняння (10) і цілком йому еквівалентна. Але рівняння (7) має зовсім інший фізичний зміст, а саме:

носієм електричної енергії є електричне поле, причому енергія поля локалізована в просторі так, що в кожній одиниці об'єму міститься кількість енергії w , яка дорівнює

w = ½εε0E2 (9 )

де Е - напруженість електричного поля в даному елементі об’єму. Величина w може бути названа об'ємною густиною електричної енергії.

Формула (7) враховує і власну енергію зарядів, тобто енергію, що дорівнює роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість .

Приклад: Розглянемо повну (тобто власну і взаємну ) енергію двох зарядів q1 і q2. Нехай кожен з них зокрема збуджує відповідне поле E1 і E2 ,так що результуюче поле обох зарядів дорівнює

E = E1+E2 (* )

E =(E1+E2) = E21+E22+2(E1E2) (2*)

Повна енергія зарядів q1 і q2 згідно (3) дорівнює

(3*)

Або

W = W1+W2+W12 (4*)

де W1, W2 - власні енергії зарядів q1, q2, а W12- їх взаємна енергія.

(E1-E2)2 ≥ 0 (так вибираємо), тому з цієї рівності слідує, що E21+E21≥2(E1E2)

так що

W1+W2 ≥ W12 (5*)

Таким чином додатна власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому випадку дорівнює) їх взаємній енергії, яка може мати як додатне , так і від'ємне значення. Важливо відмітити, що енергія електричного поля не має властивості адитивності, тобто, що енергія поля , яка дорівнює Е , взагалі кажучи, не дорівнює сумі енергій складових полів.

Звернемося до різного змісту рівнянь (7), (9) та (10) і (2.7). Ці рівняння відрізняються тим, що

1.енергія W, яка визначається з (2.7) або (2.8) не може набувати від'ємних значень

тоді як

Це пояснюється тим, що в (7), (9) враховується взаємодія "точкових" зарядів, але не взаємодія окремих елементів кожного такого заряду між собою (власна енергія заряду)

2.Власна енергія заряду залежить, звичайно від розмірів заряду і дорівнює тій роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість.

3.Додатня власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому разі дорівнює) їх взаємній енергії W1+W2 ≥ W12

W1+W2³W12

4.Енергія електричного поля не має властивості адитивності

коли E = E1+E2 , то W ≠ W1+W2

W=W1+W2+W12

Додаток

Скористаємося формулою (10)

W=½∫ρφdV (1)

Використаємо:

divE=ρ/ε0 (2)

(2)→(1)

W= ½ ε0 ∫ φ div E dV (3)

Використаємо вираз з векторної алгебри:

div (φ E)=gradφ·E +φdiv E →φdiv E=div(φ·E)-E gradφ (4)

(4)→(3):

W=ε0/2∫div(φ·E)dV+ε0/2∫(-grad φ)EdV

Поширимо інтегрування по повному простору, тобто R→∞, скориставшись векторною теоремою Гауса:

∫div(φE)dV=∫φEdS|→∞→0

Таким чином:

W=ε0/2∫(-grad φ)EdV=∫(ε0E2/2)dV (5)

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти