Тому та обставина, що в області електростатичних явищ струму немає, свідчить про те, що напруженість електростатичного поля всередині провідника для електростатичних явищ дорівнює нулю.

Так само, як згідно рівняння

(2)

при E = 0, ρ = 0, не повинно бути всередині провідників і об’ємної густини заряду.

Якщо електричний вектор всередині провідника дорівнює нулю, то дорівнює нулю і потік цього вектора через будь – яку замкнуту поверхню, розміщену всередині провідника. Таким чином за теоремою Гауса, дорівнює нулю і заряд, розміщений всередині всякої такої поверхні. А це і означає, що у випадку електростатичної рівноваги зарядів всередині провідників немає ( точніше, позитивні і негативні заряди всередині їх взаємно нейтралізуються ) і що всі заряди розміщені на їх поверхні.

У провіднику, який ми вносимо в електричне поле, спочатку виникає струм. Оскільки цей струм є незамкненим, то заряди збираються на поверхні й утворюють поле, яке компенсує зовнішнє поле. Струм існуватиме доти, поки поверхневі заряди повністю не скомпенсують зовнішнього поля.

Після цього рух зарядів припиняється, а сумарне поле, створене в провіднику зовнішніми зарядами і зарядами, індукованими на поверхні, дорівнює нулю.

У формулі

(3)

E = 0 , для областей всередині провідника знайдемо, що

φ = const; φ₁ = φ₂ (4)

Оскільки поверхня провідника є поверхнею постійного потенціалу ( еквіпотенціальна поверхня), то електричне поле Е, яке дорівнює ( - grad φ), повинно бути перпендикулярне до кожної її точки. Якби напруженість поля не була ^ до поверхні провідників. То існувала б складова поля, спрямована по дотичній до поверхні. Під дією цієї складової електрони провідника прийшли б у рух вздовж поверхні і ми не мали б рівноваги електричних зарядів. При переході із внутрішньої частини провідника назовні біля поверхні спостерігається різка зміна електричного поля; поле Е не дорівнює нулю на зовнішній поверхні провідника, але дорівнює нулю всередині, Розрив неперервності Е пояснюється наявністю поверхневого заряду з густиною σ, яку ми можемо зв’язати з допомогою теореми Гауса з Е:

N=(ES)=Q/εε₀=σS/εε₀ → E_n≡E=σ/εε₀ (*)

Оскільки (*) єдиним чином пов’язує Е і σ, то можна подумати, що σ є джерелом електричного поля (Е). Це було б помилкою. Е представляє собою повне поле, яке створюється всіма зарядами системи, близькими і далекими; поверхневі заряди є лише частиною цих зарядів.

Поверхня довільного ровідника у елетростатичному полі утворює еквіпотенціальну поверхню. Це є наслідком того факту, що у випадку електростатичної рівноваги потенціал поля має постійне значення у межах кожного провідника.

Оскільки всі точки поверхні знаходяться при однаковому потенціалі, то переміщення заряду вздовж поверхні не потребує роботи. Це значить, що сила, яка діє на заряд, весь час перпендикулярна до переміщення. Звідси робимо висновок, що силові лінії завжди перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь.

Таким чином, фізичний зміст вивчення поля поверхневих зарядів полягає в тому, що у випадку електростатичної рівноваги заряди провідників зосереджуються у досить тонкому поверхневому шарі, який у значній більшості можна з достатньою точністю вважати нескінченно тонким.

Якщо ми уявимо, що із суцільного провідника видалена внутрішня частина, то отримаємо порожній (порожнистий) замкнутий провідник. Оскільки внутрішня його частина не мала зарядів, то її вилучення не змінить ні розподілу поля, ні розподілу зарядів всередині тої частини провідника, що залишилась. Тому рівноважний розподіл зарядів в порожнистому провіднику буде таким же , як і в суцільному провіднику, тобто заряди будуть розміщені лише по зовнішній поверхні. Напруженість поля буде дорівнювати нулю в будь – якій точці всередині стінок і в будь – якій точці всередині порожнини.

Якщо замкнутий порожнистий металевий провідник знаходиться в зовнішньому електричному полі, то на ньому з’являться індуковані заряди. Ці заряди також будуть зосереджені лише на зовнішній поверхні, а електричне поле і в товщі металу , і в товщі порожнини буде дорівнювати нулю. Тому порожнистий металевий провідник екранує електричне поле всіх зарядів. Цим широко користуються на практиці для створення електростатичного захисту: прилади поміщаються в замкнуті металеві ящики, які з’єднують з землею.

Метод відображень.

Розв’язуючи рівняння Пуассона ми переконались, що потенціал поля в принципі можна знайти в аналітичному виді, але безпосереднє застосування цих формул пов’язане з чималими труднощами навіть і в простих випадках. Знайти точні розв’язки вдається лиш для небагатьох найпростіших задач. Тому були розроблені також методи як експериментального вимірювання, так і наближеного їх обчислення, зокрема графічні методи.

Найпростішими методами точного розв’язування деяких типових задач електродинаміки є метод відображень.

Метод відображень використовують, коли потрібно знайти потенціал одного або кількох зарядів поблизу системи площин чи сферичних поверхонь. Іноді вдається підібрати таку систему зарядів, розташованих всередині провідника (тобто зовні тієї області, в якій ми шукаємо розв’язок), що створений ними потенціал задовольняє рівняння для потенціалу і граничні умови задачі. Звичайно, таких зарядів всередині провідника не існує. Утворюються лише поверхневі заряди, індуковані електричним полем. А той факт, що потенціал можна зобразити у вигляді точкових зарядів, свідчить, що дія індукованих поверхневих зарядів еквівалентна дії точкових зарядів всередині провідника.

Знайшовши таким спеціальним методом розв’язок задачі, ми маємо гарантію, що цей розв’язок є шуканим, оскільки він єдиний.

Приклад.

Точковий заряд (q) знаходиться на віддалі d від нескінченного провідника, який займає певний півпростір. Визначити поле в певному півпросторі і густину зарядів індукованих зарядом q на поверхні провідника.

Застосовуючи метод зображень, поставлену задачу формулюють дещо інакше.

А саме: нехай весь нескінченний простір

(включаючи і ту його частину, яка за початковою

постановкою задачі була зайнята провідником) заповнено однорідним діелектриком. Підберемо до заданого заряду q такий додатковий точковий заряд (q'), щоб із заданим зарядом (q) він утворював поле, для якого поверхня S виявилася б однією з еквіпотенціальних поверхонь поля. Бачимо, що для розв’язання поставленої задачі досить помістити в точку O', симетричну точці О відносно поверхні S , заряд

(q')=-q. Потенціал поля заряду q та його „зображення” q' дорівнює

(1)

де R,R' - віддалі від точки спостереження М до зарядів q і q'. У будь – якій точці на поверхні S відстані R і R' дорівнюють одна одній і за формулою (1) знаходимо, що в заданій точці φ = 0 тобто поверхня S дійсно є еквіпотенціальною.

Оскільки існує лише єдиний розв’язок поставленої задачі, а знайдений потенціал (1) задовольняє всі її умови в заповненому діелектриком півпросторі Ñ²φ = 0 в усіх точках, крім точки О.

На нескінченності і на поверхні провідника потенціал φ=0, то функція (1) є шуканим розв’язком задачі.

Поверхневу густину σ електричного заряду, індукованого на поверхні провідника знайдемо за формулою

(2)

Для обчислення σ візьмемо початок координат у точці А(0,0,0) – точці перетину відрізка OO' з площиною S, і направимо вісь АХ по лінії АО. Потенціал поля (1) у будь – якій точці М(х,у,z) простору дорівнює

(3)

де d – відстань заряду від площини . Формулу (2) можна переписати:

(4)

Продиференціюємо:

Остаточно

(5)

Отже, поверхнева густина заряду індукованого на плоскій поверхні провідника великого розміру розміщеним поблизу цієї поверхні точковим зарядом, обернено пропорційна кубу відстані від заряду.

Предыдущая 6 7 8 9 10 11 121314 15 16 17 18 19 20 21 Следующая