ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Кафедра прикладної математики та математичного моделювання

 

 

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

До самостійного вивчення вищої математики

на економічному факультеті

 

Розділ ІІІ. Аналітична геометрія.

I курс, 1 семестр.

 

Кременчук

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено.

 

Методичні рекомендації до самостійного вивчення вищої математики на економічному факультеті

(розділ ІІІ. Аналітична геометрія. I курс, 1семестр).

 

Укладач: Тристан Віктор Миколайович, старший викладач.

Рецензент: Семенов В.О, кандидат фізико-математичних наук, професор.

Комп’ютерний набір: Тристан А.В.

Відповідальний за випуск: професор Семенов В.О.

 

 

Методичні рекомендації розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри прикладної математики та математичного моделювання від 30 серпня 2003р., протокол № 1

 

Схвалено методичною радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

 

Затверджено Вченою радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

Наклад 21 примірників

Передмова

 

Методичні рекомендації адресовані студентам економічного факультету, які навчаються за спеціальностями „Облік та аудит” і „Маркетинг” стаціонарно та заочно. Вони містять необхідний теоретичний матеріал і розв’язання типових задач ІІІ розділу курсу вищої математики для економістів „Аналітична геометрія”, що вивчається в першому семестрі.

Мета методичних рекомендацій полягає у тому, щоб допомогти студентам засвоїти цей розділ курсу вищої математики та набути навичок самостійної роботи при розв’язуванні задач.

Методичні рекомендації містять завдання контрольної роботи в 34 варіантах.

З метою самоконтролю за вивченням курсу до методичних рекомендацій внесено питання для підготовки до екзамену.

Методичні рекомендації містять список рекомендованої літератури.

 

І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Аналітична геометрія”.

 

  1. Рівняння ліній на площині.
  2. Пряма на площині.

2.1. Загальне рівняння . Нормальний вектор прямої;

2.2. Канонічне рівняння. напрямний вектор;

2.3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки;

2.4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

2.5. Нормальне рівняння прямої. Нормувальний множ-

ник. Відстань від точки до прямої;

2.6. Кут між двома прямими на площині. Умови пара-

лельності та перпендикулярності прямих.

  1. Площина у просторі.

3.1. Загальне рівняння площини. Нормальний вектор;

3.2. Рівняння площини, що проходить через три задані

точки;

3.3. Нормальне рівняння площини. Нормувальний множник. Відстань від точки до площини;

3.4. Кут між двома площинами. Умови паралельності

та перпендикулярності двох прямих.

Пряма у просторі.

4.1. Канонічні рівняння прямої;

4.2. Параметричні рівняння прямої;

4.3. Загальні рівняння прямої;

4.4. Умови паралельності та перпендикулярності

прямих;

4.5. Умови паралельності та перпендикулярності

прямої та площини.

Криві другого порядку.

5.1. Коло. Еліпс;

5.2. Гіпербола;

5.3. Парабола;

ІІ. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач.

1. Рівняння ліній на площині.

 

Означення 1. Рівнянням лінії на площині називається рівняння зі змінними х і у, якому задовольняють координати будь-якої точки М цієї лінії і не задовольняють координати кожної точки, що не належить до . При складанні рівнянь використовують векторну алгебру.

 

2. Пряма на площині.

 

Загальне рівняння прямої. Нормальний вектор.

 

Нехай на площині задано точку та вектор . Складемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно вектору . Візьмемо довільну точку прямої , тоді вектор перпендикулярний вектору , тому скалярний добуток , або . Звідки одержуємо загальне рівняння прямої (2.1)

 

Означення 2. Загальним рівнянням прямої називають рівняння вигляду . Вектор - нормальний вектор прямої,заданої загальним рівнянням.

Приклад 1

Побудувати лінію, рівняння якої 2х – у = 4 Записати нормальний вектор.

Розв’язання.

За означенням 2 дане рівняння – це загальне рівняння прямої. Знайдемо координати двох точок, що належать даній прямій: якщо х=0, то у=–4 , якщо у=0, то х=2. Отже, пряма проходить через точки

Розв’язання.

Використаємо загальний вигляд прямої, що проходить через дві точки (2.3): , звідки або

Відповідь:

Розв’язання.

Використаємо рівняння (2.4). , звідки знаходимо

Відповідь:

Приклад 4

Знайти відстань від точки М(1; -2) до прямої

Розв’язання.

За формулою (2.5): =

Відповідь:

Теорема 2

Для паралельності прямих і необхідно і достатньо, щоб (2.6)

Приклад 5

Записати рівняння прямої , що проходить через точку М (1; -2) паралельно до прямої , яку задано рівнянням 3х + 2у – 6 = 0.

 

Розв’язання.

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої : у = - 1,5 х + 2, тому .

За умовою паралельності

Використаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (2.4), одержимо : , звідки знаходимо рівняння : 1,5х + у + 0,5 = 0.

Відповідь: :1,5х + у + 0,5 = 0.

Теорема 3

Для перпендикулярності прямих і необхідно і достатньо, щоб

Приклад 6

Записати рівняння прямої, що проходить через точку М(1;-2) перпендикулярно до прямої , яку задано рівнянням 3х + 2у – 6 = 0.

Розв’язання.

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої : у = - 1,5 х + 2 , тому .

За умовою перпендикулярності , тому

Використаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (2.4), одержимо: ,звідки знаходимо рівняння :

Відповідь: : .

3. Площина у просторі.

 

Приклад 7

Записати рівняння площини, що проходить через три точки: , ,

Розв’язання.

Використавши рівняння (3.2), запишемо: ,

Розкривши визначник, одержуємо: , ,

Відповідь:

Теорема 4

Відстань від точки до площини P: обчислюється за формулою: (3.3)

Приклад 8

Обчислити відстань від точки М( 1; - 2 ; 4) до площини

Розв’язання.

Підставимо в формулу (3.3) координати точки М іобчислимо

Відповідь:

Теорема 5

Якщо площини задано загальними рівняннями , , то кут між ними обчислюється за формулою:

( 3.4)

Приклад 9

Знайти косинус кута, утвореного площинами та у = 0.

 

Розв’язання.

Запишемо нормальні вектори площин та .

За формулою (3.4)

Відповідь:

Теорема 6

Дві площини, які задано загальними рівняннями та паралельні тоді і тільки тоді, коли .

Теорема 7

Дві площини, які задано загальними рівняннями: та , перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

Приклад 10

Скласти рівняння площини Р , що проходить через точку М( 2, 3, -3) паралельно площині Q:

Розв’язання

Нормальний вектор площини Q : .

Площина Р паралельна до площини Q, тому її нормальний вектор

Використавши рівняння площини, що проходить через задану точку М перпендикулярно до вектора (3.1) , одержимо ,звідки Р:

Відповідь:

4. Пряма у просторі.

Канонічні рівняння прямої.

Нехай задано точку і вектор . Складемо рівняння прямої L, що проходить через точку паралельно вектору . Візьмемо довільну точку на прямій і розглянемо вектор . Вектори та – колінеарні, тому їх координати пропорційні, тобто (4.1).

Співвідношення (4.1) називаються канонічними рівняннями прямої, а вектор – напрямним вектором цієї прямої.

Приклад 11

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки і .

 

Розв’язання.

Напрямним вектором прямої виберемо вектор .

Використавши рівняння (4.1), запишемо – канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Приклад 12

Знайти точку перетину прямої L : і площини P: 3x + 5y – z – 2 = 0.

 

Розв’язання.

Запишемо канонічні рівняння даної прямої: , звідки одержуємо

Підставимо ці вирази у рівняння площини P та отримаємо: 3(4t + 12) + 5( 3t + 9) – t – 2 = 0, звідки одержуємо t = -3.

Запишемо координати точки перетину прямої та площини:

Відповідь: M(0, 0, 2 )

Загальні рівняння прямої.

Прямуу просторі можна задавати перетином двох не паралельних площин: (4.3) – це загальні рівняння прямої, визначеної перетином двох площин.

Приклад 13

Записати канонічні рівняння прямої, яку задано загальними рівняннями:

Розв’язання.

Знайдемо координати будь-якої точки, що належить прямій. Нехай х=0, тоді одержимо систему: , звідки знаходимо: . Шукана точка

За напрямний вектор візьмемо – векторний добуток нормальних векторів площин, лінією перетину яких задана пряма. Таким чином,

Запишемо канонічні рівняння прямої, використавши(4.1):

Відповідь:

Теорема 8

Якщо дві прямі задано канонічними рівняннями і , то кут між ними обчислюється за формулою:

Умова паралельності: ;

Умова перпендикулярності:

Приклад 14

Задано рівняння прямої : і точка М( 2, 3, -3). Знайти рівняння , що проходить через точку М паралельно прямій .

Розв’язання.

З напрямний вектор прямої візьмемо напрямний вектор прямої : .

Використавши канонічні рівняння (4.1), запишемо рівняння прямої :

Відповідь:

Теорема 10

Пряма L перпендикулярна до площини P тоді і тільки тоді, коли вектори та – колінеарні, тобто

Приклад 15

Знайти рівняння площини P: 3x + 5y – z – 2 = 0, яка проходить через точку M(-2, 5, 1) перпендикулярно до прямої L:

Розв’язання.

Нормальним вектором площини виберемо напрямний вектор прямої .

Використовуючи рівняння площини , складаємо рівняння шуканої площини . Перетворивши це рівняння, одержуємо

Відповідь:

5.Криві другого порядку.

 

Кривими лініями другого порядку називають лінії, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня.

Коло. Еліпс.

Означення 6. Колом називається геометричне місце точок, рівновіддалених на відстань R від фіксованої точки – центра кола. Рівняння кола: (x-x0)2+ (y-y0)2 = R2.

Якщо центр кола знаходиться в точці О(0,0), тоді рівняння кола спрощується і набуває вигляду: x2 + y2 = R2, де R – радіус кола.

Означення 7. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

 

Знайдемо рівняння еліпса. Позначимо через F1 та F2 фокуси еліпса. Вісь абсцис Оx проведемо через фокуси F1 та F2, а вісь Оy проведемо через середину відрізка [F1, F2] перпендикулярно до осі Оx.

 

 

Позначимо відстань між фокусами . У такій системі координат F1(-c, 0), F2(c, 0), 2a>2c. Візьмемо довільну точку М(x ,y) еліпса. За означенням еліпса маємо: .

Але , тому одержуємо рівняння вигляду: .

Після спрощування цього рівняння одержимо: .

Згідно нерівності a2 > c2 можна позначити b2 = a2c2. Тоді рівняння еліпса набуває вигляд: .

Це рівняння називають канонічним рівнянням еліпса. Дослідження рівняння еліпса дозволяє зробити висновки, що параметри рівняння а та b дорівнюють півосям еліпса, що розташовані на осях координат Оx та Оy відповідно.

 

 

Гіпербола

Означення 8. Гіперболою називають геометричне місце точок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

Парабола

Означення 9. Параболою називають геометричне місце точок, відстань яких до заданої прямої (директриси) та заданої точки (фокуса) рівні.

Канонічне рівняння параболи має вигляд: y2 = 2px, де р – відстань між фокусом F та директрисою.

 

Завдання 1

Задано прямі і точка М.

Знайти:

1. Точку перетину прямих ;

2. Рівняння прямої , що проходить через точку M паралельно прямій ;

3. Рівняння прямої , що проходить через точку M перпендикулярно до прямої ;

4. Відстань від точки M до прямої : (M , ).

Усі результати ілюструвати графічно.

 

Варіанти завдань:

 

Завдання 2

Задано рівняння площини прямої і точка M.

Знайти:

1. Рівняння площини що проходить через точку М паралельно площині ;

2. Рівняння площини , що проходить через точку М перпендикулярно до прямої ;

3. Рівняння , що проходить через точку М перпендикулярно до площини ;

4. Рівняння , що проходить через точку М паралельно прямій ;

5. Точку N перетину прямої і площини ;

6. Відстань від точки М до площини .

 

Варіанти завдань:

1.

2.

3.

4.

5.

Завдання 3

Дано чотири точки , , , .

Скласти:

а) Рівняння площини ; б) Рівняння прямої ;

Обчислити: косинус кута між координатною площиною 0ху і площиною .

 

Варіанти завдань:

 

 
 

 

 

 
 


ІV. Список використаної і рекомендованої літератури.

 

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – Серія: математичні науки.

2. Беклемешев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 5 –е изд. М: Наука, 1984.

3. Бугров Я. С. Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988.

4. Данко П.Б., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.Высш.шк.,1980-1984,т.1.

5. Дискант В.І. Береза Л. Р. і інші. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. – К.: Вища шк. , 2001.- 303 с.

6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.

7. Кремер Н.Ш. Путко И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 471 с.

8. Тевяшев А. Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах і задачах. Ч.1. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Диференціальне числення функцій однієї змінної. - Харків: ХТУРЕ.2002- 552 с.

 

 

ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти