ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Нормальне рівняння площини. Нормувальний множник. Відстань від точки до площини.

Загрузка...

Означення 5.Нормальним рівнянням площини називається рівняння , де – напрямні косинуси нормального вектора , – відстань від початку координат до площини. Загальне рівняння площини приводиться до нормального вигляду множенням на нормувальний множник де знак перед коренем вибирається протилежним знаку вільного члена D.

Теорема 4

Відстань від точки до площини P: обчислюється за формулою: (3.3)

Приклад 8

Обчислити відстань від точки М( 1; - 2 ; 4) до площини

Розв’язання.

Підставимо в формулу (3.3) координати точки М іобчислимо

Відповідь:

Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності площин.

Теорема 5

Якщо площини задано загальними рівняннями , , то кут між ними обчислюється за формулою:

( 3.4)

Приклад 9

Знайти косинус кута, утвореного площинами та у = 0.

 

Розв’язання.

Запишемо нормальні вектори площин та .

За формулою (3.4)

Відповідь:

Теорема 6

Дві площини, які задано загальними рівняннями та паралельні тоді і тільки тоді, коли .

Теорема 7

Дві площини, які задано загальними рівняннями: та , перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

Приклад 10

Скласти рівняння площини Р , що проходить через точку М( 2, 3, -3) паралельно площині Q:

Розв’язання

Нормальний вектор площини Q : .

Площина Р паралельна до площини Q, тому її нормальний вектор

Використавши рівняння площини, що проходить через задану точку М перпендикулярно до вектора (3.1) , одержимо ,звідки Р:

Відповідь:

4. Пряма у просторі.

Канонічні рівняння прямої.

Нехай задано точку і вектор . Складемо рівняння прямої L, що проходить через точку паралельно вектору . Візьмемо довільну точку на прямій і розглянемо вектор . Вектори та – колінеарні, тому їх координати пропорційні, тобто (4.1).

Співвідношення (4.1) називаються канонічними рівняннями прямої, а вектор – напрямним вектором цієї прямої.

Приклад 11

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки і .

 

Розв’язання.

Напрямним вектором прямої виберемо вектор .

Використавши рівняння (4.1), запишемо – канонічні рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Параметричні рівняння прямої.

Якщо загальне відношення канонічних рівнянь позначити через t: , то одержимо (4.2) – параметричні рівняння прямої, де

Приклад 12

Знайти точку перетину прямої L : і площини P: 3x + 5y – z – 2 = 0.

 

Розв’язання.

Запишемо канонічні рівняння даної прямої: , звідки одержуємо

Підставимо ці вирази у рівняння площини P та отримаємо: 3(4t + 12) + 5( 3t + 9) – t – 2 = 0, звідки одержуємо t = -3.

Запишемо координати точки перетину прямої та площини:

Відповідь: M(0, 0, 2 )

Загальні рівняння прямої.

Прямуу просторі можна задавати перетином двох не паралельних площин: (4.3) – це загальні рівняння прямої, визначеної перетином двох площин.

Приклад 13

Записати канонічні рівняння прямої, яку задано загальними рівняннями:

Розв’язання.

Знайдемо координати будь-якої точки, що належить прямій. Нехай х=0, тоді одержимо систему: , звідки знаходимо: . Шукана точка

За напрямний вектор візьмемо – векторний добуток нормальних векторів площин, лінією перетину яких задана пряма. Таким чином,

Запишемо канонічні рівняння прямої, використавши(4.1):

Відповідь:

Умови паралельності та перпендикулярності прямих.

Теорема 8

Якщо дві прямі задано канонічними рівняннями і , то кут між ними обчислюється за формулою:

Умова паралельності: ;

Умова перпендикулярності:

Приклад 14

Задано рівняння прямої : і точка М( 2, 3, -3). Знайти рівняння , що проходить через точку М паралельно прямій .

Розв’язання.

З напрямний вектор прямої візьмемо напрямний вектор прямої : .

Використавши канонічні рівняння (4.1), запишемо рівняння прямої :

Відповідь:

Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини.

 

Нехай пряму L та площинy P задано рівняннями: L: ; P: . Тоді напрямний вектор прямої та нормальний вектор площини .

Теорема 9

Пряма L паралельна до площини P тоді і тільки тоді, коли .

Теорема 10

Пряма L перпендикулярна до площини P тоді і тільки тоді, коли вектори та – колінеарні, тобто

Приклад 15

Знайти рівняння площини P: 3x + 5y – z – 2 = 0, яка проходить через точку M(-2, 5, 1) перпендикулярно до прямої L:

Розв’язання.

Нормальним вектором площини виберемо напрямний вектор прямої .

Використовуючи рівняння площини , складаємо рівняння шуканої площини . Перетворивши це рівняння, одержуємо

Відповідь:

5.Криві другого порядку.

 

Кривими лініями другого порядку називають лінії, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня.

Коло. Еліпс.

Означення 6. Колом називається геометричне місце точок, рівновіддалених на відстань R від фіксованої точки – центра кола. Рівняння кола: (x-x0)2+ (y-y0)2 = R2.

Якщо центр кола знаходиться в точці О(0,0), тоді рівняння кола спрощується і набуває вигляду: x2 + y2 = R2, де R – радіус кола.

Означення 7. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

 

Знайдемо рівняння еліпса. Позначимо через F1 та F2 фокуси еліпса. Вісь абсцис Оx проведемо через фокуси F1 та F2, а вісь Оy проведемо через середину відрізка [F1, F2] перпендикулярно до осі Оx.

 

 

Позначимо відстань між фокусами . У такій системі координат F1(-c, 0), F2(c, 0), 2a>2c. Візьмемо довільну точку М(x ,y) еліпса. За означенням еліпса маємо: .

Але , тому одержуємо рівняння вигляду: .

Після спрощування цього рівняння одержимо: .

Згідно нерівності a2 > c2 можна позначити b2 = a2c2. Тоді рівняння еліпса набуває вигляд: .

Це рівняння називають канонічним рівнянням еліпса. Дослідження рівняння еліпса дозволяє зробити висновки, що параметри рівняння а та b дорівнюють півосям еліпса, що розташовані на осях координат Оx та Оy відповідно.

 

 

Гіпербола

Означення 8. Гіперболою називають геометричне місце точок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

Парабола

Означення 9. Параболою називають геометричне місце точок, відстань яких до заданої прямої (директриси) та заданої точки (фокуса) рівні.

Канонічне рівняння параболи має вигляд: y2 = 2px, де р – відстань між фокусом F та директрисою.

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти