ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Властивості плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі

Для простоти будемо розглядати монохроматичні плоскі хвилі, а результати, які ми одержимо, будемо вважати справедливими для будь-яких плоских хвиль. Ми знаємо, що в однорідному ізотропному непровідному середовищі вектори Е і Н змінюються в відповідності з хвильовими рівняннями (7) . Якщо представити просторово-часову зміну векторів Eі H в вигляді плоских хвиль

, (1)

то ці вирази, безумовно, задовільняють відповідні рівняння . Однак, щоб вони задовільняли рівняння Максвела, на них слід накласти ще додаткові умови.

1.

Плоскі електромагнітні хвилі поперечні

Підставляючи в рівняння Максвела для електромагнітних хвиль, одержимо:

,

 

Рівність скалярного добутку нулеві означає, що Е^кі Н^к, тобто хвилі поперечні.

 

2.

Плоскі електромагнітні хвилі взаємно перпендикулярні.

Щоб переконатися в цьому, підставимо вирази (1) в лiві частини рівнянь Максвела і одержимо:

 

Тоді рівняння мають вигляд

або

(*)

З другого рівняння

або

(**)

Достатньо помножити вирази на Н або на Е, щоб одержати:

(HE) = (1/ωμμ0)([kE]E) = 0 Þ

ЕН=0 (4)

Із отриманих формул випливає, що вектори Е, Н і к взаємно перпендикулярні і утворюють праву трійку векторів в тому порядку, в якому вони написані. Взаємне розміщення цих векторів приведено на малюнку; на малюнку представлений графік плоскої електромагнітної хвилі. Вектор к визначає напрям поширення хвилі.

Вектори Е і Н коливаються в площині перпендикулярній напрямку к. Таким чином, електромагнітна хвиля у вказаних умовах є поперечно-поляризованою (напрям коливань перпендикулярний напряму поширення ). В площині, перпендикулярній напрямку поширення хвилі для напрямку вектора Е (і перпендикулярного до нього вектора Н) ніяких обмежень немає. В силу лінійності рівнянь Максвела, або, що те ж саме, в силу суперпозиції полів, розв’язком є будь-яка сума полів, у яких вектори Е і Н лежать у вказаній площині.

Нагадаємо, що якщо в електромагнітній хвилі вектор Е має єдиний напрям (і, отже єдиний напрям має вектор Н), то хвиля називається лінійно-поляризованою. Нижче будуть приведені доведення того, що світло являє собою електромагнітні хвилі, частоти яких лежать у визначеному інтервалі. Якщо в світловій хвилі вектор ЕН) має все можливі напрямки, то таке світло прийнято називати звичайним. Отже, світло як плоска електромагнітна хвиля може бути в однорідному середовищі як звичайним, так і лінійно-поляризованним.

 

3.

Енергія електромагнітної хвилі переносить в напрямку поширення хвилі.

Обчислимо вектор Умова-Пойнтінга плоскої електромагнітної хвилі:

Введемо одиничний вектор m в напрямку поширення хвилі (n=k/k). Оскільки v=ω/k , k=ω/v=ω/c(εμ)½, то

 

або

Знайдемо співвідношення між абсолютними значеннями векторів E і Н в плоскій хвилі. Із рівнянь (*) і (**) маємо:

 

.

Знаючи, що k=ω/v=ω(εε0μμ0)½ одержимо:

,

 

Враховуючи, що вектори n, E, H взаємно перпендикулярні, знаходимо співвідношення між абсолютними значеннями векторів E і H:

Із загального визначення густини електромагнітної енергії:

з урахуванням рівняння (.9) для плоскої хвилі одержимо:

Запишемо тепер кінцеве рівняння для вектора Умова — Пойнтінга в плоскій хвилі:

Одержана рівність означає , що через одиничну площадку, поставлену перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу проходить енергія, обмежена циліндром з одиничною площею основи, і висотою v. Ця енергія дорівнює 1·v·ω, тобто значенню вектора Умова—Пойтінга (12).

Електромагнітні хвилі можна представити як потік релятивістських частинок.

Густина енергії визначається співвідношенням (в системі Гауса)

.

Густина імпульсу електромагнітного поля

З формули (14) видно, що q~ w, 1/v2, v

Імпульс для релятивістської частинки:

Таким чином, електромагнітні хвилі — це потік релятивістських частинок, що рухаються у вакуумі із швидкістю світла.

Додаток

В зв’язку з фундаментальним значенням питань, розглянутих вище, необхідні деякі методичні узагальнення.

В курсі середньої школи учні повинні засвоїти, що світлові хвилі є электромагнітними хвилями визначеної частоти. Перерахуємо факти які демонструють єдину природу світлових і електромагнітних хвиль:

1. Явища дифракції і інтерференції світла, відомі уже до появи теорії Максвела, вказували на хвильову природу світла. Як ми вже знаємо електромагнітне поле в визначених умовах також має хвильовий характер.

2. Швидкість світла у вакуумі с багаторазово вимірювалась, а її уточнення ведуться до даного часу. З другої сторони значення для швидкості електромагнітних хвиль у вакуумі ми одержуємо із теорії Максвела

.

Співпадання експериментального і теоретичного значень швидкості- пряма вказівка на те що світлові іелектромагнітні хвилі мають єдину природу.

3. Із геометричної оптики відомо, що якщо швидкість світла у вакуумі дорівнює с, а в середовищі-v, то відносний показник заломлення середовища n рівний: c/v . Для електромагнітних хвиль із теорії Максвела випливає, що

,

тобто n=√εμ. Співставляючи експериментальні дані з теоретичними при невисоких частотах, ми одержуємо майже однакові значення.

4. Світлова хвиля є поперечною. Це було відкрито на початку 19 ст. Світло може бути лінійно поляризованим або звичайним. Це ж саме стосується і електромагнітної хвилі.

5. Всі основні закони геометричної оптики можуть бути одержані із рівнянь Максвела для електромагнітних хвиль.

Фазова і групова швидкості

Швидкість поширення хвиль v входить у вираз для фази хвильового коливання в розглянутій точці х:

Це рівняння, як вказувалося, описує строго монохроматичну хвилю. Для спостерігача, що рухається зі швидкістю v (наприклад, на визначеному «гребені» хвилі), фаза постійна:

Диференціюючи цей вираз за часом, одержуємо: v=dx/dt.

Таким чином, v—швидкість поширення визначеної фази коливання, тому вона називається фазовою швидкістю.

Реальна світлова хвиля, як указувалося, не є монохроматичною. Вона може бути представлена як суперпозиція ряду монохроматичних хвиль, довжини яких у випадку майже монохроматичної світлової хвилі мало відрізняються одна від одної. Швидкість поширення кожної з монохроматичних хвиль є фазовою швидкістю. При відсутності дисперсії (залежності швидкості від частоти), що має місце, наприклад, у вакуумі, у всіх цих хвиль фазова швидкість однакова. У диспергуючих середовищах фазові швидкості окремих монохроматичних складових хвилі неоднакові.

Питання про швидкість переносу енергії такою сукупністю (групою) монохроматичних хвиль можна з'ясувати при розгляді групи з двох монохроматичних хвиль різної (але дуже близької) довжини, що поширюються в диспергуючому середовищі з різними, але близькими фазовими швидкостями. На малюнку хвиля λ1 передбачається трохи коротше хвилі λ21< λ2), а отже, при нормальній дисперсії v1 < v2. Жирною лінією зображена результуюча хвиля (група) у деякий момент часу. Область біля точки А, у якій фази обох складових хвиль збігаються, називають центром енергії, швидкість його переміщення і є груповою швидкістю. З переміщенням складових хвиль вправо утворений їхніми амплітудами O1 і О2 максимум O буде розпливатися, але зате ліворуч від них амплітуди 0'1 і О'2 утворять новий максимум, тому що О'2 наздоганяє О'1. Таким чином, центр енергії, поширюючись разом із групою вправо, відстає від кожної зі складових хвиль. Спостерігаючи з боку за цією групою хвиль, ми помітимо, що передні максимуми групи (перед центром енергії) стають усе менші і менші. Замість них утворяться нові максимуми, у зв'язку з чим уся група в цілому і її центр енергії переміщаються повільніше, ніж окремі складові хвилі.

Визначимо швидкість поширення центра енергії–групову швидкість u. Нехай у деякий момент часу в центрі енергії фази складових хвиль збігаються, тобто тут фаза не залежить від частоти ω (чи довжини хвилі λ, чи, нарешті, хвильового числа k), а отже, похідна від фази по ω (λ чи k) дорівнює нулю. Запишемо цю умову, використовуючи вираз для фази:

φ=ωt-kx

 

(1)

Виразимо звідси х:

. (2)

З формули (2) зрозуміло, що похідна dω/dk є груповою швидкістю u, тобто швидкість переміщення центра енергії:

u=dω/dk (3)

Її часто виражають через інші параметри хвилі. Виразимо фазу через довжину хвилі, використовуючи формулу ω=2π/T=2πν/λ:

;

 

,

звідси

.

Виконавши диференціювання, приходимо до так званої формули Релея

. (4)

Тотожність формул (3) і (4) можна легко перевірити. Похідна dν/dλ характеризує дисперсію в даному середовищі. З виразу (4) випливає, що при відсутності дисперсії (тобто при dν/dλ=0) фазова швидкість дорівнює груповій. Це цілком справедливо для вакууму. У повітрі і дуже багатьох речовинах (наприклад, у воді) дисперсія мала, тому фазова і групова швидкості в таких середовищах відрізняються дуже мало. У деяких речовинах дисперсія dν/dλ велика, тому між значення­ми v і u спостерігаються істотні відмінності. Майкельсон дослідним шляхом визначив показник заломлення сірководню n1=1,75, тим часом як з теорії очікувалося n2= 1,64. Аналіз показав, що Майкельсон мав справу з груповою швидкістю, а в теорії виходили з фазової швидкості:

u=c/n1, v=c/n2, v>u,

звідки

n1 > n2

В експериментальних методах визначення швидкості світла фактично завжди вимірюють групову швидкість. За допомогою формули Релея можна відразу перейти до значення фазової швидкості.

Спеціальна теорія відносності обмежує швидкість передачі сигналу швидкістю світла c, тобто обмежує значення групової швидкості. Величина фазової швидкості може перевищувати c (якщо показник заломлення n виявляється, як, наприклад, у плазмі, менше одиниці), але, оскільки сигнал передається не з фазовою, а з груповою швидкістю, що завжди менше c, протиріччя з теорією відносності не виникає.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти