![]() |
Енергія електростатичного поля
Вираз електричної енергії у формі (10) може бути представлений в іншій математичній формі, причому це перетворення відкриває можливість зовсім нової фізичної інтерпретації. Використаємо формулу Гріна:
де φ, ψ - неперервні скалярні функції в об'ємі, які мають неперервні похідні. Покладемо ψ = φ і будемо вважати φ потенціалом поля. Приймемо до уваги, що одержимо
Будемо вважати, що всередині об'єму V є заряджена поверхня S з поверхневою густиною σ. ρ об’ємна густина. Тепер безпосередньо до цього об’єму формулу Гріна застосовувати не можна, оскільки на зарядженій поверхні напруженість поля має розрив ( а теорема Гріна вимагає, щоб φ була неперервна і мала неперервні похідні: E = -Ñφ Оточимо поверхню S1 деякою поверхнею S'1. Тепер до об'єму V-V' = V1 теорему Гріна можна застосувати. Виберемо до поверхні S1 зовнішню нормаль N I n1, n2.- зовнішні нормалі до об'єму V-V' = V1 . Перепишемо формулу (2) для нашого випадку:
Будемо тепер стягувати поверхню S'1 так, щоб вона все щільніше прилягала до S1; в границі (S'1→S1 ) S'1 співпаде з S1 і інтегрування по S'1 зведеться до двохкратного інтегрування по поверхні S1: один раз по внутрішній (відносно нормалі N ), а другий раз по зовнішній стороні цієї поверхні: де індексами 1 і 2 позначені значення підінтегральних виразів відповідно з зовнішньої ( відносно нормалі N ) і внутрішньої сторони поверхні S1. тут використано , що φ1=φ2=φ - потенціал є неперервна функція. Оскільки N паралельна до n2 і антипаралельна n1 , то ¶φ/¶N- нормальна складова напруженості поля - En ; отже Таким чином
Разом з тим при співпаданні S1 з S'1, V1 співпадає з об'ємом V , який обмежений поверхнею S, так, що рівняння (3) набирає виду :
розділивши обидві частини рівняння (5) на 8π, одержимо:
перші два члени правої частини цієї рівності аналогічні виразу (10) енергії W, але інтегрування поширено в даному випадку не по всіх зарядах, які знаходяться в полі, а лише по тих з них, які знаходяться всередині об’єму V. Сума цих членів не співпадає з взаємною енергією зарядів, які знаходяться всередині V, тому що значення потенціалу залежить також і від розміщення зарядів поза об'ємом V. Поширимо інтегрування на все повне поле; під цим ми розуміємо, що область інтегрування V охоплює, по - перше, всі взаємодіючі заряди, і по - друге, все поле цих зарядів. В цьому випадку , як правило, границя повного поля прямує в нескінченість. Термін "повне поле" застосовується до нескінченого об’єму V в тому і лише в тому випадку, якщо при граничному переході від скінченого об'єму V до нескінченновеликого інтеграли всіх величин, що нас цікавлять, на поверхні S цього об'єму прямують до нуля. Це дійсно так, оскільки φ≈1/R, ¶φ/¶N≈¶φ/¶R≈1/R, S≈R2. Тому при R→ ∞ φ¶φ/¶n≈R2/R3→0 Згідно сказаного, формула (6) перепишеться:
Таким чином електрична енергія повного поля :
З математичної точки зору це рівняння являє собою лише перетворену форму рівняння (10) і цілком йому еквівалентна. Але рівняння (7) має зовсім інший фізичний зміст, а саме: носієм електричної енергії є електричне поле, причому енергія поля локалізована в просторі так, що в кожній одиниці об'єму міститься кількість енергії w , яка дорівнює w = ½εε0E2 (9 ) де Е - напруженість електричного поля в даному елементі об’єму. Величина w може бути названа об'ємною густиною електричної енергії. Формула (7) враховує і власну енергію зарядів, тобто енергію, що дорівнює роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість . Приклад: Розглянемо повну (тобто власну і взаємну ) енергію двох зарядів q1 і q2. Нехай кожен з них зокрема збуджує відповідне поле E1 і E2 ,так що результуюче поле обох зарядів дорівнює E = E1+E2 (* ) E =(E1+E2) = E21+E22+2(E1E2) (2*) Повна енергія зарядів q1 і q2 згідно (3) дорівнює
Або W = W1+W2+W12 (4*) де W1, W2 - власні енергії зарядів q1, q2, а W12- їх взаємна енергія. (E1-E2)2 ≥ 0 (так вибираємо), тому з цієї рівності слідує, що E21+E21≥2(E1E2) так що W1+W2 ≥ W12 (5*) Таким чином додатна власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому випадку дорівнює) їх взаємній енергії, яка може мати як додатне , так і від'ємне значення. Важливо відмітити, що енергія електричного поля не має властивості адитивності, тобто, що енергія поля , яка дорівнює Е , взагалі кажучи, не дорівнює сумі енергій складових полів. Звернемося до різного змісту рівнянь (7), (9) та (10) і (2.7). Ці рівняння відрізняються тим, що 1.енергія W, яка визначається з (2.7) або (2.8) не може набувати від'ємних значень тоді як Це пояснюється тим, що в (7), (9) враховується взаємодія "точкових" зарядів, але не взаємодія окремих елементів кожного такого заряду між собою (власна енергія заряду) 2.Власна енергія заряду залежить, звичайно від розмірів заряду і дорівнює тій роботі, яку здійснили б сили взаємного відштовхування між елементами заряду, якби ці елементи розліталися в сторони і віддалялися б в нескінченість. 3.Додатня власна енергія зарядів завжди більша (або в крайньому разі дорівнює) їх взаємній енергії W1+W2 ≥ W12 W1+W2³W12 4.Енергія електричного поля не має властивості адитивності коли E = E1+E2 , то W ≠ W1+W2 W=W1+W2+W12 Додаток Скористаємося формулою (10) W=½∫ρφdV (1) Використаємо: divE=ρ/ε0 (2) (2)→(1) W= ½ ε0 ∫ φ div E dV (3) Використаємо вираз з векторної алгебри: div (φ E)=gradφ·E +φdiv E →φdiv E=div(φ·E)-E gradφ (4) (4)→(3): W=ε0/2∫div(φ·E)dV+ε0/2∫(-grad φ)EdV Поширимо інтегрування по повному простору, тобто R→∞, скориставшись векторною теоремою Гауса: ∫div(φE)dV=∫φEdS|→∞→0 Таким чином: W=ε0/2∫(-grad φ)EdV=∫(ε0E2/2)dV (5)
|
|||
|