ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Поле системи зарядів на далеких віддалях

 

Розглянемо систему точкових нерухомих зарядів, які зосереджені в деякому об’ємі V.

Будемо розглядати поле, яке створюється системою зарядів на віддалях більших ніж розміри системи, тобто R0>>ra.

Введемо систему координат з початком де-небудь всередині системи зарядів. Радіус – вектори окремих зарядів нехай будуть ra. Будемо визначати поле, яке створюється в точці P на віддалі R0 від системи зарядів.

Для одного заряду, a-го, потенціал визначиться з умови

φa=kqa/Ra (1)

де Ra— радіус–вектор від заряду до точки спостереження.

Для системи зарядів

(2)

сумування проводиться по всіх зарядах.

Перейдемо від змінної величини Ra до постійної R0 :

Ra=R0-ra (3)

Оскільки ми розглядаємо поля на віддалях значно більших розмірів системи, то можна скористатися малістю ra в порівнянні з R0 і провести розклад в ряд:

(4)

де xα, xβ - компоненти радіус – вектора ra . Xα, Xβкомпоненти радіус – вектора R0.

Зауваження:

Використовуючи, що

остаточно одержимо:

Використовуючи (4), (3), рівняння (2) перепишеться:

Розглянемо кожне з наближень зокрема

(6)

В нульовому наближенні потенціал на далекій віддалі від системи еквівалентний потенціалу такого заряду, величина якого дорівнює сумі всіх зарядів і поміщеного в початок відліку.

Знайдемо напруженість поля в цьому наближенні.

(7)

 

Розглянемо перше наближення. Можуть бути випадки, що сума всіх зарядів ∑q a=0, тому в нульовому наближенні φ(0)=0 і, відповідно, Е(0)=0

Знайдемо

Величина pa=qara називається дипольним моментом. Тому

(8)

де p=∑qara =∑pa сума дипольних моментів.

В першому наближенні потенціал системи зарядів на далеких віддалях еквівалентний потенціалу диполя, поміщеного в початок відліку.

Отже, якщо система електронейтральна, то потенціал такої системи треба обчислювати в дипольному наближенні.

Істотно, що якщо сума ∑qa всіх зарядів дорівнює нулю, то дипольний момент системи не залежить від вибору початку координат. Дійсно, радіус-вектори ra i r'a одного і того ж заряду в двох різних системах відліку пов’язані один з одним співвідношеннями

r'a=ra+b

де b- деякий постійний вектор, тому, якщо ∑qa=0 , то дипольний момент в обох системах буде однаковий:

Зокрема, для системи двох зарядів протилежного знака( ±e ) дипольний момент p=er, де r-радіус-вектор проведений від заряду ( -e ) до (+e )

Дійсно :

Обчислимо напруженість поля

 

Обчислимо

 

1.

2.

Таким чином

(9)

Отже, потенціал поля, який створюється системою, з рівним нулю повним зарядом, на великих віддалях обернено пропорційна квадрату віддалі, а напруженість поля – кубу віддалі.

 

Квадрупольний момент

В розкладі потенціалу по степенях ( 1/R0 ) можна встановити таку закономірність

φ=φ(0)(1)(2)+…+φ(n) (1)

де

(2)

Ми встановили, що перший член, φ(0) визначається сумою всіх зарядів; другий, φ(1)

називається дипольним потенціалом системи, визначається дипольним моментом.

Бувають випадки, коли повний заряд системи рівнянь дорівнює нулю, крім того дипольний момент такої системи також може дорівнювати нулеві. Розглянемо систему:

Справджуються два вище згадані випадки

Така система називається квадруполем .

Третій член розкладу (5), дорівнює

 

(3)

і називається квадрупольним потенціалом. Коли α = β , то ми одержимо Ñ2(1/R0)

Розпишемо

(4)

1/R0- є фундаментальним розв’язком рівняння Лапласа ( Ñ2φ = 0 ) і завжди задовольняє це рівняння.

Помножимо (4) на

і віднімемо від (3) рівняння (4):

Введемо величину Dαβ— тензор 2 –го рангу

(5)

яка називається квадрупольним моментом системи . Тоді

(6)

Із визначення Dαβ слідує, що сума його діагональних елементів (компонент) дорівнює нулю

∑Dαβ=0 (7)

Симетричний тензор Dαβ має тому лише п’ять незалежних компонент.

Його можна записати:

В силу симетричності: D12 = D21; D13 = D31 ; D32 = D23

Сума діагональних елементів D11+D22+D33 = 0 . Тому для діагональних елементів одну із компонент можна виразити через дві інші. Всього існує 5 незалежних компонент.

Отже, потенціал в другому наближенні еквівалентний потенціалу квадруполя, поміщеного в початок відліку.

Цілком аналогічно, як це було пророблено в попередньому параграфі для дипольного моменту, легко переконатися в тому, що квадрупольний момент системи не залежить від вибору початку координат, якщо дорівнює нулю як повний заряд, так і дипольний момент системи.

Аналогічним чином можна було б написати наступні члени розкладу l-ий член розкладу визначається тензором (так званим тензор 2l-польного моменту) l-го рангу, який симетричний по всіх своїх індексах і який перетворюється в нуль при згортанні по довільній парі індексів; можна показати, що такий тензор має 2l + 1 незалежну компоненту.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти