Рівняння неперервності (закон збереження заряду)

При макроскопічному розгляді закон збереження електричного заряду математично виражається рівнянням неперервності.

Виведемо це рівняння:

Нехай в деякому об’ємі V, обмеженому поверхнею S розподілений заряд з об’ємною густиною ρ(x,y,z); ρ—функція часу: заряд може входити і виходити з об’єму. Алгебраїчна сума /повний заряд/ обчислюється як інтеграл:

, (1)

Приріст заряду q за одиницю часу дорівнює

, (2)

Причому похідна більша нуля, коли заряд входить в об’єм і менша нуля, коли виходить з об’єму.

Обчислимо цей приріст іншим способом. Розглянемо добуток j_ndS; ця величина дорівнює зарядові, що витікає з об’єму V за одиницю часу через елемент dS; тому (- j_ndS) слід розглядати як заряд , що надходить до об’єму V. Повний заряд, що надходить до об’єму V за одиницю часу, дорівнює

Прирівнюючи ці два вирази для заряду, що надходить до об’єму V за одиницю часу, знаходимо:

, (3)

Рівність (3) - інтегральна форма запису рівняння неперервності.

Застосуємо формулу Гауса для перетворення поверхневого інтеграла в об’ємний:

або

, (4)

Через те, що об’єм може може бути довільним, виконується рівність:

або

, (5)

Якщо густина заряду ρ є функцією лише координат (від часу явно не залежить), то струм називають стаціонарним або постійним:

, (6)

Видно, що поле вектора j стаціонарного (постійного) струму — соленоїдальне.

Два аспекти поняття збереження заряду:

1)Електрон і протон – матеріальні частинки з нескінченим часом життя, а їх елементарні електричні заряди інваріантні і не залежать від швидкості. В цьому аспекті закон збереження заряду є просто наслідком незнищуваності носіїв заряду як фізичних об’єктів і інваріантності заряду.

2)Крім електронів і протонів існує велика кількість інших заряджених частинок. Всі вони породжуються , породжують інші частинки і знищуються в різних процесах взаємоперетворення → яким би не був процес взаємоперетворення частинок, сумарний заряд частинок до взаємоперетворення дорівнює сумарному заряду частинок після взаємоперетворення.

Таким чином заряд зберігається при всіх процесах і рухах, які пов’язані з носіями зарядів.

Заряд не може існувати незалежно від носіїв заряду або поза простором і часом. Це означає , що заряд не є самостійний , незалежний від матерії , він виражає одну з властивостей матерії.

Фактори існування постійного струму.

Поле всередині провідника.

Закон Ома в диференціальній формі має вигляд:

j=σE

При наявності струму j≠0, і відповідно E≠0. Таким чином всередині провідника із струмом існує електричне поле. Пригадаємо, що в електростатиці поле всередині провідника відсутнє.

Густина постійного струму по перерізу провідника розподілена, взагалі кажучи, нерівномірно. Розглянемо викривлений провідник з круговим поперечним перерізом.

Поблизу поверхні провідника струм може бути спрямований лише по дотичній до провідника. Це означає, що напруженість Е поля поблизу поверхні провідника дотична до поверхні.. Значить, еквіпотенціальні поверхні перпендикулярні до поверхні.

Поблизу поверхні як напруженість поля, так і густина струму спрямовані по дотичній до поверхні. Нормальні до поверхні складові цих величин всередині провідника відсутні. З умови поля на межі двох середовищ випливає, що поблизу поверхні ззовні провідника існує електричне поле, тангенціальна складова напруженості Е_τ якого дорівнює тангенціальній складовій напруженості Е_τ поля всередині провідника. Однак про нормальну складову напруженості електричного поля звідси ніяких висновків зробити не можна.

Чим же породжується електричне поле всередині провідника, що є джерелом цього поля? Оскільки існування електричного поля в колі забезпечується відповідним джерелом постійного струму, наприклад гальванічним елементом, то зрозуміло, що він має якесь відношення до породження електричного поля. Однак безпосередньо він не може породити це поле . Дійсно, напруженість електричного поля, яку можуть створити заряди полюсів батареї, швидко спадають з віддаллю. Єдиним джерелом постійного поля можуть бути лише електричні заряди. Питання: якими зарядами породжується поле всередині провідника і де ці заряди знаходяться?

Якщо помістити провідним із струмом у плоску ванночку з тонким шаром діелектричного порошку. То побачимо таку картину (див.малюнок).

Видно, що силові лінії електричного поля не дотичні до поверхні провідника. Це означає, що ззовні провідника поблизу його поверхні поряд із тангенціальною складовою Е_τ електричного поля існує також нормальна складова Е_n, однак всередині провідника Е_n=0. Тому з граничної умови на поверхні провідника (Е_n=σ/ε₀) робимо висновок, що на поверхні провідника повинні існувати заряди, поверхнева густина яких