Імпульс електромагнітного поля.
|
|
Нехай поле діє на об’ємні заряди, розміщенні в просторі з густиною ρ, і струми з об’ємною густиною j. На заряди і струми одиничного об’єму діє сила:
f=qE+[jB] (1)
Тоді повна сила:
(2)
Як відомо сила визначається зміною з часом імпульсу речовини, що є в об’ємі
F=dP/dt (3)
Підставивши в перше рівняння значення відповідних величин з рівняння Максвелла отримаємо:
(4)
Взявши до уваги, що
добавимо до першої частини рівняння (4) рівний нулю вираз HdivB і перетворимо останній член так :
.
Тоді
(5)
Складова сили по осі х дорівнює:
(6)
Підставивши відповідні значення величин перейдемо до складової загальної сили по осі х:
(7)
Складові по інших осях записуються аналогічно. Замінимо в виразі (7) силу F її виразом з (3) і перетворимо останній інтеграл по формулі Остроградського-Гауса:
Перейшовши від складових до векторів можна записати:
(8)
Якщо на поверхні , яка охоплює об’єм , вектори E,H рівні нулю , то повна сила рівна нулю. Ця умова виконується, якщо поверхня інтегрування віддалена на нескінченність, а всі заряди і струми локалізовані в обмеженому об’ємі. Тоді
(9)
а звідси слідує:
, 
(10)
Таким чином, при взаємодії зарядів та струмів у певному об’ємі з електромагнітним полем зберігається не імпульс речовини P , а його сума з вектором S/c2 , який має розмірність імпульсу. Цей інтеграл виражає імпульс ЕМП в об’ємі V, а вектор: q= S/c2- його об’ємну густину.
Закон збереження імпульсу виконується строго тільки в тому випадку , коли поряд з механічним імпульсом речовини буде врахований і імпульс електромагнітного поля.
Додаток:
1) Вектори Eі H ( з системи рівнянь Максвела ) пов’язані між собою лише у випадку змінних полів. Для стаціонарних полів ( ∂H/∂t=0 ; ∂E/∂t=0) система диференціальних рівнянь розпадається на дві незалежні підсистеми.
При експериментальному дослідженні ми виявляємо електромагнітне поле за його силовою дією, при якій енергія поля перетворюється в інші форми енергії.
Повна енергія :
для густини:
2) Густина струму j може бути представлена у вигляді:
Тому вираз
може бути переписаний
jEстор- представляє роботу сторонніх ЕРС в одиниці об’єму за одиницю часу, тобто потужність ;j2/σ - джоулева теплота ;∂w/∂t - приріст електромагнітної енергії ;div S - потік енергії, який витікає з одиниці об’єму за одиницю часу.
Таким чином, в одиниці об’єму за одиницю часу робота сторонніх ЕРС іде на покриття джоулевих втрат, на збільшення електромагнітної енергії і на покриття зменшення енергії, яка виходить назовні.
;
Щосекунди потік енергії Σ через замкнуту поверхню дорівнює:
(теорема Умова-Пойтінга )
а) при
; 
інтегруємо по всьому об’єму:
; 
б) S ^ E,H.
3) S=[EH] вектор Умова-Пойтінга перпендикулярний до Е і Н, тобто електромагнітна енергія протікає в напрямку перпендикулярному до цих векторів.
4) Носієм енергії є поле струму, локалізоване як у провіднику, так і в оточуючому просторі ; у провіднику відбувається лише поглинання енергії, тобто її перетворення в інші види енергії. Неправильно вважати заряди, які є носіями струму, також і носіями електромагнітної енергії струму.
Тема VII ЕЛEKTPOMAГНІТНІ ХВИЛІ
Хвильове рівняння
Плоскі електромагнітні хвилі
Монохроматична плоска хвиля.
Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі.
Фазова і групова швидкості.
Відбивання і заломлення світла на межі двох діелектриків
Розповсюдження електромагнітних хвиль у діелектрику.
Розповсюдження електромагнітних хвиль у провіднику.
Скін-ефект
Хвильове рівняння
Електромагнітне поле в вакуумі визначається рівняннями Максвелла, у яких треба покласти ρ=0, j=0. Випишемо їх ще раз:
(1)
(2)
При вказаних умовах:
rot E= - μ0∂H/∂t (1')
div H=0
rot H=ε0∂E/∂t (2')
div E=0
Ці рівняння можуть мати відмінні від нуля розв‘язки. Це значить, що електромагнітне поле може існувати навіть при відсутності будь-яких зарядів, струмів.
Електромагнітні поля, що існують у вакуумі при відсутності зарядів і струмів, називають електромагнітними хвилями. Ми займемося тепер дослідженням властивостей таких полів.
Насамперед відзначимо, що ці поля не можуть бути статичними, тобто обов'язково повинні бути змінними у часі.
Доведемо від супротивного. Припустимо, що поля статичні, тобто E=const, H=const, ∂H/∂t = 0; ∂E/∂t = 0 і рівняння (1'—2') переходять у рівняння
(3)
З другого боку, статичні поля можна описати такою системою рівнянь:
(4)
Систему (4) можна описати з допомогою рівнянь для потенціалів:
(4')
Розв’язки цих рівнянь, визначені формулами
(5)
при ρ = 0, j = 0 потенціали перетворюються в нуль.
Отже, припустивши, що поля статичні, ми одержали нулеві розв’язки. Це говорить про те, що електромагнітні хвилі обов’язково змінні в часі.
Виведемо рівняння, що визначають потенціали електромагнітних хвиль.
Як ми вже знаємо, у силу неоднозначності потенціалів завжди можна накласти на них деяку додаткову умову. На цій підставі виберемо потенціали електромагнітних хвиль так, щоб скалярний потенціал дорівнював нулю:
φ = 0
Тоді вираз для напруженості електричного поля
(6)
перетвориться в
(7)
Індукцію магнітного поля запишемо у вигляді
(8)
Підставляючи обидва ці рівняння в перше з рівнянь (2'), знайдемо:
Незважаючи на те, що ми вже наклали одну додаткову умову на потенціали, потенціал А все-таки ще не цілком однозначний. Саме, до нього можна додати градієнт будь-якої не залежної від часу функції (не змінюючи при цьому Н). Зокрема, можна вибрати потенціал електромагнітної хвилі таким чином, щоб
div А= 0. (9 )
Рівняння набуває вигляду
(10)
Це і є рівняння, що визначає потенціал електромагнітних хвиль. Воно називається рівнянням д’Аламбера або хвильовим рівнянням .
Можна показати, що напруженості Е и Н задовільняють такі ж хвильові рівняння, наприклад:
але
Хвильове рівняння іноді записують у вигляді ðА=0, де
ð=Ñ2-(1/c2)∂2/∂t2
є так званий оператор д‘Аламбера.
Якщо ввести позначення f =(A,E,H) тоді хвильове рівняння запишеться так:
(11)
Рівняння (8) ще називають рівнянням ейконала.
|
© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти |