![]() |
Імпульс електромагнітного поля.
Нехай поле діє на об’ємні заряди, розміщенні в просторі з густиною ρ, і струми з об’ємною густиною j. На заряди і струми одиничного об’єму діє сила: f=qE+[jB] (1) Тоді повна сила:
Як відомо сила визначається зміною з часом імпульсу речовини, що є в об’ємі F=dP/dt (3) Підставивши в перше рівняння значення відповідних величин з рівняння Максвелла отримаємо:
Взявши до уваги, що добавимо до першої частини рівняння (4) рівний нулю вираз HdivB і перетворимо останній член так :
Тоді
Складова сили по осі х дорівнює:
Підставивши відповідні значення величин перейдемо до складової загальної сили по осі х:
Складові по інших осях записуються аналогічно. Замінимо в виразі (7) силу F її виразом з (3) і перетворимо останній інтеграл по формулі Остроградського-Гауса: Перейшовши від складових до векторів можна записати:
Якщо на поверхні , яка охоплює об’єм , вектори E,H рівні нулю , то повна сила рівна нулю. Ця умова виконується, якщо поверхня інтегрування віддалена на нескінченність, а всі заряди і струми локалізовані в обмеженому об’ємі. Тоді
а звідси слідує:
Таким чином, при взаємодії зарядів та струмів у певному об’ємі з електромагнітним полем зберігається не імпульс речовини P , а його сума з вектором S/c2 , який має розмірність імпульсу. Цей інтеграл виражає імпульс ЕМП в об’ємі V, а вектор: q= S/c2- його об’ємну густину. Закон збереження імпульсу виконується строго тільки в тому випадку , коли поряд з механічним імпульсом речовини буде врахований і імпульс електромагнітного поля.
Додаток: 1) Вектори Eі H ( з системи рівнянь Максвела ) пов’язані між собою лише у випадку змінних полів. Для стаціонарних полів ( ∂H/∂t=0 ; ∂E/∂t=0) система диференціальних рівнянь розпадається на дві незалежні підсистеми. При експериментальному дослідженні ми виявляємо електромагнітне поле за його силовою дією, при якій енергія поля перетворюється в інші форми енергії. Повна енергія : для густини: 2) Густина струму j може бути представлена у вигляді: Тому вираз може бути переписаний jEстор- представляє роботу сторонніх ЕРС в одиниці об’єму за одиницю часу, тобто потужність ;j2/σ - джоулева теплота ;∂w/∂t - приріст електромагнітної енергії ;div S - потік енергії, який витікає з одиниці об’єму за одиницю часу. Таким чином, в одиниці об’єму за одиницю часу робота сторонніх ЕРС іде на покриття джоулевих втрат, на збільшення електромагнітної енергії і на покриття зменшення енергії, яка виходить назовні.
Щосекунди потік енергії Σ через замкнуту поверхню дорівнює: (теорема Умова-Пойтінга ) а) при
інтегруємо по всьому об’єму:
б) S ^ E,H. 3) S=[EH] вектор Умова-Пойтінга перпендикулярний до Е і Н, тобто електромагнітна енергія протікає в напрямку перпендикулярному до цих векторів. 4) Носієм енергії є поле струму, локалізоване як у провіднику, так і в оточуючому просторі ; у провіднику відбувається лише поглинання енергії, тобто її перетворення в інші види енергії. Неправильно вважати заряди, які є носіями струму, також і носіями електромагнітної енергії струму. Тема VII ЕЛEKTPOMAГНІТНІ ХВИЛІ Хвильове рівняння Плоскі електромагнітні хвилі Монохроматична плоска хвиля. Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі. Фазова і групова швидкості. Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків Розповсюдження електромагнітних хвиль у діелектрику. Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику. Скін-ефект
Хвильове рівняння Електромагнітне поле в вакуумі визначається рівняннями Максвелла, у яких треба покласти ρ=0, j=0. Випишемо їх ще раз:
При вказаних умовах: rot E= - μ0∂H/∂t (1')
div H=0
rot H=ε0∂E/∂t (2')
div E=0 Ці рівняння можуть мати відмінні від нуля розв‘язки. Це значить, що електромагнітне поле може існувати навіть при відсутності будь-яких зарядів, струмів. Електромагнітні поля, що існують у вакуумі при відсутності зарядів і струмів, називають електромагнітними хвилями. Ми займемося тепер дослідженням властивостей таких полів. Насамперед відзначимо, що ці поля не можуть бути статичними, тобто обов'язково повинні бути змінними у часі. Доведемо від супротивного. Припустимо, що поля статичні, тобто E=const, H=const, ∂H/∂t = 0; ∂E/∂t = 0 і рівняння (1'—2') переходять у рівняння
З другого боку, статичні поля можна описати такою системою рівнянь:
Систему (4) можна описати з допомогою рівнянь для потенціалів:
Розв’язки цих рівнянь, визначені формулами
при ρ = 0, j = 0 потенціали перетворюються в нуль. Отже, припустивши, що поля статичні, ми одержали нулеві розв’язки. Це говорить про те, що електромагнітні хвилі обов’язково змінні в часі. Виведемо рівняння, що визначають потенціали електромагнітних хвиль. Як ми вже знаємо, у силу неоднозначності потенціалів завжди можна накласти на них деяку додаткову умову. На цій підставі виберемо потенціали електромагнітних хвиль так, щоб скалярний потенціал дорівнював нулю: φ = 0 Тоді вираз для напруженості електричного поля
перетвориться в
Індукцію магнітного поля запишемо у вигляді
Підставляючи обидва ці рівняння в перше з рівнянь (2'), знайдемо:
Незважаючи на те, що ми вже наклали одну додаткову умову на потенціали, потенціал А все-таки ще не цілком однозначний. Саме, до нього можна додати градієнт будь-якої не залежної від часу функції (не змінюючи при цьому Н). Зокрема, можна вибрати потенціал електромагнітної хвилі таким чином, щоб div А= 0. (9 ) Рівняння набуває вигляду
Це і є рівняння, що визначає потенціал електромагнітних хвиль. Воно називається рівнянням д’Аламбера або хвильовим рівнянням . Можна показати, що напруженості Е и Н задовільняють такі ж хвильові рівняння, наприклад: але Хвильове рівняння іноді записують у вигляді ðА=0, де ð=Ñ2-(1/c2)∂2/∂t2 є так званий оператор д‘Аламбера. Якщо ввести позначення f =(A,E,H) тоді хвильове рівняння запишеться так:
Рівняння (8) ще називають рівнянням ейконала. |
|
|